馬文橋，何晨迪，史 震，黃 晗，馬國強(qiáng)

（1.哈爾濱工程大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，哈爾濱150001;2.北京機(jī)電工程研究所，北京100074；3.哈爾濱建成集團(tuán)有限公司，哈爾濱150030）

基于動(dòng)態(tài)面法的導(dǎo)彈制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)方法研究

馬文橋1，何晨迪1，史 震1，黃 晗2，馬國強(qiáng)3

（1.哈爾濱工程大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，哈爾濱150001;2.北京機(jī)電工程研究所，北京100074；3.哈爾濱建成集團(tuán)有限公司，哈爾濱150030）

摘要：為避免傳統(tǒng)導(dǎo)彈制導(dǎo)和控制系統(tǒng)單獨(dú)設(shè)計(jì)存在的缺陷，將兩個(gè)系統(tǒng)綜合考慮，提出一種制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)方法。首先推導(dǎo)出俯仰通道的制導(dǎo)控制一體化數(shù)學(xué)模型，并化為級聯(lián)形式；然后引入動(dòng)態(tài)面方法并結(jié)合非線性干擾觀測器技術(shù)，提出了一種基于非線性干擾觀測器的積分動(dòng)態(tài)面一體化制導(dǎo)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法，在每一個(gè)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)引入誤差的積分項(xiàng)以消除穩(wěn)態(tài)誤差，提高了子系統(tǒng)的跟蹤精度；采用Lyapunov函數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行了分析；最后通過仿真驗(yàn)證了所提出的一體化控制算法的有效性。

關(guān)鍵詞：制導(dǎo)控制一體化；動(dòng)態(tài)面；反步法

Key woorrddss：Integrated guidance and control;Dynamic surface;Backstepping

0　引言

采用傳統(tǒng)方法進(jìn)行導(dǎo)彈制導(dǎo)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，一般將制導(dǎo)系統(tǒng)和控制系統(tǒng)分別進(jìn)行設(shè)計(jì)，然后再將兩個(gè)系統(tǒng)合到一起進(jìn)行調(diào)試[1]。之所以采用這種方法是由于控制回路的帶寬遠(yuǎn)大于制導(dǎo)回路的帶寬（一般為5倍以上），因此將控制回路視為快回路，制導(dǎo)回路視為慢回路，基于頻譜分離的原理，可以將兩個(gè)系統(tǒng)分別進(jìn)行設(shè)計(jì)[2]。這種假設(shè)在一般情況下是成立的，但是在導(dǎo)彈末制導(dǎo)段，隨著彈目相對距離的縮小，制導(dǎo)回路的時(shí)間常數(shù)將變小，帶寬也隨著變大，此時(shí)這個(gè)假設(shè)將不再成立，因此采用傳統(tǒng)方法設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)精度難以達(dá)到要求，并且整個(gè)系統(tǒng)需要進(jìn)行反復(fù)調(diào)試[3]。

制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)方法將制導(dǎo)系統(tǒng)和控制系統(tǒng)視為一個(gè)整體，根據(jù)彈目相對位置信息和導(dǎo)彈自身的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)信息，直接產(chǎn)生導(dǎo)彈的控制指令[4]，因此一體化設(shè)計(jì)方法不依賴于上述假設(shè)，即使在導(dǎo)彈和目標(biāo)較近時(shí)，也不會(huì)出現(xiàn)太大的制導(dǎo)誤差，近幾年得到較大關(guān)注[5-7]。

由于一體化數(shù)學(xué)模型較為復(fù)雜，并且復(fù)合控制導(dǎo)彈存在較大的干擾項(xiàng)，因此控制系統(tǒng)是一個(gè)帶有較大參數(shù)不確定的非線性系統(tǒng)。

本文將采用反步法的基本思想，將整個(gè)制導(dǎo)控制一體化數(shù)學(xué)模型分解為幾個(gè)相互聯(lián)系的子系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)，并針對傳統(tǒng)反步法存在的缺陷進(jìn)行改進(jìn)，采用動(dòng)態(tài)面技術(shù)，避免“計(jì)算膨脹”的問題；對模型中存在的不確定項(xiàng)，采用非線性干擾觀測器進(jìn)行估計(jì)；另外在子系統(tǒng)跟蹤誤差設(shè)計(jì)時(shí)，參考傳統(tǒng)PID控制的思想，引入誤差積分，重新定義了誤差量，從而消除跟蹤中存在的穩(wěn)態(tài)誤差。最后在某特征點(diǎn)對導(dǎo)彈進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

