周 魯，宋建梅，黃 嵐

（飛行器動(dòng)力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京100081）

帶落角約束的圓弧比例導(dǎo)引律和偏置比例導(dǎo)引律的研究

周 魯，宋建梅，黃 嵐

（飛行器動(dòng)力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京100081）

摘 要：為了實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈以一定落角命中目標(biāo)，研究了兩種帶有落角約束的圓弧比例導(dǎo)引律和偏置比例導(dǎo)引律。首先建立彈目相對運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型和框架動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型，然后闡述了兩種導(dǎo)引律的基本原理，接著對導(dǎo)彈在三維空間內(nèi)攻擊靜止與運(yùn)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真試驗(yàn)，仿真實(shí)驗(yàn)證明兩種導(dǎo)引律都能以較小的脫靶量和期望落角命中目標(biāo)，最后從原理上和仿真實(shí)驗(yàn)上對兩種導(dǎo)引律進(jìn)行了對比研究。

關(guān)鍵詞：圓弧制導(dǎo)；偏置比例導(dǎo)引；落角約束

0　引言

比例導(dǎo)引律形式簡單，技術(shù)上易于實(shí)現(xiàn)，其彈道比較平直，能對付機(jī)動(dòng)目標(biāo)，并且導(dǎo)引精度高，所以被廣泛應(yīng)用[1-3]。然而很多導(dǎo)彈在命中目標(biāo)時(shí)，不僅希望得到較小的脫靶量，還希望導(dǎo)彈能夠以最佳角度命中目標(biāo)，以發(fā)揮戰(zhàn)斗部的最大效能，實(shí)現(xiàn)最佳毀傷。比如當(dāng)目標(biāo)為重裝甲的坦克或者攜帶危險(xiǎn)載荷的飛行器時(shí)，導(dǎo)彈擊中目標(biāo)的角度就顯得尤為重要。Kim Grider[4]首先對落角約束比例導(dǎo)引開展了研究，此后很多學(xué)者在不同的應(yīng)用背景下，提出了多種具有落角約束的導(dǎo)引律[5]。迄今為止，研究較為廣泛的導(dǎo)引律有三類：一類是跟蹤某條特殊軌跡來控制末速度方向的幾何曲線導(dǎo)引律，例如圓弧導(dǎo)引律[6-8]；另一類是在傳統(tǒng)比例導(dǎo)引律的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，例如變系數(shù)比例導(dǎo)引律和添加一個(gè)時(shí)變偏置項(xiàng)的偏置比例導(dǎo)引律[9]；第三類是以現(xiàn)代滑模變結(jié)構(gòu)理論為基礎(chǔ)的變結(jié)構(gòu)比例導(dǎo)引律[10]。

本文基于半捷聯(lián)尋的制導(dǎo)系統(tǒng)對圓弧比例導(dǎo)引律和偏置比例導(dǎo)引律進(jìn)行研究，把俯仰平面內(nèi)的落角約束擴(kuò)展到三維空間中的命中速度方向約束。本文首先介紹了相關(guān)坐標(biāo)系和它們之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，并建立了半捷聯(lián)尋的制導(dǎo)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型；然后給出了圓弧比例導(dǎo)引律和偏置比例導(dǎo)引律和推導(dǎo)過程，從機(jī)理和使用兩方面對兩種導(dǎo)引律進(jìn)行了對比。最后以導(dǎo)彈攻擊三維空間內(nèi)的地面靜止目標(biāo)和低速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)為例，對兩種導(dǎo)引律數(shù)學(xué)仿真試驗(yàn)，從彈道、法向過載、落角誤差、脫靶量等方面進(jìn)行了比較。

1　相關(guān)坐標(biāo)系的定義和轉(zhuǎn)換

1）地面坐標(biāo)系A(chǔ)xiyizi：地面坐標(biāo)系是與地球表面固連的坐標(biāo)系。坐標(biāo)系原點(diǎn)A選取在導(dǎo)彈初始位置的質(zhì)心處；Axi軸指向可以是任意的，Ayi軸位于包含Axi軸的鉛垂面內(nèi)，垂直于Axi軸，向上為正，Azi軸與其它兩軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

2）彈體坐標(biāo)系Oxbybzb：坐標(biāo)系的原點(diǎn)O取在導(dǎo)彈的質(zhì)心上；Oxb軸與導(dǎo)彈縱軸重合，指向頭部為正；Oyb軸位于導(dǎo)彈縱向?qū)ΨQ面內(nèi)垂直于Oxb軸，向上為正；Ozb軸與其他兩軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

