楊征山，仇小杰，王鐵，黃金泉

（1.中航工業(yè)航空動(dòng)力控制系統(tǒng)研究所，江蘇無錫 214063；2.南京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力學(xué)院，南京 210016；3.總參陸航部駐上海地區(qū)軍事代表室，上海 200233）

0 引言

隨著航空發(fā)動(dòng)機(jī)技術(shù)的發(fā)展，對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)控制技術(shù)的研究提出了更高、更復(fù)雜的要求。在控制技術(shù)領(lǐng)域，包括綜合飛行和推進(jìn)控制、機(jī)載自適應(yīng)模型、降低裕度的邏輯、先進(jìn)多變量控制技術(shù)等方面[1-5]，開展了一系列研究。先進(jìn)控制算法的研究基礎(chǔ)，即如何建立精確的航空發(fā)動(dòng)機(jī)狀態(tài)變量模型成為研究熱點(diǎn)[6-9]。

目前求取航空發(fā)動(dòng)機(jī)狀態(tài)變量模型的算法主要包括小擾動(dòng)法、穩(wěn)態(tài)終值響應(yīng)法和擬合方法[10-14]。其中，小擾動(dòng)方法最簡單，且易于計(jì)算，但結(jié)果精度不高；穩(wěn)態(tài)終值響應(yīng)法在處理線性模型和非線性模型的終值一致問題上效果較好，但不能保證動(dòng)態(tài)過程的一致性；運(yùn)用擬合法求取的結(jié)果精度較高，但需要理想的初猜值，否則會(huì)出現(xiàn)擬合過程發(fā)散的情況，同時(shí)精度隨著矩陣維數(shù)的增加而降低，耗時(shí)也隨之增加。

本文將上述3種算法加以綜合，最終獲得狀態(tài)變量線性模型。

1 狀態(tài)變量模型

設(shè)航空發(fā)動(dòng)機(jī)非線性模型為

式中：x∈Rn、u∈Rr、y∈Rm，分別為發(fā)動(dòng)機(jī)狀態(tài)變量、控制變量、輸出量。

當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)處于某穩(wěn)態(tài)點(diǎn)（x0,u0,y0）工作時(shí)，發(fā)動(dòng)機(jī)模型為

式（4）即為狀態(tài)變量線性模型（SVM）。

選取航空發(fā)動(dòng)機(jī)風(fēng)扇轉(zhuǎn)速nF和壓氣機(jī)轉(zhuǎn)速nC為狀態(tài)變量，發(fā)動(dòng)機(jī)供油量Wfm和尾噴管面積A8為控制量，風(fēng)扇出口總溫Tt22、總壓Pt22、壓氣機(jī)出口總溫Tt3、燃燒室出口總壓Pt4、高壓渦輪出口總溫Tt41、總壓Pt41為模型輸出量，則式（4）可以表示為

為解決全包線狀態(tài)下系數(shù)矩陣求解繁瑣、應(yīng)用不便和模型中由于物理變量的數(shù)量級(jí)不同導(dǎo)致系數(shù)矩陣畸形的問題，將所有參數(shù)進(jìn)行相似變換并歸一化

最終經(jīng)過相似歸一化的狀態(tài)變量線性模型為

2 傳統(tǒng)系數(shù)矩陣求解方法

2.1 小擾動(dòng)法

小擾動(dòng)法的原理是在航空發(fā)動(dòng)機(jī)某穩(wěn)態(tài)點(diǎn)處加一擾動(dòng)，然后用非線性部件級(jí)模型進(jìn)行動(dòng)態(tài)計(jì)算，當(dāng)動(dòng)態(tài)模型的流量達(dá)到連續(xù)準(zhǔn)平衡收斂條件后，求出狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)和輸出變量的增量，計(jì)算其與擾動(dòng)量的比值，求出各系數(shù)矩陣。

以求取A、C矩陣為例，分別對(duì)狀態(tài)向量風(fēng)扇轉(zhuǎn)速nF和壓氣機(jī)轉(zhuǎn)速nC進(jìn)行擾動(dòng)，在擾動(dòng)某一狀態(tài)向量時(shí)，其他狀態(tài)向量和控制量保持不變，即當(dāng)擾動(dòng)風(fēng)扇轉(zhuǎn)速nF時(shí)，令ΔnCC=0、ΔWfmC=0、ΔA8C=0，則

