郭立娟

（長(zhǎng)沙航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410124）

0 引言

諧振腔是微波電路中一個(gè)不可或缺的器件。現(xiàn)代微波集成電路的發(fā)展要求減小器件尺寸，而傳統(tǒng)諧振腔的工作波長(zhǎng)與腔體尺寸相當(dāng)。本文從Maxwell方程和邊界條件出發(fā)，理論上分析了實(shí)現(xiàn)亞波長(zhǎng)諧振的條件。電磁特異性介質(zhì)材料（Metamaterials簡(jiǎn)稱MTMs）[1]是指人工合成的具有自然介質(zhì)材料所不具備的電磁特性的新材料。其中典型的為負(fù)折射率介質(zhì)（NIM）又稱為雙負(fù)介質(zhì)（DNG）、左手征材料（LHM）或者后向波媒質(zhì)（BW）。早在1967年，前蘇聯(lián)理論物理學(xué)家Veselage在他的經(jīng)典論文 Substances with Simultaneously Negative Values of ε and μ中提出了雙負(fù)介質(zhì)的概念[2]，但因?yàn)樽匀唤缯也坏竭@樣的材料而被擱置。直到上個(gè)世紀(jì)末英國(guó)皇家學(xué)院院士Pendry提出了分別實(shí)現(xiàn)負(fù)介電常數(shù)和負(fù)磁導(dǎo)率的人工電磁結(jié)構(gòu)[3－4]，即MTMs的構(gòu)造理論，并于2001年由加州大學(xué)圣迭戈分校物理系的Smith等在微波實(shí)驗(yàn)中首次實(shí)現(xiàn)[5]。從此MTMs獲得了廣泛的認(rèn)可，相關(guān)的研究也蓬勃開展起來(lái)。根據(jù)理論分析，如將單負(fù)介質(zhì)（介電常數(shù)和磁導(dǎo)率其中一個(gè)為負(fù)）或者雙負(fù)介質(zhì)（介電常數(shù)和磁導(dǎo)率同時(shí)為負(fù)）部分填充于諧振腔中，將出現(xiàn)諧振頻率與諧振腔尺寸無(wú)關(guān)的諧振模式，即亞波長(zhǎng)諧振模式[6－7]。亞波長(zhǎng)諧振腔的實(shí)現(xiàn)對(duì)縮減微波集成電路尺寸，構(gòu)造新型微波器件有著重要的價(jià)值。

圖1 矩形諧振腔

1 介質(zhì)填充諧振腔的諧振本征方程

設(shè)一z向柱狀諧振腔，xy平面內(nèi)形狀可以任意而不影響結(jié)論，為討論方便，本文采用矩形。腔內(nèi)沿z向分別填充兩部分介質(zhì)，如圖1。對(duì)應(yīng)I、II區(qū)域填充介質(zhì)1和介質(zhì) 2，厚度分別為d1、d2，電磁參數(shù)為 ε1、μ1；ε2、μ2。在假設(shè)腔內(nèi)介質(zhì)無(wú)耗、絕緣的情況下，根據(jù) Maxwell方程組可以得到一組時(shí)諧Helholtz方程：

用分離變量法，先求出TE模和TM模的縱向分量，橫向分量根據(jù)Maxwell旋度方程可以用縱向分量求出[8]。代入邊界條件后得到TE和TM波對(duì)應(yīng)的本征方程：

2 本征方程亞波長(zhǎng)諧振模式解的討論

簡(jiǎn)單的分析一下本征方程兩邊的函數(shù)性質(zhì)我們可以得到這樣的結(jié)論：兩個(gè)填充區(qū)域介質(zhì)的 ε1，ε2或者 μ1，μ2必須異號(hào)，相應(yīng)的 TE 模、TM模本征方程才可能有解。由于tanh函數(shù)的單調(diào)性，本征方程滿足亞波長(zhǎng)條件的解只能有一個(gè)，以后我們用s下標(biāo)來(lái)表示亞波長(zhǎng)的某個(gè)模式，例如 TE10s、TM11s。

如確定了諧振腔的尺寸，本征方程（6）和（7）將在不同的介質(zhì)填充條件下有不同的解。

（1）當(dāng) ε1=-ε2，μ1=-μ2時(shí)：

注意這里的εi，μi并沒(méi)有規(guī)定符號(hào)，所以可能是電負(fù)媒質(zhì)和磁負(fù)媒質(zhì)，也可能是傳統(tǒng)介質(zhì)和雙負(fù)介質(zhì)。

則有l(wèi)z1=lz2=lz，本征方程變?yōu)椋?/p>

當(dāng)且僅當(dāng)d1=d2時(shí)lz有解，且lz可以為任意實(shí)數(shù)。由式（5）可知，此時(shí)任意頻率均可諧振。

根據(jù)前面的本征方程有解條件可知此時(shí)只有TM模本征方程有解：

為方便討論式（11）的解，令矩形波導(dǎo)a=b=d1+d2=1（cm），后面章節(jié)討論時(shí)也采用這種尺寸的諧振腔，如無(wú)另外說(shuō)明，所有長(zhǎng)度單位均為厘米，且只討論主模 TM11s模19.74×10-4。