3）外框坐標(biāo)系Oxg1yg1zg1：原點(diǎn)O取在探測器中心，由于本文采用的彈體為質(zhì)點(diǎn)模型，因此探測器中心即為彈體質(zhì)心，Oxg1垂直于外框架平面，指向目標(biāo)方向?yàn)檎琌yg1軸與彈體坐標(biāo)系A(chǔ)yb軸重合，Ozg1軸位于彈體坐標(biāo)系Oxbzb平面內(nèi)，與其他兩軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

4）內(nèi)框坐標(biāo)系Oxgygzg：原點(diǎn)O取在探測器中心，Oxg軸與光軸指向相同，指向目標(biāo)方向?yàn)檎琌zg軸與外框坐標(biāo)系Ozg1軸重合，Oyg軸在外框坐標(biāo)系Oxg1yg1平面內(nèi)，與其他兩軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。內(nèi)框坐標(biāo)系又稱為光軸坐標(biāo)系。

圖1　導(dǎo)引頭幾何示意圖Fig.1 Geometry of the seeker

彈體坐標(biāo)系繞Oyb軸旋轉(zhuǎn)λy角，便可得到外框坐標(biāo)系，則彈體坐標(biāo)系到外框坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣Tb→g1為：

外框坐標(biāo)系繞Ozo軸旋轉(zhuǎn)λz角，便可得到內(nèi)框坐標(biāo)系，則外框坐標(biāo)系到內(nèi)框坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣Tg1→g為：

則彈體坐標(biāo)系到內(nèi)框坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣Tb→g為：

地面坐標(biāo)系到彈體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣Ti→b為：

式中，?,ψ,γ分別為彈體俯仰角、偏航角與滾轉(zhuǎn)角。

2　彈目相對運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型和框架動(dòng)力學(xué)

2.1彈目相對運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型

在慣性系下建立彈目相對運(yùn)動(dòng)模型如下：

其中：

式中XR(t)∈R3為彈目相對位置，VM(t)∈R3為導(dǎo)彈的速度，VT(t)∈R3為目標(biāo)的速度。 uc是導(dǎo)彈法向加速度指令，滿足如下約束：

2.2半捷聯(lián)尋的制導(dǎo)系統(tǒng)框架動(dòng)力學(xué)模型

本文假設(shè)導(dǎo)引頭框架動(dòng)力學(xué)模型如下所示：

式（8）中kg為常數(shù)，αz和αy為視覺傳感器的光軸需要轉(zhuǎn)動(dòng)的俯仰角和偏航角，設(shè)為彈目相對位置在彈體坐標(biāo)系下的投影，αz為與彈體系Oxbzb平面間的夾角，指向Oxbzb平面上方時(shí)αz為正，反之為負(fù)；αy為在Oxbzb平面內(nèi)的投影與Oxb軸之間的夾角，迎Oyb軸俯視，若其投影位于Oxb軸左側(cè)，則αy為正，反之為負(fù)。將框架坐標(biāo)系下的彈目視線轉(zhuǎn)化到彈體坐標(biāo)系下可得：

則αz與αy的計(jì)算公式為：

2.3導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀數(shù)學(xué)模型

假設(shè)自動(dòng)駕駛儀為一階慣性環(huán)節(jié)，uc為導(dǎo)彈法向加速度指令， aM為導(dǎo)彈實(shí)際加速度，ρA=1TA，TA為一階慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，其動(dòng)力學(xué)方程為：

3　圓弧導(dǎo)引律（CNG）

為了更好地闡述問題，定義運(yùn)算符a|b為a在 b 方向上的投影，a|b⊥為a在b垂直方向上的投影。angle(a,b)表示a與b之間的夾角。

定義VD為導(dǎo)彈當(dāng)前期望速度，VF為導(dǎo)彈最終期望的命中速度，VD和VF關(guān)于XR對稱，如圖2所示。ε表示VF與XR之間的夾角，λ表示VM與XR之間的夾角， fT表示視線角速度，eλ為VM和VD之間的夾角。假設(shè)目標(biāo)固定，若能保證ε和λ嚴(yán)格相等，即VM與VD一致，那么導(dǎo)彈會(huì)以一個(gè)唯一確定的圓弧軌跡飛向目標(biāo)，并以期望速度方向擊中目標(biāo)[6]。

圖2　圓弧導(dǎo)引律示意圖Fig.2 Geometry of the CNG

式中：

kp為比例系數(shù)，為在慣性坐標(biāo)系下從攝像機(jī)光心指向目標(biāo)成像點(diǎn)中心的向量，ud1，ud2為單位向量表示方向，式（13）中等號右邊第一項(xiàng)使VM轉(zhuǎn)向VD，第二項(xiàng)使導(dǎo)彈以圓弧軌跡逼近目標(biāo)。