1　制導(dǎo)控制一體化數(shù)學(xué)模型

考慮滾轉(zhuǎn)穩(wěn)定導(dǎo)彈在末制導(dǎo)段的攔截問題，俯仰和偏航通道之間的耦合較小，且兩個(gè)通道的數(shù)學(xué)模型類似，因此本節(jié)以俯仰通道為例，研究導(dǎo)彈和目標(biāo)在鉛垂面內(nèi)的相對運(yùn)動(dòng)。俯仰通道彈目相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示。

圖1　彈目相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系Fig.1 Dynamics between missile and target

根據(jù)俯仰平面內(nèi)的彈目相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系，可得導(dǎo)彈和目標(biāo)在沿著視線方向及垂直于視線方向上的相對運(yùn)動(dòng)學(xué)方程分別為：

對式（2）求導(dǎo)，并將式（1）代入得：

假設(shè)導(dǎo)彈和目標(biāo)進(jìn)行機(jī)動(dòng)時(shí)只有速度的方向發(fā)生改變，而速度的大小保持不變，即式（3）中V.T=V.M=0，并令Vq=Rq.表示導(dǎo)彈垂直于視線角方向上的速度分量，aT=VTθ.T、aM=VMθ.M分別表示目標(biāo)和導(dǎo)彈法向加速度大小，則式（3）可進(jìn)一步化簡為：

根據(jù)文獻(xiàn)[8]，有以下關(guān)系：

將式（5）代入式（6）可得：

以下兩式成立：

其中，升力Y及俯仰力矩Mz分別表示為：

假設(shè)末制導(dǎo)段推力P=0，忽略舵面產(chǎn)生的升力，視線角與彈道傾角近似重合，即q-θM≈0，并將目標(biāo)機(jī)動(dòng)、通道間耦合、噴流干擾導(dǎo)致的氣動(dòng)參數(shù)變化以及方程簡化過程中忽略的小量所產(chǎn)生的影響全部視為外界擾動(dòng)，得到如下簡化的制導(dǎo)控制一體化數(shù)學(xué)模型：

式中， ΔVq、 Δα、 Δωz為模型中的不確定干擾，為有界函數(shù)，且假設(shè)、、也是全局有界的。

式（14）所示的一般形式[9]：

式中，系統(tǒng)的輸出為 y=x1；控制量為 u；d1(x2), d2(x2), d3(x2,x3,u)為不確定干擾引起的建模誤差項(xiàng)；其余各項(xiàng)分別為：

可以看出，該系統(tǒng)是一個(gè)帶有不確定性的具有級聯(lián)形式的非線性系統(tǒng)，且d1,d2是非匹配不確定部分，d3是匹配不確定部分?？刂葡到y(tǒng)設(shè)計(jì)的目標(biāo)就是令狀態(tài)變量x1收斂至0，即令視線角轉(zhuǎn)率趨于零，且對系統(tǒng)中存在的不確定性具有良好的魯棒性。

2　制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)

基于平行接近法的思想，為保證導(dǎo)彈能夠準(zhǔn)確攔截目標(biāo)，只需使導(dǎo)彈在末制導(dǎo)段最后時(shí)刻的視線角轉(zhuǎn)動(dòng)速度q.能夠趨于0即可。因此對于制導(dǎo)控制一體化數(shù)學(xué)模型，只需保證x1→0，同時(shí)保證導(dǎo)彈攻角和俯仰角速率保持穩(wěn)定即可使導(dǎo)彈精確命中目標(biāo)。本節(jié)將用動(dòng)態(tài)面反步法設(shè)計(jì)一體化控制系統(tǒng)。