同理擾動(dòng)壓氣機(jī)轉(zhuǎn)速nC，計(jì)算得到a12、a22、c32…、c82的值，最終求得A、C矩陣。采用相同方法求B、D

矩陣，區(qū)別是擾動(dòng)的量由狀態(tài)量變?yōu)榭刂屏俊?/p>

2.2 穩(wěn)態(tài)終值響應(yīng)法

系統(tǒng)的特性由狀態(tài)變量線性模型的系數(shù)矩陣決定。其中模型的狀態(tài)響應(yīng)特性由A、C矩陣決定，模型的最終穩(wěn)態(tài)響應(yīng)由B、D矩陣決定。通過設(shè)定A、C矩陣值，根據(jù)不同輸入階躍情況下模型的穩(wěn)態(tài)輸出變化量，應(yīng)用數(shù)學(xué)解析方法計(jì)算出B、D矩陣值，具體計(jì)算公式為

2.3 擬合法

擬合法的求解步驟如下。

（1）狀態(tài)變量線性模型如式（7）描述，分別求出模型在控制量Wfm和A8作小階躍時(shí)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)解析式；

（2）利用前文建立的非線性部件級(jí)模型同樣對(duì)控制量Wfm和A8作小階躍，求出部件級(jí)模型的動(dòng)態(tài)響應(yīng)解析式；

（3）利用線性模型動(dòng)態(tài)響應(yīng)與部件級(jí)非線性模型動(dòng)態(tài)響應(yīng)一致的原則，擬合出狀態(tài)變量模型。

3 基于變尺度法的混合求解方法

本文將上述3種算法加以綜合，利用基于變尺度法的擬合法得到最優(yōu)的A、C矩陣，使得最終的狀態(tài)變量線性模型與非線性部件級(jí)模型的動(dòng)態(tài)特性相吻合，A、C矩陣的初猜值由小擾動(dòng)算法求得，而B、D矩陣則通過穩(wěn)態(tài)響應(yīng)終值法求出并保證狀態(tài)變量線性模型與非線性部件級(jí)模型的穩(wěn)態(tài)穩(wěn)定輸出值完全一致，最終獲得狀態(tài)變量線性模型。

近年來，變尺度優(yōu)化方法在求解無約束極值問題中取得了良好效果，其主要特點(diǎn)是既避免了計(jì)算2階導(dǎo)數(shù)矩陣以及求逆過程，收斂速度又比梯度法的快，對(duì)高維問題具有更顯著的優(yōu)越性。

無約束極值問題可以表述為

在采用牛頓法求解無約束問題過程中，其優(yōu)化搜索方向?yàn)?[?2（fxk）]-1?2（fxk），為了不計(jì)算2階導(dǎo)數(shù)?2（fxk）以及逆矩陣，變尺度方法運(yùn)用擬牛頓法構(gòu)造1個(gè)H矩陣來逼近2階導(dǎo)數(shù)矩陣的逆陣，變尺度方法的計(jì)算步驟如下。

（1）設(shè)置初始值x0以及梯度允許誤差ε＆gt;0；

（2）若||?（fx0）||≤ε，則x0為近似極小值，停止迭代，若否，繼續(xù)下1步；

λ得到λ0，從而得到下個(gè)近似點(diǎn)

（4）迭代到第k步，得到近似點(diǎn)xk，計(jì)算出?（fxk），若||?（fxk）||≤ε，則xk即為最優(yōu)值，停止迭代，若否，計(jì)算

式中：ΔGk-1=?f（xk）-?f（xk-1），得到和λk，計(jì)算出 xk+1=xk+λkPk；

（5）若xk+1滿足精度要求，則xk+1為最優(yōu)解，若否，轉(zhuǎn)到第（4）步。

基于變尺度法的發(fā)動(dòng)機(jī)線性模型混合求解方法計(jì)算步驟如下。

（1）對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)非線性部件級(jí)模型的控制量Wfm和A8分別作小階躍[Δu1（t），Δu2（t）]

計(jì)算部件級(jí)模型的動(dòng)態(tài)響應(yīng)偏差向量為Δy(t)=[ΔnFC（t），ΔnCC（t），ΔTt22C（t），ΔPt22C（t），ΔTt3C（t），ΔPt4C（t），ΔTt41C（t），ΔPt41C（t），ΔFnC（t），ΔSmC（t）]。

