高安同， 張 金， 陳榮剛， 左修偉

（解放軍陸軍軍官學(xué)院軍用儀器教研室,安徽合肥 230031）

鋰離子電池作為一種目前廣泛使用且性能非常優(yōu)異的電池，正受到越來(lái)越廣泛的關(guān)注。但是，鋰離子電池一旦發(fā)生故障，直接導(dǎo)致用電設(shè)備無(wú)法正常工作，并帶來(lái)高額的維修及更換費(fèi)用，甚至由于過(guò)熱和短路導(dǎo)致災(zāi)難性的爆炸事故。所以，研究鋰離子電池荷電狀態(tài)估算和剩余壽命預(yù)測(cè)方法、優(yōu)化鋰離子電池維護(hù)計(jì)劃勢(shì)在必行。目前，由于鋰離子電池中的電化學(xué)反應(yīng)采用常規(guī)的傳感器無(wú)法觀測(cè)，導(dǎo)致可分析的數(shù)據(jù)不足，并且鋰離子電池的工作過(guò)程非常復(fù)雜，對(duì)其監(jiān)測(cè)得到的數(shù)據(jù)只是電壓、電流和溫度，所以對(duì)于鋰離子電池在線荷電狀態(tài)估算和剩余壽命的預(yù)測(cè)就變得異常困難。

1 荷電狀態(tài)估算

荷電狀態(tài)(SOC)是指在一定的放電倍率條件下，電池的剩余電量與相同條件下額定容量的比值。

1.1 電流積分法

電流積分法是對(duì)電流進(jìn)行積分得到充入電池和從電池放出的電量，該方法需對(duì)電池的電量進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間的記錄和監(jiān)測(cè)。電流I對(duì)時(shí)間t積分即為鋰離子電池電量的變化值，記做Qch(當(dāng)放電時(shí)Qch為正值，充電時(shí)Qch為負(fù)值)。若鋰離子電池的當(dāng)前剩余電量用Qr表示，鋰離子電池的當(dāng)前剩余電量Qr與電量的變化值Qch之差，即為經(jīng)過(guò)充放電后電池所剩的電量，那么當(dāng)前荷電狀態(tài)可表示為：

式中：Q0是額定容量，根據(jù)不同的充放電效率，電量的變化值Qch可表示為：

式中：i為電池電流；η為充放電效率。此方法是一種簡(jiǎn)單的SOC估計(jì)方法，其優(yōu)點(diǎn)是能給出任意時(shí)刻電池的電量。但是電流測(cè)量的精度將直接影響剩余電量估算結(jié)果，需要通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)來(lái)建立電池充放電效率經(jīng)驗(yàn)公式，因此不適合于電池SOC的動(dòng)態(tài)估算。

1.2 開(kāi)路電壓法

在不同的溫度下SOC和開(kāi)路電壓(OCV)的對(duì)應(yīng)關(guān)系表已被電池生產(chǎn)商廣泛采納并使用。一旦足夠的數(shù)據(jù)表被計(jì)算出來(lái)，那么從OCV推理到SOC就會(huì)變得非常直接。Guiheen提出了一種基于電流曲線斜率和SOC關(guān)系的估算方法，作為常規(guī)SOC-OCV表的補(bǔ)充以確保其準(zhǔn)確性和有效性。這種基于數(shù)據(jù)表的估算方法很難在現(xiàn)實(shí)中找到與之匹配的外界條件，由此導(dǎo)致了SOC估計(jì)值和真實(shí)值間的巨大差異。

1.3 模糊推理

模糊邏輯方法允許在處理不完整和含有噪聲的數(shù)據(jù)時(shí)存在一定程度的不確定性和模糊性。

Sakind[1]等人基于電化學(xué)阻抗譜通過(guò)建立Li/SO2電池模糊推理模型進(jìn)行其SOC估算。該方法精確度很高，誤差幅度僅為其它方法的10%。而且只需少量的電化學(xué)參數(shù)就可加速阻抗譜測(cè)試和減少數(shù)據(jù)收集過(guò)程中的冗余，但是，實(shí)驗(yàn)設(shè)備的龐大和高花費(fèi)限制了該方法的實(shí)際應(yīng)用范圍。