從圓弧導(dǎo)引律推導(dǎo)過程可以看出，圓弧導(dǎo)引律由兩部分項(xiàng)組成：第一部分是比例導(dǎo)引項(xiàng)，其作用是使導(dǎo)彈以較小的脫靶量命中目標(biāo)；第二部分是導(dǎo)彈速度方向修正項(xiàng)，其作用是減小導(dǎo)彈當(dāng)前速度方向與當(dāng)前期望速度方向的偏差，使導(dǎo)彈最終以期望的角度命中目標(biāo)。該導(dǎo)引律的主要優(yōu)點(diǎn)是不需要知道彈目相對距離信息，只需要知道彈目視線的方向即可。

4　偏置比例導(dǎo)引律（BPNG）

BPNG的控制量由如下兩部分組成：

式（14）中η為設(shè)定的一個(gè)常數(shù)增益，ε為VF和 XR之間的夾角，λ為VM和 XR之間的夾角，N為一個(gè)時(shí)變增益，即：

其中ρ為目標(biāo)速度大小與導(dǎo)彈速度大小的比值，α和N'為設(shè)定的常數(shù)。由于比例導(dǎo)引項(xiàng)的作用是通過視線角速率信息使導(dǎo)彈命中目標(biāo)，那么該控制量的方向ud1為：

偏置項(xiàng)的作用是修正導(dǎo)彈當(dāng)前速度VM與彈目視線XR之間的夾角誤差ε，從而使導(dǎo)彈以期望的著角打擊目標(biāo)，所以偏置項(xiàng)的控制量方向ud2為：

可見，偏置比例導(dǎo)引律是將傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引系數(shù)改進(jìn)為時(shí)變系數(shù)，同時(shí)添加了一個(gè)時(shí)變的偏置項(xiàng)，其作用是通過消除導(dǎo)彈速度與彈目視線方向之間的偏差來實(shí)現(xiàn)落角約束。偏置比例導(dǎo)引律與圓弧比例導(dǎo)引律的主要不同之處在于，偏置比例導(dǎo)引律需要知道彈目相對距離信息。

5　仿真驗(yàn)證

5.1攻擊地面靜止目標(biāo)

本節(jié)以導(dǎo)彈打擊三維空間內(nèi)地面靜止目標(biāo)為例，分別采用圓弧比例導(dǎo)引律和偏置比例導(dǎo)引律進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。假設(shè)導(dǎo)彈期望的命中速度方向?yàn)?，即俯仰方向落?0.8°，偏航方向落角45°，自動(dòng)駕駛儀時(shí)間常數(shù)TA=0.2s，框架角控制 器 增 益 kg=20， BPNG導(dǎo) 引參 數(shù) 為α=0.28,η=1.3,N'=2.9，圓弧比例導(dǎo)引律的導(dǎo)引參數(shù)kp=‖VM‖。仿真初始條件如表1所示?；谝陨戏抡鏃l件得到的導(dǎo)彈各特征變量曲線如圖3～圖8所示。

表1　打擊地面靜止目標(biāo)的系統(tǒng)初始狀態(tài)Tab.1 The initial state of system against ground target

圖3　俯仰平面彈道曲線Fig.3 Trajectories in the pitch plane

圖4　偏航平面彈道曲線Fig.4 Trajectories in the yaw plane

圖5　俯仰方向加速度Fig.5 Acceleration in the pitch plane

圖6　偏航方向加速度Fig.6 Acceleration in the yaw plane

圖7　俯仰落角曲線圖Fig.7 Attack angle in the pitch plane

圖8　偏航著角曲線圖Fig.8 Attack angle in the yaw plane

由以上仿真結(jié)果可以看出，偏置比例導(dǎo)引律的彈道比圓弧導(dǎo)引律的彈道較平直。從過載上看，圓弧比例制導(dǎo)所需要的法向過載比偏置比例導(dǎo)引律較小，而且在末段偏置比例導(dǎo)引律的需用過載會(huì)急劇增加，在實(shí)際應(yīng)用中會(huì)由于過載約束對制導(dǎo)精度產(chǎn)生影響。從制導(dǎo)精度上看偏置比例導(dǎo)引律的脫靶量為0.11m，俯仰方向的落角誤差為0.01°，偏航方向的著角誤差為0.02°；而圓弧導(dǎo)引律的脫靶量為1.11m，俯仰方向的落角誤差為0.72°，偏航方向的著角誤差為0.90°。

5.2攻擊地面運(yùn)動(dòng)目標(biāo)