第一步：考慮系統(tǒng)式（14）中的第一個(gè)子系統(tǒng)（14–a）。首先定義（14–a）子系統(tǒng)的跟蹤誤差：

式中，x1d為閉環(huán)系統(tǒng)（14）的期望指令信號。

根據(jù)自動(dòng)控制理論可知，當(dāng)系統(tǒng)存在未建模動(dòng)態(tài)或外界不確定干擾時(shí)，系統(tǒng)會(huì)存在穩(wěn)態(tài)誤差，PID控制方法通過引入積分控制來消除穩(wěn)態(tài)誤差，以提高系統(tǒng)的魯棒性。因此為消除（14–a）子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，借鑒PID控制的思想，引入跟蹤誤差z1的積分項(xiàng)，構(gòu)造一個(gè)新的誤差信號[10]：

式中，k1p,k1i為調(diào)節(jié)參數(shù)，分別對應(yīng)于PID控制中的比例系數(shù)kp及積分系數(shù)ki。通過構(gòu)造新的誤差信號e1，能夠保證（14–a）子系統(tǒng)的跟蹤誤差z1能夠無穩(wěn)態(tài)誤差地收斂于0，提高了系統(tǒng)的跟蹤精度。

為（14–a）子系統(tǒng)構(gòu)造正定的Lyapunov函數(shù)V1：

對Lyapunov函數(shù)V1求導(dǎo)得：

將x2看成是（14–a）子系統(tǒng)的虛擬控制量，設(shè)計(jì)為：

式中，k1＞0為設(shè)計(jì)參數(shù)；?為（14-a)子系統(tǒng)不確定項(xiàng)d1的估計(jì)值，采用如下形式的非線性干擾觀測器求得：

式中，l1為觀測器增益，z1和p1為中間變量。

定義第一個(gè)干擾觀測器的觀測誤差為：

由干擾觀測器原理可知[11]，存在l1＞0，使得ε1=l1ε1，從而使得（14–a）子系統(tǒng)的干擾觀測誤差是全局穩(wěn)定的。

此時(shí)Lyapunov函數(shù)V1的導(dǎo)數(shù)為：

因此，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理，子系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

根據(jù)動(dòng)態(tài)面法的基本原理，令x2通過一個(gè)時(shí)間常數(shù)為τ1的一階低通濾波器，產(chǎn)生x2d，這樣在第二個(gè)子系統(tǒng)（14–b）設(shè)計(jì)的時(shí)候，只需用濾波器的估計(jì)值x2d代替設(shè)計(jì)的虛擬控制量xˉ2，避免了反步法中對虛擬控制量的求導(dǎo)操作。濾波器設(shè)計(jì)為：

第二步：考慮系統(tǒng)（14）中的第二個(gè)子系統(tǒng)（14–b）。將x3看成是（14–b）子系統(tǒng)的虛擬控制量，采用同樣的方法構(gòu)造一個(gè)新的誤差信號e2和正定的Lyapunov函數(shù)V2，將虛擬控制量設(shè)計(jì)為：

式中，k2＞0為設(shè)計(jì)參數(shù)；為（14–b）子系統(tǒng)不確定項(xiàng)d2的估計(jì)值，采用如下非線性干擾觀測器求得：

式中，l2為觀測器增益，z2和p2為中間變量。

與上一步類似，令x3通過一個(gè)時(shí)間常數(shù)為τ2的一階低通濾波器，產(chǎn)生x3d，代替設(shè)計(jì)的虛擬控制量xˉ3。濾波器設(shè)計(jì)為：

第三步：考慮系統(tǒng)（14）中的第三個(gè)子系統(tǒng)（14–c）。按照同樣的方法構(gòu)造新的誤差信號e3和正定的Lyapunov函數(shù)V3，設(shè)計(jì)出系統(tǒng)的實(shí)際控制量：

式中，k3＞0為設(shè)計(jì)參數(shù)；為（14–c）子系統(tǒng)不確定項(xiàng)d3的估計(jì)值，采用如下形式的非線性干擾觀測器求得：

式中，l3為觀測器增益，z3和p3為中間變量。

3　穩(wěn)定性分析

定理1：對于系統(tǒng)式（14），采用如式（27）控制量，如式（19）、（24）的虛擬控制量、如式（20）、（25）、（28）的干擾觀測器、如式（23）、（26）的低通濾波器，可以使整個(gè)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，并且其中每個(gè)子系統(tǒng)都是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

