●李 偉

簡(jiǎn)論資金時(shí)間價(jià)值相關(guān)計(jì)算公式的推導(dǎo)

●李 偉

資金時(shí)間價(jià)值是一種十分重要的財(cái)務(wù)管理觀(guān)念，其內(nèi)容多、計(jì)算公式復(fù)雜，掌握較為困難，本文系統(tǒng)的整理和分析其單利、復(fù)利、年金三種具體的資金時(shí)間價(jià)值的計(jì)算公式，從數(shù)學(xué)角度推導(dǎo)其過(guò)程，幫助正確的理解、掌握和運(yùn)用這些重要的公式。

資金時(shí)間價(jià)值 單利 復(fù)利 年金 公式 推導(dǎo)

財(cái)務(wù)管理是企業(yè)管理的一個(gè)組成部分，它是根據(jù)財(cái)經(jīng)法規(guī)制度，按照財(cái)務(wù)管理的原則，組織企業(yè)財(cái)務(wù)活動(dòng)，處理財(cái)務(wù)關(guān)系的一項(xiàng)經(jīng)濟(jì)管理工作。其理財(cái)之道：包括聚財(cái)（籌資）之道、用財(cái)（投資、耗費(fèi)）之道、生財(cái)（收回、分配）之道幾個(gè)具體環(huán)節(jié)。其研究對(duì)象是企業(yè)的資金運(yùn)動(dòng)及其所體現(xiàn)的財(cái)務(wù)關(guān)系?？茖W(xué)理財(cái)是財(cái)務(wù)管理的目標(biāo)之一，要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)必須具備理財(cái)觀(guān)念。資金（貨幣）時(shí)間價(jià)值觀(guān)就是其中之一的觀(guān)念，資金時(shí)間價(jià)值(Time Value ofMoney)是指資金隨著時(shí)間的推移而發(fā)生的價(jià)值變動(dòng)，包括時(shí)間向后、未來(lái)推移產(chǎn)生的價(jià)值增值和時(shí)間先前、過(guò)去推移的減值兩種。資金時(shí)間價(jià)值有兩種表現(xiàn)形式：

時(shí)間價(jià)值率（利率）i：扣除風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬和通貨膨脹貼水后的社會(huì)平均資金利潤(rùn)率。

時(shí)間價(jià)值額（利息）I：計(jì)息基數(shù)×利率×?xí)r間

資金時(shí)間價(jià)值的計(jì)息方式具體有兩種：分別是單利和復(fù)利

一、一次性收、付款項(xiàng)計(jì)算公式的推導(dǎo)

終值（Future Value）現(xiàn)在一定數(shù)量的貨幣資金按給定的利率計(jì)算所得到的在某個(gè)未來(lái)時(shí)間點(diǎn)的價(jià)值，也稱(chēng)為本利和。

現(xiàn)值(Present Value)就是以后年份收到或付出貨幣資金的現(xiàn)在價(jià)值，可用倒求本金的方法計(jì)算。

設(shè)FVn為終值，即第n年末的價(jià)值；PV0為現(xiàn)值，即0年(第1年初)的價(jià)值，i為利率，n為計(jì)算期數(shù)。

（一）單利的相關(guān)計(jì)算

單利(Simple Interest)計(jì)息方式：本金能帶來(lái)利息，利息必須在提出以后再以本金形式投入才能生利，否則不能生利。因此，單利前提下無(wú)論計(jì)息的期數(shù)是多長(zhǎng)，其每期計(jì)息的基數(shù)都是保持不變，始終是最初的本金。

1.單利終值：

從公式得出，單利終值的大小與本金、利率、計(jì)算期數(shù)是成正比例。即本金、利率、計(jì)算期數(shù)越大，終值越大；反之，越小。

上述單利終值的推導(dǎo)得出時(shí)間價(jià)值是由四個(gè)因素共同組成，如果已知其中任意三個(gè)因素都可以通過(guò)移項(xiàng)、合并求出唯一的一個(gè)未知數(shù)。

2.單利現(xiàn)值：PV0= FVn÷(1+i×n)

從公式得出，單利現(xiàn)值的大小與終值成正比例，與利率、計(jì)算期數(shù)是成反比例。即終值越大，利率、計(jì)算期數(shù)越小，現(xiàn)值越大；反之，越小。