1.4 自回歸滑動(dòng)平均數(shù)

自回歸滑動(dòng)平均數(shù)(autoregressivemoving average，ARMA)模型是一種非常適合時(shí)間序列的預(yù)測(cè)算法。

ARMA模型表示為：

式中：χ是時(shí)間序列；α是常量；ε是白噪聲；p指AR（自回歸參數(shù)）；q指MA（滑動(dòng)平均參數(shù)）；t和i均為整數(shù)，且t大于i；φ和θ是模型的系數(shù)。

為了通過(guò)阻抗測(cè)量來(lái)估算SOC，kozlowski[2]建立了一種雙電極電化學(xué)模型，模型的輸入包括電解質(zhì)電阻、電荷轉(zhuǎn)移阻值和層間電容，這些數(shù)據(jù)被提取并輸入到ARMA模型來(lái)計(jì)算SOC。ARMA模型的精確性依賴于先驗(yàn)數(shù)據(jù)的完整性和典型性。在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中，原始數(shù)據(jù)很有可能是不完整的，因此需要用回歸模型來(lái)做合理估計(jì)和逐步推測(cè)。

1.5 電化學(xué)阻抗譜

電化學(xué)阻抗譜(EIS)被廣泛應(yīng)用于表達(dá)化學(xué)電池的內(nèi)部電化學(xué)反應(yīng)，而這是采用普通感知技術(shù)無(wú)法測(cè)定的。

當(dāng)電池的容性阻抗和感性阻抗相等時(shí)，在一定頻率范圍內(nèi)SOC和EIS之間有確定的關(guān)系，且該頻率范圍是電池SOC單調(diào)周期性函數(shù)，因此，我們可通過(guò)選擇想要的頻率范圍即可確定電池的SOC值，該方法直觀，可靠性高，但阻抗譜分析儀價(jià)格昂貴，要求實(shí)驗(yàn)過(guò)程中外界條件保持恒定。

1.6 支持向量機(jī)

支持向量機(jī)(SVM)通過(guò)數(shù)據(jù)映射將低維空間的非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為高維空間的線性問(wèn)題。

Hansen和Wang[3]使用SVM建立了一個(gè)基于實(shí)驗(yàn)的SOC估算模型，輸入向量包括電流、電壓，在上次計(jì)算結(jié)果和電壓變化的基礎(chǔ)上遞推出當(dāng)前SOC。該SOC估算模型只使用穩(wěn)態(tài)數(shù)據(jù)（恒電流脈沖）進(jìn)行訓(xùn)練。測(cè)得的穩(wěn)態(tài)SOC和動(dòng)態(tài)SOC估算均方根誤差分別為5%和5.76%。但SVM衰減模型需要對(duì)實(shí)驗(yàn)參數(shù)和誤差進(jìn)行不斷的調(diào)整，而這是一個(gè)非常耗時(shí)的過(guò)程。

1.7 基于支持向量機(jī)的擴(kuò)展卡爾曼濾波

擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)是用于非線性變化的卡爾曼濾波的擴(kuò)展，通過(guò)使用偏導(dǎo)數(shù)和泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式，EKF使預(yù)測(cè)和更新部分的當(dāng)前估計(jì)值線性化，剩下的過(guò)程類似于傳統(tǒng)卡爾曼濾波。

受限于泰勒級(jí)數(shù)在高階非線性系統(tǒng)中的誤差，EKF不能處理高階非線性系統(tǒng)問(wèn)題。為了提高動(dòng)態(tài)SOC估算的準(zhǔn)確性，Zhang[4]提出了一個(gè)基于物理學(xué)的電路模型，名稱為“增強(qiáng)型自我修正模型(ESC)”。這個(gè)模型強(qiáng)調(diào)了應(yīng)對(duì)滯后反應(yīng)、溫度和松弛反應(yīng)帶來(lái)的影響。增強(qiáng)型自我修正模型(ESC)表示如下：