證明：制導(dǎo)控制一體化系統(tǒng)式（14）中的每個(gè)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)V1,V2,V3已經(jīng)得到了證明。下面主要證明整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為此，首先將上一小節(jié)中的幾個(gè)誤差變量整理成一般形式，定義三個(gè)誤差變量。

定義第i (i=1,2,3)個(gè)子系統(tǒng)在引入積分項(xiàng)后，新構(gòu)造的誤差為：

定義第i (i=1,2,3)個(gè)干擾觀測器的觀測誤差為：

由干擾觀測器原理可知，存在li＞0 (i=1,2,3)，使得 εi=liεi(i=1,2,3)，從而使得第i (i=1,2,3)個(gè)子系統(tǒng)的干擾觀測誤差是全局穩(wěn)定的。

定義第i (i=1,2)個(gè)濾波器的誤差為：

對式（31）進(jìn)行求導(dǎo)得：

由濾波器動(dòng)態(tài)方程得：

將式（33）代入式（32）中得：

為系統(tǒng)（14）構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù)：

將上式的Lyapunov函數(shù)對時(shí)間t求導(dǎo)得：

假設(shè)指令信號及一階、二階導(dǎo)數(shù)存在且有界，則根據(jù)表達(dá)式（23）、（26）可知，存在有界函數(shù)δi+1＞0, (i=1,2)， 使 得， 令 δmax=max{δi+1}, (i=1,2)，則：

將式（37）代入式（36）得：

由式（38）可知，可以通過設(shè)計(jì)合適的參數(shù)，使得c0＞0，且滿足c0＞c1/V(0)，V(0)為Lyapunov函數(shù)V的初始值，此時(shí)滿足V.＜0。因此Lyapunov函數(shù)V有界，且所有信號有界，所以采用本文設(shè)計(jì)的一體化控制律uc作用下，制導(dǎo)控制一體化系統(tǒng)的所有誤差信號都可以收斂至原點(diǎn)附近任意小的鄰域。

證畢。

4　仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本章設(shè)計(jì)的一體化控制算法的有效性，本節(jié)將在Matlab/Simulink環(huán)境下對導(dǎo)彈末制導(dǎo)段進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真，假設(shè)從末制導(dǎo)開始時(shí)刻起，目標(biāo)進(jìn)行幅值為10g、周期為2s的正弦機(jī)動(dòng)：aT=10g·sin(πt)；導(dǎo)引頭制導(dǎo)盲區(qū)設(shè)為100m，當(dāng)彈目相對距離小于該值后，制導(dǎo)控制系統(tǒng)?？?，導(dǎo)彈依靠慣性飛向目標(biāo)；舵機(jī)近似傳遞函數(shù)為：G(s)=1/(0.03s+1)，且限幅為±30°；為保證彈體穩(wěn)定，導(dǎo)彈的攻角需滿足：|α|≤20°，同時(shí)俯仰角速度需滿足：|ωz|≤200(°)/s。

仿真曲線如圖2-圖5所示：

圖2　視線角速度變化曲線Fig.2 Curves of LOS rate

圖3　攻角變化曲線Fig.3 Curves of attack angle

圖4　俯仰角速度變化曲線Fig.4 Curves of pitch rate

圖5　舵偏角變化曲線Fig.5 Curves of elevator deflection angle

圖2所示為導(dǎo)彈的視線角速度變化曲線?？梢娨惑w化控制器能夠使視線角速度迅速收斂至0附近，并且在末制導(dǎo)遭遇段仍能保持穩(wěn)定不發(fā)散，從而保證導(dǎo)彈不會(huì)因目標(biāo)機(jī)動(dòng)而脫靶；而采用比例導(dǎo)引時(shí)視線角速度收斂較慢，收斂過程隨著目標(biāo)機(jī)動(dòng)存在較大的波動(dòng)，并且在即將遭遇目標(biāo)時(shí)，隨著相對距離的減小有發(fā)散的趨勢，無法保證導(dǎo)彈精確攔截目標(biāo)。