式中：t=0，T，…，nT，T為采樣時(shí)間；

（2）利用小擾動(dòng)法求取A、C矩陣的初猜值A(chǔ)0、C0；

（3）利用穩(wěn)態(tài)終值響應(yīng)法中的式（9）、（10）求出B0、D0，得到線性模型；

（5）將（1）和（3）中的動(dòng)態(tài)響應(yīng)數(shù)據(jù)Δy（t）和Δy?（t）作為樣本，采用變尺度法，優(yōu)化如式（14）所示的目標(biāo)函數(shù)

即計(jì)算與部件級(jí)非線性模型響應(yīng)偏差平方和最小的線性模型系數(shù)矩陣值。通過優(yōu)化，若滿足精度要求，得到線性模型系數(shù)矩陣（A，B，C，D）；若不滿足精度要求，重復(fù)第（4）、（5）步。

限于篇幅，這里僅給出地面標(biāo)準(zhǔn)大氣條件下，Wfm=1.8kg/s和A8=0.25m2工作點(diǎn)處的線性模型系數(shù)矩陣求解過程。

（1）對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)非線性部件級(jí)模型的控制量Wfm和A8分別作小階躍[Δu1（t），Δu2（t）]

計(jì)算部件級(jí)模型的動(dòng)態(tài)響應(yīng)偏差向量為Δy（t）；

（2）利用小擾動(dòng)法求取A、C矩陣的初猜值A(chǔ)0、C0

（3）由式（9）、（10）求出B0、D0

得到線性模型系數(shù)矩陣初猜值A(chǔ)0，B0，C0，D0；

（4）對(duì)此線性模型的控制量Wfm和A8分別作小階躍[Δu1（t），Δu2（t）]

（5）利用變尺度算法優(yōu)化如式（14）的目標(biāo)函數(shù)，得到第（1）步優(yōu)化所得線性模型系數(shù)矩陣（A1，B1，C1，D1）

不滿足精度要求，重復(fù)第（4）、（5）步操作，直至滿足精度要求，得到線性模型的系數(shù)矩陣（A1，B1，C1，D1）

4 狀態(tài)變量模型仿真

模擬發(fā)動(dòng)機(jī)非線性部件級(jí)模型[15]和狀態(tài)變量線性模型在H=0、Ma=0、Wfm=1.8kg/s和A8=0.25m2工作點(diǎn)上，分別作2個(gè)控制量的小階躍仿真（其中供油量Wfm階躍0.5%，尾噴管面積A8正階躍1.5%），比較2個(gè)模型的輸出響應(yīng)吻合程度，檢驗(yàn)基于變尺度法的混合求解方法計(jì)算出的狀態(tài)變量線性模型的精確度，仿真結(jié)果如圖1、2所示。

圖1 燃油小階躍線性模型響應(yīng)與非線性模型響應(yīng)

圖2 尾噴管面積小階躍線性模型響應(yīng)與非線性模型響應(yīng)

從仿真結(jié)果中可見，本文提出的基于變尺度法的混合求解方法計(jì)算的線性模型與非線性部件級(jí)模型不僅在動(dòng)態(tài)過程響應(yīng)中吻合良好，而且能夠保證發(fā)動(dòng)機(jī)最終穩(wěn)定值的一致性，具有較高的精度。

5 結(jié)束語

本文研究了發(fā)動(dòng)機(jī)狀態(tài)變量線性模型的求解方法，分析了傳統(tǒng)小擾動(dòng)法、穩(wěn)態(tài)終值響應(yīng)法和擬合法的優(yōu)缺點(diǎn)，提出了基于變尺度法的混合求解方法。該方法能避免小擾動(dòng)方法精度不高、穩(wěn)態(tài)終值響應(yīng)法動(dòng)態(tài)過程不一致以及傳統(tǒng)擬合法隨著需要擬合的矩陣維數(shù)增加而精度下降、擬合時(shí)間增加的缺點(diǎn)。仿真結(jié)果表明，本文方法不僅在動(dòng)態(tài)過程響應(yīng)中吻合良好，具有較高的穩(wěn)態(tài)精度，而且能夠保證發(fā)動(dòng)機(jī)最終穩(wěn)定值的一致性，具有良好的應(yīng)用前景。

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