陳孟算

指出錯(cuò)誤最有說(shuō)服力也是最有效的辦法莫過(guò)于舉出反例，反例在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用極為廣泛，在教學(xué)中若能應(yīng)用得當(dāng)，?？蛇_(dá)到意想不到的效果.本文就反例在復(fù)數(shù)教學(xué)中的作用談?wù)剮c(diǎn)看法.

1、反例是深化概念，加深理解基礎(chǔ)知識(shí)的重要手段

數(shù)學(xué)的概念、定理或公式一般都是從正面進(jìn)行論述的，這往往導(dǎo)致學(xué)生機(jī)械地、片面地理解概念，對(duì)一個(gè)新學(xué)的定理、公式又往往忽略了其中的關(guān)鍵性詞句或?qū)Ψ?hào)意義不明確.如果在教學(xué)過(guò)程中，在學(xué)生正面認(rèn)識(shí)概念、定理、公式的基礎(chǔ)上，適時(shí)地通過(guò)反例從反面、側(cè)面去剖析，那么就可深化對(duì)概念、定理、公式的理解.這時(shí)反例就成加深理解和記憶的重要手段.

例如：在講授復(fù)數(shù)相等的概念時(shí)，a+bi=c+di（a，b，c，d∈R）a=c，b=d

學(xué)生往往略去a，b，c，d∈R，對(duì)此應(yīng)及時(shí)地舉出反例，如a=0，b=i，c=-1，d=0時(shí)，a+bi=c+di但a≠c，b≠d.因而澄清學(xué)生的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，明確復(fù)數(shù)相等概念中a，b，c，d∈R的重要性.

又如，在學(xué)習(xí)虛根共軛成對(duì)定理時(shí)，學(xué)生由于對(duì)定理中“實(shí)系數(shù)”這個(gè)關(guān)鍵性詞句的忽略、不重視而造成錯(cuò)誤，這時(shí)通過(guò)反例：已知方程x2+2x+m=0有一個(gè)根i，求m的值.學(xué)生往往錯(cuò)解為：因?yàn)閕是原方程的根，所以-i也是原方程 的根，由韋達(dá)定理得m=i×（-i）=1，但根據(jù)上面結(jié)果原方程變?yōu)閤2+2x+1=0，顯然±i都不是它的根.正解為：因?yàn)閕是原方程的根，所以i2+2i+m=0得m=1-2i，這時(shí)原方程的另一個(gè)根為2-i，可見(jiàn)對(duì)于非實(shí)系數(shù)方程不能利用虛根共軛成對(duì)定理.

二、反例是克服負(fù)遷移的有效措施

知識(shí)的負(fù)遷移在學(xué)習(xí)中的反作用是不可忽視的，它妨礙了學(xué)生的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，在教學(xué)中若能適時(shí)地選用反例，可有效地克服負(fù)遷移.

例如，在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)時(shí)，學(xué)生常常想當(dāng)然地把實(shí)數(shù)中的結(jié)論不加分析地運(yùn)用到復(fù)數(shù)中，從而造成錯(cuò)誤.比如“若z21+z22=0則z1=z2=0”，“z2=|z|2”，“實(shí)系數(shù)二次方程的兩根x1，x2，則|x1-x2|=（x1+x2）2-4x1x2”等實(shí)數(shù)范圍成立，但在復(fù)數(shù)范圍不成立的想法.我們可通過(guò)反例，說(shuō)明其不成立.所以在平時(shí)注意實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立結(jié)論，不能隨意地不加分析地運(yùn)用到復(fù)數(shù)中去，從而有效地防止了知識(shí)的負(fù)遷移.

三、反例是否定假命題的主要工具

要證明一個(gè)命題的正確性，必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的論證，而要否定一個(gè)命題，則只須舉出一個(gè)與結(jié)論矛盾的例子（即反例）就行了.例如要否定命題：z+z-=0的充要條件是z為純虛數(shù)，只須舉出反例：z=0；再如兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小，只須舉出反例復(fù)數(shù)z1=3

四、反例是發(fā)展思維，培養(yǎng)能力，提高創(chuàng)造力的重要途徑

優(yōu)良的思維品質(zhì)來(lái)源于積極的思維活動(dòng)，只有在積極的思維活動(dòng)過(guò)程中，思維能力才能得到充分的發(fā)展.教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造反例是培養(yǎng)學(xué)生思維能力、促進(jìn)思維發(fā)展的重要途徑.一般地，構(gòu)造反例沒(méi)有定法，有的甚至非常困難.這樣給學(xué)生提供了一個(gè)極好的創(chuàng)造性的題材，而每當(dāng)學(xué)生成功地構(gòu)造了一個(gè)反例就會(huì)無(wú)比激動(dòng)，這給學(xué)生創(chuàng)造性帶來(lái)新的活力.而在構(gòu)造反例的過(guò)程中，學(xué)生勢(shì)必嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乜紤]問(wèn)題的各個(gè)方面，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生全面分析問(wèn)題和嚴(yán)格推理的能力是極為有效的.所以說(shuō)指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造反例對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、嚴(yán)密性等良好的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的創(chuàng)造能力有非常重要的作用.

最后必須指出的是：在運(yùn)用反例教學(xué)及指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造反例時(shí)都不能離開(kāi)具體的教學(xué)內(nèi)容，單純地、一味地追求反例效果也是不切實(shí)際的.