臧旭躍 趙河明 郭晨

【摘要】數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處理的一個(gè)重要分支，它的精確度高、使用靈活、可靠性高，具有模擬設(shè)備所沒(méi)有的許多優(yōu)點(diǎn)，采用數(shù)字濾波器對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理是目前的發(fā)展方向。數(shù)字濾波器可分為IIR和FIR兩大類，本文根據(jù)模擬濾波器的設(shè)計(jì)原理，提出了基于MATLAB的數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與仿真，并在MATLB環(huán)境下實(shí)現(xiàn) 了FIR數(shù)字濾波器的仿真，通過(guò)分析可知所設(shè)計(jì)的濾波器符合我所提出的技術(shù)指標(biāo)。

【關(guān)鍵詞】模擬濾波器; MATLAB;FIR數(shù)字濾波器

1.引言

數(shù)字FIR（Finite Impulse Response）濾波器[1]指有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器，這是一種數(shù)字型信號(hào)處理領(lǐng)域中應(yīng)用非常廣泛的基礎(chǔ)性濾波器元件，數(shù)字FIR濾波器的特點(diǎn)是能夠在輸入具有任意幅頻特性的數(shù)字信號(hào)后，保證輸出數(shù)字信號(hào)的相頻特性任然保持嚴(yán)格線性。另外FIR數(shù)字濾波器具有有限長(zhǎng)的脈沖采樣響應(yīng)特性，比較穩(wěn)定。因此，F(xiàn)IR濾波器的應(yīng)用要遠(yuǎn)遠(yuǎn)廣于IIR濾波器，在信息傳輸領(lǐng)域、模式識(shí)別領(lǐng)域以及數(shù)字圖像處理領(lǐng)域具有舉足輕重的作用。

數(shù)字FIR濾波器的工作原理[2]：模擬信號(hào)首先經(jīng)由A/D轉(zhuǎn)換器件（逐次逼近型A/D轉(zhuǎn)換器速度較快）被轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)，進(jìn)入濾波器進(jìn)行處理后，形成一長(zhǎng)串?dāng)?shù)據(jù)序列，如果需要的話將該數(shù)據(jù)序列輸入到外接D/A轉(zhuǎn)換器，轉(zhuǎn)換成模擬信號(hào)使用。

圖1 FIR濾波器的工作原理

2.數(shù)字FIR濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)

在設(shè)計(jì)一個(gè)濾波器之前，必須首先確定一些技術(shù)指標(biāo)。這些技術(shù)指標(biāo)需要根據(jù)工程實(shí)際的需要來(lái)制定。在很多實(shí)際應(yīng)用中，數(shù)字濾波器常常被用來(lái)實(shí)現(xiàn)選頻操作。因此，指標(biāo)的形式一般確定為頻域中幅度和相位響應(yīng)。幅度指標(biāo)主要以兩種方式給出[3]，第一種是絕對(duì)指標(biāo)，它提供對(duì)幅度響應(yīng)函數(shù)的要求，這些指標(biāo)一般應(yīng)用于FIR濾波器的設(shè)計(jì);第二種指標(biāo)是相對(duì)指標(biāo)，它以分貝值的形式給出要求，在工程實(shí)際中，這種指標(biāo)最受歡迎。對(duì)于相位響應(yīng)指標(biāo)形式，通常希望系統(tǒng)在通頻帶中具有線性相位。運(yùn)用相位響應(yīng)指標(biāo)進(jìn)行濾波器設(shè)計(jì)具有如下優(yōu)點(diǎn)：只包含實(shí)數(shù)算法，不涉及復(fù)數(shù)運(yùn)算;只存在延遲失真，只有固定數(shù)量的延遲;長(zhǎng)度為M的濾波器（階數(shù)為M-1），它的計(jì)算量為M/2數(shù)量級(jí)。

3.數(shù)字FIR濾波器的設(shè)計(jì)思想與設(shè)計(jì)步驟

有限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)（FIR）數(shù)字濾波器可以實(shí)現(xiàn)線性相位[25]，又可具有任意幅度特性。有限長(zhǎng)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法主要是窗函數(shù)設(shè)計(jì)法。窗函數(shù)設(shè)計(jì)法是一種通過(guò)截短和計(jì)權(quán)的方法使無(wú)限長(zhǎng)非因果序列成為有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)序列的設(shè)計(jì)方法。通常在設(shè)計(jì)濾波器之前，應(yīng)該先根據(jù)具體的工程應(yīng)用確定濾波器的技術(shù)指標(biāo)。在大多數(shù)實(shí)際應(yīng)用中，數(shù)字濾波器常常被用來(lái)實(shí)現(xiàn)選頻操作，所以指標(biāo)的形式一般為在頻域中以分貝值給出的相對(duì)幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)。用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的基本理念是在時(shí)域上將設(shè)計(jì)出的濾波器單位脈沖響應(yīng)函數(shù)盡可能接近理想濾波器單位脈沖響應(yīng)函數(shù)。

設(shè)理想條件下，F(xiàn)IR濾波器的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)為[4];

（1）

（2）

但是一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的非因果系統(tǒng)，而我們想要的是一個(gè)有限長(zhǎng)的因果濾波器，于是我們使用一個(gè)窗函數(shù)來(lái)截?cái)啵从靡粋€(gè)合適的窗函數(shù)對(duì)做加窗處理：