圖3所示為導(dǎo)彈的攻角變化曲線。可見兩種設(shè)計(jì)方法得到的導(dǎo)彈攻角均能滿足物理?xiàng)l件限制，從而保證姿態(tài)穩(wěn)定；采用一體化控制器得到的導(dǎo)彈攻角變化更為平穩(wěn)，且在大部分飛行階段，其攻角都小于制導(dǎo)與控制分開設(shè)計(jì)。

圖4所示為導(dǎo)彈的俯仰角速度變化曲線?？梢娔┲茖?dǎo)在初始階段，為消除導(dǎo)彈的初始指向誤差，導(dǎo)彈的俯仰角速度變化較大，但兩種設(shè)計(jì)方法得到的導(dǎo)彈俯仰角速度均能滿足限制條件；隨著彈目的接近，采用一體化控制器得到的俯仰角速度變化比較小，而采用傳統(tǒng)方法設(shè)計(jì)的導(dǎo)彈俯仰角速度則相對較大，且在即將遭遇時(shí)有發(fā)散的趨勢，不利于彈體的穩(wěn)定及精確攔截。

圖5所示為導(dǎo)彈的舵偏角變化曲線。末制導(dǎo)初始段舵偏角變化較快、幅值較大，隨著視線角趨于穩(wěn)定，舵偏角變化隨之趨緩，整個(gè)過程舵偏角均未超出舵機(jī)物理限制；在導(dǎo)彈即將遭遇目標(biāo)時(shí)，采用一體化設(shè)計(jì)方法得到的舵偏角幾乎不再變化，而采用傳統(tǒng)方法設(shè)計(jì)的導(dǎo)彈舵偏角需要迅速變化，雖然變化速度及幅值未超出舵機(jī)物理限制，但由于導(dǎo)彈存在制導(dǎo)盲區(qū)，進(jìn)入盲區(qū)后舵機(jī)鎖定，實(shí)際應(yīng)用上舵機(jī)根本無法執(zhí)行，因此必然會(huì)帶來較大脫靶量。

5　結(jié)論

本文對制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了深入研究。首先推導(dǎo)出俯仰通道的制導(dǎo)控制一體化數(shù)學(xué)模型，并合理轉(zhuǎn)化為一個(gè)級聯(lián)系統(tǒng)。然后引入動(dòng)態(tài)面方法并結(jié)合干擾觀測器技術(shù)，提出了一種基于非線性干擾觀測器的積分動(dòng)態(tài)面一體化制導(dǎo)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法，在每一個(gè)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)引入誤差的積分項(xiàng)以消除穩(wěn)態(tài)誤差，提高了子系統(tǒng)的跟蹤精度，并進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析。仿真結(jié)果表明，相對于傳統(tǒng)制導(dǎo)、控制分開設(shè)計(jì)方法，本文所提出的一體化控制算法在視線角速度收斂時(shí)間、攻角穩(wěn)定性、舵機(jī)偏轉(zhuǎn)幅度、攔截精度等方面全部占優(yōu)。

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中圖分類號：TJ765.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：2095-8110（2014）03-0025-06

收稿日期：2014–03–20；

修訂日期：2014–06–10。

作者簡介：馬文橋（1986–），男，博士研究生，主要從事制導(dǎo)、控制方面的研究。E-mail：flyhorsema@163.com

Integrated Guidance and Control Design Method for Missile Based on Dynamic Surface

MAWen-qiao1,HE Chen-di1,SHI Zhen1,HUANG Han2,MAGuo-qiang3
(1.Automation College,Harbin Engineering University,Harbin,150001,China;2.Beijing Electro-Mechanical Engineering Institute,Beijing 100074,China;3.Harbin Jiancheng Group CO.,LTD,Harbin 150030,China)

Abstract：In order to avoid the defects of traditional design method,which design guidance and control system separately,the two systems are considered together,an integrated guidance and control design method is proposed.Firstly,mathematical model of integrated guidance and control is derived in pitch channel,and converted to cascade form;then an integrated guidance and control design method based on dynamic surface and nonlinear disturbance observer is proposed,integral term is introduced when designing each subsystem to eliminate the steady state error and improve the tracking accuracy.And system stability is analyzed by using Lyapunov function;finally,simulation results verified the effectiveness of the control algorithm.