徐泰燕

（武昌工學院，湖北 武漢 430065）

二元函數(shù)為代表的多元函數(shù)的極限定義和一元函數(shù)的極限定義均可利用“ε-δ定義[1]”給出，表面上看，多元函數(shù)的重極限的復雜度只是由于變元個數(shù)的增加引起的，但實際上，相比一元函數(shù)在x0處的點極限僅要求x從x0的左、右兩側(cè)直線趨近于x0不同，多元函數(shù)的重極限對趨近路徑有更高的要求，即滿足任意性（既包括沿兩個坐標軸方向的直線路徑，也包括更復雜的任意函數(shù)曲線路徑），因此，二元函數(shù)的極限求解問題相對復雜很多。

但有時題目不滿足相應的條件，無法運用相應的方法，例如在實際教學過程中遇到的下面求二重極限在點（0，0）處無意義，進而不連續(xù)，從而本極限不能利用二元函數(shù)的連續(xù)性計算該極限，但可以結(jié)合相關(guān)二元函數(shù)的理論探討其他求解方法。本文針對該題給出五種不同的解答方法，以供大家教學時參考。

求一元函數(shù)的極限有許多方法，如：四則運算求極限法、等價無窮小量代換法、有界量乘以無窮小量仍為無窮小量的結(jié)論、兩類重要極限、利用連續(xù)性、洛必達法則等，上述方法在條件滿足的情況下可以推廣到二元函數(shù)為代表的多元函數(shù)的重積分計算中，也即重積分的計算可以選擇恰當?shù)淖兞看鷵Q轉(zhuǎn)化成一元函數(shù)的極限求解，進而使問題變得簡便。

在一元函數(shù)的極限求解中，當x→0時，sinx→0和ln（1+x）均為無窮小量，利用第一類重要極限可知 sinx～x，同理，ln（1+x）～x，在做極限的乘除法運算時，可將sinx用x代換，ln（1+x）用x代換，從而=1，可見恰當?shù)倪M行等價無窮小代換可使極限問題變得簡便。 而對于本題，當（x，y）→（0，0）時，sin（x3+y3）→0，可令 x3+y3=u，類似于一元函數(shù)的等價無窮小代換理論將sinu用u代換，即將方法進行探討，以下不再對此再做一一單獨說明。

1 先猜測極限，再用二重極限的“ε-δ定義”證明結(jié)論

極限的“ε-δ定義[1]： 設(shè)函數(shù) z=f（x，y）的定義域為 D，P0（x0，y0）是 D的聚點，如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)ε（無論多么?。?，總存在正數(shù) δ，使得當點 P（x，y）∈D∩ （P0，δ）總有＜ε 成立，則稱 A 為函數(shù) z=f（x，y）當（x，y）→（x0，y0）（或 P→P0）時的極限，記作x，y）=A。

給定?ε＞0（無論多么?。?，利用放縮法，要使下面式子

2 利用一元函數(shù)極限的 “有界量乘以無窮小量仍為無窮小量”結(jié)論求解

對于一元函數(shù)的極限，有下面定理：

定理1[1]在某一極限過程中，若 α（x）是無窮小量，f（x）是有界函數(shù)，則 α（x）f（x）仍是無窮小量。

對于上面定理，可將其推廣到多元函數(shù)的重極限計算中，本例中，對函數(shù)做變形得：

3 利用解析函數(shù)的L’Hospital法則求解

定理 2[2]設(shè) f（z）=u（x，y）+iv（x，y），g（z）=w（x，y）+ih（x，y）是以 z0=x0+y0為零點的兩個不恒等于0的解析函數(shù)，則有：

4 利用極坐標變換計算

在二重極限的計算中，當出現(xiàn)（x，y）→（0，0），且二元函數(shù)解析式中包含x2+y2的形式時，一般可考慮極坐標變換法。

利用上面結(jié)論，在本例中，x0=0，y0=0，可令 x=rcosθ，y=rsinθ，

5 利用二元函數(shù)的洛必達法則求解

定理 3[4]若二元函數(shù) f（x，y）、g（x，y）滿足：（1）在

6 結(jié)論

［1］黃立宏.高等數(shù)學[M].復旦大學出版社，2010.

［2］倪培溉.用L’Hospital法則求解某些二元函數(shù)的極限[J].中國民航學院學報，2003（7）：6-7.

［3］沈彩霞.二元函數(shù)極限的計算[J].河池師專學報，2002（6）：42-43.

［4］張立新.二元函數(shù)的微分中值定理及羅比達法則[J].遼寧教育學院學報，2001（9）：21.