3.利率：i=（FVn÷PV0—1）÷n

4.計(jì)算期數(shù)：n=（FVn÷PV0—1）÷i

（二）復(fù)利的相關(guān)計(jì)算

復(fù)利(Compound Interest)方式：本能生利，利息在下期則轉(zhuǎn)列為本金與原來(lái)的本金

一起計(jì)息。顧名思義復(fù)利也稱(chēng)為利滾利。因此，復(fù)利前提下隨著計(jì)息的期數(shù)越長(zhǎng)，其每期計(jì)息的基數(shù)將逐期遞增，計(jì)息的基數(shù)是以每個(gè)上期的終值（本利和）為基數(shù)。

1.復(fù)利終值。

從公式得出，復(fù)利終值的大小與本金、利率、計(jì)算期數(shù)是成正比例。即本金、利率、計(jì)算期數(shù)越大，終值越大；反之，越小。

上述復(fù)利終值的推導(dǎo)得出時(shí)間價(jià)值是由四個(gè)因素共同組成，如果已知其中任意三個(gè)因素都可以通過(guò)移項(xiàng)、合并求出唯一的一個(gè)未知數(shù)。

2.復(fù)利現(xiàn)值：PV0=FVn÷(1+i)n

從公式得出，復(fù)利現(xiàn)值的大小與終值成正比例，與利率、計(jì)算期數(shù)是成反比例。即終值越大，利率、計(jì)算期數(shù)越小，現(xiàn)值越大；反之，越小。

其中(1+i)n和1÷(1+i)n分別稱(chēng)為復(fù)利終值系數(shù)(Future Value Interest Factor)和復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)(Present Value Interest Factor)。其簡(jiǎn)略表示形式分別為FVIF i,n和PVIF i,n。相關(guān)數(shù)據(jù)可以通過(guò)查表得出。

以上兩個(gè)公式，可分別改寫(xiě)為：

理論上利率i和計(jì)算期數(shù)n同樣可以利用此法，但是由于需要涉及到對(duì)數(shù)和指數(shù)計(jì)算。故一般是采用插值法進(jìn)行計(jì)算。

3.利率：在FV n、PV0和n已知情況下，推算期數(shù)i的基本步驟：

（1）計(jì)算出FVIFi,n=FVn÷PV0的具體數(shù)據(jù)。

（2）根據(jù)FVIFi,n查復(fù)利終值系數(shù)表。沿著已知的n所在行橫向查找，如能找到恰好等于FVIFi,n的系數(shù)值，其對(duì)應(yīng)的i值即為所求的利率。

（3）如找不到恰好為FVIFi,n的系數(shù)值，則要查找最接近FVIFi,n值的左右臨界系數(shù)。

FVIFi,nl、FVIFi,n2以及對(duì)應(yīng)的臨界期數(shù)i1，i2，然后應(yīng)用插值法求i。計(jì)算公式如下：

4．計(jì)算期數(shù)：在FVn、PV0和n已知情況下，推算期數(shù)i的基本步驟：

（1）計(jì)算出FVIFi,n= FVn÷PV0的具體數(shù)據(jù)。

（2）根據(jù)FVIFi,n查復(fù)利終值系數(shù)表。沿著已知的i所在列縱向查找，如能找到恰好等于FVIFi,n的系數(shù)值，其對(duì)應(yīng)的n值即為所求的期數(shù)值。

（3）如找不到恰好為FVIFi,n的系數(shù)值，則要查找最接近FVIFi,n值的左右臨界系數(shù)。

FVIFi,nl、FVIFi,n2以及對(duì)應(yīng)的臨界期數(shù)n1，n2，然后應(yīng)用插值法求n。

二、連續(xù)性收、付款項(xiàng)計(jì)算公式的推導(dǎo)

這里的連續(xù)性收付款項(xiàng)，主要是以年金（Annuity）為例。年金是指一定期間內(nèi)每期相等金額的收付款項(xiàng)。

年金必須同時(shí)具備以下四個(gè)特點(diǎn)：

1.連續(xù)收付款項(xiàng)，至少連續(xù)發(fā)生兩次及以上。

2.相等的時(shí)間間隔，發(fā)生連續(xù)收付款項(xiàng)。

3.相等的金額，發(fā)生連續(xù)收付款項(xiàng)。

4.以復(fù)利方式計(jì)息。

年金主要分為：普通年金（Ordinary Annuity）、先付年金（Annuity Due）、遞延年金（Deferred Annuity）、永續(xù)年金（Perpetual Annuity）四種類(lèi)型。