本小節(jié)假設(shè)目標(biāo)在地面上以15m/s的速度沿x軸運(yùn)動(dòng)，其余仿真條件與5.1節(jié)相同。根據(jù)以上仿真條件得到的彈道曲線、過載曲線、VM與VF的夾角曲線分別如圖9～圖14所示。

圖9　俯仰平面彈道曲線Fig.9 Trajectories in the pitch plane

圖10　偏航平面彈道曲線Fig.10 Trajectories in the yaw plane

圖11　俯仰方向加速度Fig.11 Acceleration in the pitch plane

圖12　偏航方向加速度Fig.12 Acceleration in the yaw plane

圖13　俯仰落角曲線圖Fig.13 Attack angle in the pitch plane

圖14　偏航著角曲線Fig.14 Attack angle in the yaw plane

根據(jù)以上仿真結(jié)果可以看出，偏置比例導(dǎo)引律的脫靶量為0.04m，俯仰方向的落角誤差為1.6°，偏航方向的著角誤差為3.1°。圓弧導(dǎo)引律的脫靶量為0.20m，俯仰方向的落角誤差為1.34°，偏航方向的著角誤差為6.17°。結(jié)合算例5.1，可以看出目標(biāo)機(jī)動(dòng)性對于圓弧比例導(dǎo)引律在精度上有很大的影響，而對偏置比例導(dǎo)引律的影響較小。

6　結(jié)論

本文針對半捷聯(lián)尋的制導(dǎo)系統(tǒng)，進(jìn)行了帶落角約束的偏置比例導(dǎo)引律和圓弧比例導(dǎo)引律研究。研究表明，兩種導(dǎo)引律都能以較小的脫靶量和期望落角命中目標(biāo)，其中圓弧比例導(dǎo)引律通過視覺導(dǎo)引頭提供的彈目視線方位信息來實(shí)現(xiàn)落角約束，彈目相對方位信息可通過成像平面中的目標(biāo)成像位置間接獲取；偏置比例導(dǎo)引律則通過添加時(shí)變的偏置項(xiàng)來實(shí)現(xiàn)落角約束，需要已知彈目相對距離信息，但是半捷聯(lián)尋的制導(dǎo)系統(tǒng)不能提供此信息，只能通過其他方法獲取或者大致估算。從導(dǎo)彈三維空間內(nèi)打擊目標(biāo)的數(shù)學(xué)仿真可以看出：對于靜止目標(biāo)，兩種導(dǎo)引律都能以很小的脫靶量和很高的落角精度命中目標(biāo)；對于機(jī)動(dòng)目標(biāo)，目標(biāo)的機(jī)動(dòng)性對圓弧比例導(dǎo)引律的落角精度產(chǎn)生較大的影響，而對偏置比例導(dǎo)引律影響較小。從過載上看，偏置比例導(dǎo)引律需要的過載較大，并且在導(dǎo)引末端所需過載急劇增加，使得在實(shí)際情況中由于過載的約束會(huì)對脫靶量和落角精度產(chǎn)生影響。因此在實(shí)際情況中CNG比BPNG有更好的魯棒性，并且更便于在被動(dòng)尋的制導(dǎo)系統(tǒng)上實(shí)現(xiàn)。

7　致謝

本項(xiàng)目由兵科院預(yù)研基金（9140A01010313B Q01002）支持，同時(shí)也感謝審稿人在提高論文質(zhì)量上提出的寶貴意見。

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中圖分類號：TJ765.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：2095-8110（2014）03-0011-07

收稿日期：2014–06–19；

修訂日期：2014–10–09。

基金項(xiàng)目：兵科院預(yù)研基金(9140A01010313BQ01002)

作者簡介：周魯（1990–），男，碩士，主要從事基于視覺信息的飛行器制導(dǎo)與控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。E-mail：47707550@qq.com

Research on Circular Navigation Guidance Law and Biased Proportional Navigation Guidannccee Law with Impact Angle Constraiinntt

ZHOU Lu，SONG Jian-mei，HUANG Lan
（Key Laboratory of Dynamics and Control of Flight Vehicle，Ministry of Education，School ofAerospace Engineering，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China）

Abstract：In order to intercept against a target with a certain impact angle,we study two angle constraint guidance laws called circular navigation guidance(CNG)and biased proportional navigation guidance(BPNG).Firstly we establish the relative motion dynamic model and the gimbaled dynamic model.Then we explain the basic principles of the two guidance laws and use computer simulations to test three-dimensional intercepts against a moving or stationary target.We prove that the two guidance laws have been shown to give perfect results in miss distance and desired impact angle.Finally we present a comparative research of the two guidance laws on principle and simulation experiment.

Key words:Circular navigation guidance;Biased proportional navigation guidance;Impact angle constraint