式中：yk是待估電壓；k是標(biāo)識(shí)數(shù)；z代表SOC；h代表電化學(xué)滯后參數(shù)；fil(ik)是一些濾波操作數(shù)的動(dòng)態(tài)操作；R是電阻；i是電流。這個(gè)方法主要的缺點(diǎn)就是需要使用OCV-SOC表，而這個(gè)表設(shè)計(jì)花費(fèi)大并且難以獲得，此外實(shí)際應(yīng)用時(shí)還有一定的誤差。

圖1是簡(jiǎn)單的電池電路，OCV代表開(kāi)路電壓，也叫平均勢(shì)能；Rd和Ri是內(nèi)電阻；Cd相當(dāng)于層間電容。

圖1 電池電路

圖1是電路模型，公式(5)是電壓估算方程，式中Vk是待測(cè)電壓；k 是標(biāo)志數(shù)；Cn，k是電容；Ri是電阻；ik是電流；Vd，k是容抗導(dǎo)致的壓降；SOCk是電池荷電狀態(tài)。

OCV的估算依靠?jī)?yōu)化的OCV-SOC表。為了提高在高階非線性條件下EKF框架的魯棒性，測(cè)量噪聲模型對(duì)劇烈電壓變化（由極端工作環(huán)境及模型簡(jiǎn)化帶來(lái)的內(nèi)在變化引起）進(jìn)行重構(gòu)。

容量估算的準(zhǔn)確性很大程度上依賴于初始值的選定，而不適當(dāng)?shù)某跏蓟瘜?huì)導(dǎo)致估計(jì)值和真值間明顯的收斂滯后。

對(duì)于某些特殊的系統(tǒng)，系統(tǒng)的狀態(tài)量和觀測(cè)量相同，根據(jù)EKF算法的基本方程，過(guò)程噪聲矩陣的方差陣Qk必須根據(jù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型事先給出，并且一旦Qk數(shù)值給定了，那么在以后的整個(gè)EKF過(guò)程中Qk的數(shù)值都將不能變化。這就存在以下問(wèn)題：鋰離子電池放電模型不可能精確得到、噪聲不可測(cè)量、外界環(huán)境因素的干擾也可能不同，如果在這些情況中都共用一套噪聲方差陣則顯然是不合理的，所以需要有一種算法可使Qk根據(jù)不同的情況自動(dòng)做出調(diào)整。

在進(jìn)行第一次濾波前，根據(jù)鋰離子電池所處環(huán)境，預(yù)設(shè)一組Q0。以后每濾波一次，就用濾波后的值減去觀測(cè)值并將這個(gè)差值當(dāng)作過(guò)程噪聲保存起來(lái)，一共收集n組數(shù)據(jù)(按數(shù)據(jù)得到的順序?qū)⒏鹘M數(shù)據(jù)記為數(shù)據(jù)1～數(shù)據(jù)n)，然后就可根據(jù)這n組過(guò)程噪聲值計(jì)算出實(shí)時(shí)過(guò)程噪聲方差陣。當(dāng)?shù)玫降趎+1組數(shù)據(jù)時(shí),利用第2～(n+1)組數(shù)據(jù)過(guò)程噪聲計(jì)算出此時(shí)的過(guò)程噪聲方差矩陣。依次類推，假設(shè)在EKF濾波的第k步時(shí)按照這種方法計(jì)算出的過(guò)程噪聲方差陣為，在EKF濾波的第（k+1）步時(shí)要用到的過(guò)程噪聲方差矩陣為Qk，且Qk和之間存在如下線性關(guān)系：