(一)普通年金的相關(guān)計(jì)算

如下圖：

1.普通年金終值：是指每個(gè)年金按復(fù)利計(jì)算終值后的合計(jì)。

同樣設(shè)FVn為終值，即第n年末的價(jià)值；PV0為現(xiàn)值，即0年(第1年初)的價(jià)值，A為年金，i為利率，n為計(jì)算期數(shù)。

提出公因子A，剩余(1+i)0+(1+i)1+(1+i)2-----(1+i)(n-1)是公比為（1＋i）的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列求和公式Sn=a1(1—q)n÷ (1—q)得：

2.普通年金現(xiàn)值：是指每個(gè)年金按復(fù)利計(jì)算現(xiàn)值后的合計(jì)。

提出公因子A，剩余(1+i)-1+(1+i)-2+(1+i)-3-----(1+i)-n是公比為(1+i)-1的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列求和公式Sn=a1(1—q)n÷(1—q)得：

3.利率、計(jì)算期數(shù)應(yīng)用插值法求得，同上。

（二）先付年金的相關(guān)計(jì)算

如下圖：

1.先付年金終值：是指每個(gè)年金按復(fù)利計(jì)算終值后的合計(jì)。

FVn=A(1+i)1+A(1+i)2+A(1+i)3-----A(1+i)n

提出公因子A，剩余(1+i)1+(1+i)2+(1+i)3-----(1+i)n是公比為（1＋i）的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列求和公式Sn=a1(1—q)n÷(1—q)得：

2.先付年金現(xiàn)值：是指每個(gè)年金按復(fù)利計(jì)算現(xiàn)值后的合計(jì)。

提出公因子A，剩余(1+i)0+(1+i)-1+(1+i)-2-----(1+i)-(n-1)是公比為(1+i)-1的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列求和公式Sn=a1(1—q)n÷ (1—q)得：

3.利率、計(jì)算期數(shù)應(yīng)用插值法求得，同上。

其余兩種年金的計(jì)算類(lèi)似，不再重復(fù)敘述。

三、計(jì)息期短于一年的相關(guān)計(jì)算

以上有關(guān)資金時(shí)間價(jià)值的計(jì)算，主要闡述一次性收付款項(xiàng)和系列收付款項(xiàng)現(xiàn)值轉(zhuǎn)換為終值的計(jì)算方法，這種計(jì)算的前提是計(jì)息期為一年，而且計(jì)息期數(shù)為已經(jīng)給定了的。但是，在經(jīng)濟(jì)生活中，往往有計(jì)算期短于一年，或者需要根據(jù)已知條件確定計(jì)息期數(shù)的情況。

計(jì)息期短于一年時(shí)，計(jì)息期利率和計(jì)息期數(shù)的換算公式如下：

r為期利率，i為年利率；m為每年的計(jì)息期數(shù)；n為年數(shù)，t為換算后的計(jì)息期數(shù)。

換算后，單利利終值和現(xiàn)值的計(jì)算可按下列公式進(jìn)行：

換算后，復(fù)利利終值和現(xiàn)值的計(jì)算可按下列公式進(jìn)行：

通過(guò)上述公式轉(zhuǎn)換可見(jiàn)：計(jì)息期短于一年不影響單利終值和現(xiàn)值的計(jì)算結(jié)果。只是影響復(fù)利，在一年期計(jì)息的時(shí)間越短，一年內(nèi)計(jì)息的次數(shù)越多，利滾利的時(shí)間價(jià)值就越大，從而終值相比一年計(jì)息一次的終值大，現(xiàn)值則比一年計(jì)息一次小。

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（作者單位：川北醫(yī)學(xué)院管理學(xué)院 四川南充 637007；作者簡(jiǎn)介：李偉，講師，碩士研究生，從事經(jīng)濟(jì)及管理研究）

（責(zé)編：若佳）

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1004-4914（2014）12-119-02