（3）

只要窗函數(shù)的長(zhǎng)度和形狀選取合適，我們就可以生成合適的濾波器。

用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的步驟[5]如下：

（1）根據(jù)過(guò)渡帶寬及阻帶衰減要求，選擇窗函數(shù)的類型并估計(jì)窗口長(zhǎng)度N（或階數(shù)M=N-1）。窗函數(shù)類型可根據(jù)最小阻帶衰減獨(dú)立選擇，因?yàn)榇翱陂L(zhǎng)度N對(duì)最小阻帶衰減沒(méi)有影響。在確定窗函數(shù)類型以后，可根據(jù)過(guò)渡帶寬小于給定指標(biāo)確定所擬用的窗函數(shù)的窗口長(zhǎng)度N。設(shè)待求濾波器的過(guò)渡帶寬為，它與窗口長(zhǎng)度N近似成反比。窗函數(shù)類型確定后，其計(jì)算公式也確定了，不過(guò)這些公式是近似的，得出的窗口長(zhǎng)度還要在計(jì)算中逐步修正。原則是在保證阻帶衰減滿足要求的情況下，盡量選擇較小的N。在和窗函數(shù)類型確定后，即可調(diào)用MATLAB中的窗函數(shù)求出窗函數(shù)。

（2）根據(jù)待求濾波器的理想頻率響應(yīng)求出理想單位脈沖響應(yīng)。如果給出待求濾波器的頻率響應(yīng)為， 在一般情況下，是不能用封閉公式表示的，需要采用數(shù)值方法表示。從采樣N點(diǎn)，采用離散傅里葉反變換（IDFT）即可求出。

（3）計(jì)算濾波器的單位脈沖響應(yīng)。它是理想單位脈沖響應(yīng)和窗函數(shù)的乘積，即：

（4）

在MATLAB中用點(diǎn)乘命令表示為：

（5）

（4）驗(yàn)算技術(shù)指標(biāo)是否滿足要求。為了計(jì)算數(shù)字濾波器在頻域中的特性，可調(diào)用freqz子程序，如果不滿足要求，可根據(jù)具體情況，調(diào)整窗函數(shù)類型或長(zhǎng)度，直到滿足要求為止。

4.FIR濾波器程序設(shè)計(jì)

設(shè)帶通FIR濾波器的頻率響應(yīng)為：

（6）

（1）用凱澤窗函數(shù)設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)度的帶通濾波器，其通帶最大衰減為;其阻帶最小衰減為，源程序如下：

圖2 設(shè)計(jì)（1）源程序

圖3 設(shè)計(jì)（1）源程序

圖4 設(shè)計(jì)（1）源程序

程序在MATLAB環(huán)境下的運(yùn)行及結(jié)果如圖5所示。

圖5 設(shè)計(jì)（1）的結(jié)果圖

運(yùn)行上面程序的M文件，得到的結(jié)果為：線性相位斜率為5.6533;同時(shí)得到如圖5.1所示的圖形結(jié)果。從計(jì)算結(jié)果可知，參數(shù)刀=5.6533。從圖5.1還可以看出最小阻帶衰減小于60dB，因此需要增加刀使得衰減增至60dB。

（2）設(shè)計(jì)一個(gè)具有如下指標(biāo)的低通FIR濾波器;;;因?yàn)橐笏p阻帶，所以可以選擇海明窗和布萊克曼窗，現(xiàn)在一海明窗為例實(shí)現(xiàn)。原程序如圖6所示。

圖6 設(shè)計(jì)（2）源程序

程序在MATLAB環(huán)境下的運(yùn)行及結(jié)果如圖7所示：

圖7 設(shè)計(jì)（2）的結(jié)果圖

圖8 設(shè)計(jì)（2）的結(jié)果圖

如圖8所示，該函數(shù)很好地實(shí)現(xiàn)了所提出的技術(shù)要求。

5.結(jié)論

從本文的分析和設(shè)計(jì)可以看出，使用窗函數(shù)法進(jìn)行設(shè)計(jì)的最大優(yōu)勢(shì)為簡(jiǎn)單實(shí)用性很強(qiáng)，因?yàn)槠湓O(shè)計(jì)出的FIR濾波器的頻域特性很容易滿足設(shè)計(jì)要求，F(xiàn)IR濾波器的沖激響應(yīng)是有限長(zhǎng)序列，其系統(tǒng)函數(shù)為一個(gè)多項(xiàng)式，它所含的極點(diǎn)多為原點(diǎn)，所以FIR濾波器永遠(yuǎn)是穩(wěn)定的。但該方法的缺點(diǎn)往往在大多數(shù)設(shè)計(jì)結(jié)果里，我們所設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)的邊界頻率條件往往不能嚴(yán)格控制。

參考文獻(xiàn)

[1]陳后金，數(shù)字信號(hào)處理[M].北京：高等教育出版社，2004：124-177.

[2]蔣志凱.數(shù)字濾波與卡爾曼濾波[M]北京：中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社，1993：1-2.

[3]韓得竹，王華.MATLAB電子仿真與應(yīng)用[M].國(guó)防工業(yè)出版社，2001.

[4]M.S.Lobo，L.Vandenberghe，S.Boyd，H.Lebret.Second-Order Cone Programming[J].Linear Algebraand its Applications，1998，284（1-3）：193-228.

[5]L.Vandenberghe，S.Boyd.Semidefiniteprogramming[J].SIAM review，1996，38（1）：49-95.