式中：ω、b分別為滿足方程階數(shù)的系數(shù)矩陣、常數(shù)矩陣。只要設(shè)置好SVR理論中的權(quán)重因子C、損失函數(shù)、誤差ε、核函數(shù)，就可通過(guò)針對(duì)訓(xùn)練集進(jìn)行SVR訓(xùn)練而得到式(6)的支持向量（a，a*），從而有：

Qk即為下次EKF濾波時(shí)要用到的過(guò)程噪聲方差陣，這樣就得到了一個(gè)較為準(zhǔn)確的Qk+1陣，實(shí)現(xiàn)了過(guò)程噪聲方差陣的實(shí)時(shí)更新，從而能更準(zhǔn)確地估算SOC。

2 剩余壽命預(yù)測(cè)

鋰離子電池剩余壽命(RUL)是指滿容量電池從開(kāi)始放電到電池輸出電壓下降到終止電壓的時(shí)間。剩余壽命預(yù)測(cè)使得在電池永久損壞前有足夠的時(shí)間來(lái)采取適當(dāng)?shù)拇胧﹣?lái)預(yù)防事故的發(fā)生，此外，準(zhǔn)確的剩余壽命預(yù)測(cè)還能促進(jìn)新服務(wù)模式的發(fā)展并能創(chuàng)造更多機(jī)遇和市場(chǎng)，如“智能電池流動(dòng)服務(wù)系統(tǒng)”。鋰離子電池剩余壽命預(yù)測(cè)應(yīng)充分考慮當(dāng)前電池的健康狀態(tài)、歷史數(shù)據(jù)、故障機(jī)理和故障傳遞等因素。盡管現(xiàn)在剩余壽命預(yù)測(cè)還不是文獻(xiàn)研究中的焦點(diǎn)，但是致力于這方面的研究正不斷深入。

2.1 Rakhmatov模型

如果把電化學(xué)反應(yīng)中活性物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)抽象為有限區(qū)域上的一維擴(kuò)散問(wèn)題，則根據(jù)法拉第定律和菲克定律，就能推導(dǎo)出負(fù)載電流i(τ)和電池壽命L的關(guān)系式[5]：

式中：α和β為電池參數(shù)，α的物理意義是電池可輸出的最大容量；β表示在電極表面活動(dòng)載流子被補(bǔ)償?shù)乃俾剩捎脕?lái)衡量電池放電特性，β越大，電池放電特性越好。

對(duì)于常數(shù)負(fù)載。設(shè)電流 i（t）=I，把它代入式（8），如果β2L≥1，則可近似得到：

對(duì)于變化負(fù)載，用某一寬度的常數(shù)負(fù)載來(lái)近似變化負(fù)載。設(shè)U(t)為階梯函數(shù)，則[0，t]時(shí)間內(nèi)的可變i（t）可用N步階梯函數(shù)來(lái)近似，表達(dá)式為：

式中：Ik是[tk，tk+1]時(shí)間內(nèi)的平均負(fù)載。

該模型能精確地預(yù)測(cè)電池的剩余壽命，但需要大量的指數(shù)運(yùn)算。

2.2 粒子濾波

粒子濾波(particle flter，PF)是一種序列蒙特卡羅方法，通過(guò)粒子及其權(quán)重系數(shù)來(lái)估算概率分布函數(shù)的狀態(tài)。粒子的遞推分兩階段：預(yù)測(cè)階段和更新階段。預(yù)測(cè)階段，下一步粒子值通過(guò)前一步的信息來(lái)估算的，而與測(cè)量和觀察無(wú)關(guān)；更新階段，預(yù)測(cè)階段通過(guò)估算得到的粒子與測(cè)量結(jié)果進(jìn)行比較并相應(yīng)更新。