圖2所示為對(duì)應(yīng)不同εr1的λ11S與d1關(guān)系曲線。圖中由下至上εr1=1,1.2，…，2。

注意：為直觀起見(jiàn)，橫坐標(biāo)使用的是諧振頻率對(duì)應(yīng)下的真空波長(zhǎng)，單位為厘米。

b）ε1＞0，μ1＜0 即 I區(qū)填充磁單負(fù)介質(zhì)

圖2 λ11S與d1關(guān)系曲線隨μr1變化圖(由上至下 μr1=1,1.2，1.4，…，2)

圖3 λ11S與d1關(guān)系曲線隨μr1變化圖(由上至下 μr1=1,1.2，1.4，…，2)

注意：為直觀起見(jiàn)，橫坐標(biāo)使用的是諧振頻率對(duì)應(yīng)下的真空波長(zhǎng)，單位為厘米。

c）小結(jié)和推論

由a)和b)中的公式和數(shù)值模擬結(jié)果可知，使用單負(fù)媒質(zhì)填充普通諧振腔可以實(shí)現(xiàn)亞波長(zhǎng)諧振。填充的是磁負(fù)還是電負(fù)媒質(zhì)，決定諧振模式是TE模還是TM模。改變填充比例可以得到不同的諧振波長(zhǎng)。可以推論，如果在I區(qū)和II區(qū)分別填充電負(fù)和磁負(fù)媒質(zhì)，也可以實(shí)現(xiàn)亞波長(zhǎng)諧振，TE模和TM模均有解，且諧振波長(zhǎng)主要與介質(zhì)參數(shù)和填充比例相關(guān)。圖4以II區(qū)真空I區(qū)填充電負(fù)介質(zhì)為例給出了TM11S模在x=a/2 平面內(nèi)的場(chǎng)型圖。 計(jì)算時(shí)取 ε1=-1.2ε0，μ1=μ0，a=1m，d1=0.68m，d2=0.32m。

（3）εiμi＞0，ε1＜0，ε2＞0 即 I區(qū)填充雙負(fù)介質(zhì)，II區(qū)為傳統(tǒng)介質(zhì)；

此時(shí)，TE模和TM模本征方程均可能有解。

圖4 TM11S模在x＝0平面內(nèi)場(chǎng)型

圖5 λ10S與d1關(guān)系曲線

圖6 λ11S與d1關(guān)系曲線

本征方程變?yōu)椋?/p>

設(shè) εr1=2，μr1=1，εr2=1，μr,2=1

圖5為λ10S與d1關(guān)系曲線，圖6為λ11S與d1關(guān)系曲線?？梢?jiàn)，利用雙負(fù)介質(zhì)和傳統(tǒng)介質(zhì)同樣可以實(shí)現(xiàn)亞波長(zhǎng)諧振。

注意：為直觀起見(jiàn)，橫坐標(biāo)使用的是諧振頻率對(duì)應(yīng)下的真空波長(zhǎng)，單位為厘米。

3 亞波長(zhǎng)諧振腔諧振波長(zhǎng)的近似公式

假設(shè)諧振腔是立方體，a=b=d。我們以主模TE10s為例。

令：εi=εriε0，μi=μriμ0，d1=pa，d2=（1-p）a，p 為介質(zhì)填充比例。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了亞波長(zhǎng)諧振器的構(gòu)造方法。研究表明，利用新型人工電磁介質(zhì)進(jìn)行部分填充，可以實(shí)現(xiàn)亞波長(zhǎng)諧振腔，諧振波長(zhǎng)主要與腔體內(nèi)的填充介質(zhì)和填充比例有關(guān)。本文的研究對(duì)于亞波長(zhǎng)諧振腔的實(shí)現(xiàn)，縮減微波集成電路尺寸，構(gòu)造新型微波器件十分有意義。

［1］Rokhesh S.Kshetrimayum,A brief intro to metamaterials[J].IEEE Potentials,Dec.2004/Jan.2005：44-46.

［2］V.G.Veselago,The electrodynamics of substances with simultaneously negative values ofand,Soviet Physics Uspekhi[J].Vol.10,No.4：509-514,January-February 1968.

［3］Pendry J B,Holden A J,Stewart W J,et al.Extremely low frequency plasmons in metallic mesostructures,[J].Phys.Rev.Lett,1996,(76),4 773-4776.

［4］Pendry J B,Holden A J,Robbins D J,et al.Magnetism from conductors and enhanced nonlinear phenomena,[J].IEEE Trans.Micr.Theory and Techniques,1999,(47)：2075～2084.

［5］Shelby R A,Smith D R,Schultz S.Experimental verification of a negative index of refraction,[J].Science,2001,(292)：77-79.

［6］Silvio Hrabar,Juraj Bartolic,Zvonimir Sipus,Waveguide miniaturization using uniaxial negative permeability metamaterial[J].IEEE TRANSACTIONS ON ANTENNAS AND PROPAGATION,VOL.53,NO.1,JANUARY 2005：110-119

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［8］R.F.Harrington,Time-harmonic electromagnetic fields[M].McGraw-Hill Book Co.1961.