Saha運(yùn)用粒子濾波來(lái)估算電解液阻抗和電荷轉(zhuǎn)移阻抗指數(shù)增長(zhǎng)模型的系數(shù)，建立了電解液阻抗、電荷轉(zhuǎn)移阻抗和容量之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)估算的電解液阻抗和電荷轉(zhuǎn)移阻抗來(lái)推斷電池未來(lái)容量，最終計(jì)算出剩余壽命。阻抗測(cè)量的高花費(fèi)和嚴(yán)格的外界約束條件參數(shù)限制了這種方法的實(shí)際應(yīng)用。在不測(cè)量電化學(xué)阻抗譜條件下，Saha和Goebel建立了一個(gè)考慮庫(kù)侖效能因素和松弛作用的容量實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?。該方法采用粒子濾波來(lái)估算電池模型的不同組成部分，未來(lái)容量被用來(lái)推算電池的剩余使用時(shí)間。

2.3 關(guān)聯(lián)向量機(jī)

當(dāng)用于衰減問(wèn)題時(shí)，關(guān)聯(lián)向量機(jī)(relevance vectormachine，RVM)具有控制“過(guò)擬合”和“欠擬合”的能力。RVM衰減問(wèn)題可表示為：

式中：tn是由平均數(shù)y和方差σ2決定的衰減目標(biāo)（輸出）；x是輸入；y是無(wú)噪聲的衰減模型；w是衰減系數(shù)。

Saha提出了一種基于電化學(xué)模型推導(dǎo)出的電池內(nèi)部參數(shù)的RVM衰減模型。隱含的假設(shè)是電荷轉(zhuǎn)移阻抗、電解液阻抗等內(nèi)部參數(shù)隨電池退化而緩慢變化。RVM被用來(lái)準(zhǔn)確跟蹤退化趨勢(shì)。為預(yù)測(cè)剩余壽命，粒子濾波算法被用來(lái)選擇合適的RVM模型系數(shù)，根據(jù)最新的退化模型預(yù)測(cè)剩余壽命終結(jié)點(diǎn)。

當(dāng)關(guān)聯(lián)向量機(jī)的輸入為任意分布的隨機(jī)變量時(shí)，關(guān)聯(lián)向量機(jī)的輸出為：

式中：p(x*)為隨機(jī)變量x*的分布密度函數(shù)，x*∈Rq，q為隨機(jī)變量x*的維數(shù)，p（y*│x*）為關(guān)聯(lián)向量機(jī)模型在輸入為x*時(shí)的輸出結(jié)果分布。

一般情況下，上述積分是無(wú)法以解析形式求解的。若對(duì)輸入隨機(jī)變量x*采樣N個(gè)獨(dú)立同分布的樣本粒子xj*，則上述積分結(jié)果可表示為：

式中：p（y*│xi*）為關(guān)聯(lián)向量機(jī)模型在輸入為確定值xj*時(shí)的輸出結(jié)果的分布p（y*│xi*）具有高斯分布形式，并且由其均值和方差唯一確定。式（13）表明，當(dāng)關(guān)聯(lián)向量機(jī)回歸模型的輸入為一任意分布的隨機(jī)變量時(shí)，其預(yù)測(cè)輸出的分布可由一組高斯分布隨機(jī)變量的加權(quán)和形式給出。

關(guān)聯(lián)向量機(jī)不僅能夠反映輸出結(jié)果的不確定信息，且擁有學(xué)習(xí)算法簡(jiǎn)單，易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。

3 結(jié)論

相信隨著科技的發(fā)展，鋰離子電池的自身性能會(huì)不斷改善，隨之配套的各種預(yù)測(cè)研究方法一定會(huì)更加科學(xué)精確，我們比較研究了鋰離子電池在荷電狀態(tài)估算和剩余壽命預(yù)測(cè)的方法、模型和算法，并根據(jù)其優(yōu)缺點(diǎn)確定了各種方法的適用范圍和條件，希望能夠幫助讀者更深入地了解鋰離子電池健康監(jiān)測(cè)及剩余壽命預(yù)測(cè)方面的研究成果及最新進(jìn)展。

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