李開國

玩不厭的數(shù)字游戲

>>帕斯卡

李開國

【二項(xiàng)式定理】

二項(xiàng)式定理又叫牛頓二項(xiàng)式定理，是指(a+b)n=Cn0an+C1nan-1b1+Cn2an-2b2+…+Cnran-rbr+…+Cnnbn這樣一個展開式的公式。它是(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3等展開式的一般形式。

很多同學(xué)都玩過找規(guī)律的數(shù)字游戲吧？這個圖就是有名的帕斯卡三角形，是帕斯卡在玩數(shù)字游戲時發(fā)明的。一天，帕斯卡在紙上用1、1、1、1……寫下了水平和垂直的數(shù)列，使之成一個倒L字圖形。接著，他在第二行第二列，寫上第一行第二位數(shù)加上第二行第一位數(shù)的和2，即1+1=2；在第二行第三列，寫上之前那個數(shù)加上第一行第三位數(shù)的和3，即2＋1=3。這樣依次下去，到9為止。然后，他在第三行第二列，寫上第三行第一位數(shù)加上第二行第二位數(shù)的和3，即1+2=3；在第三行第三列，寫上之前那個數(shù)加上第二行第三位數(shù)的和6，即3+3=6……一直進(jìn)行這種鋸齒形的加法，最后得到的圖形就是帕斯卡三角形。

其實(shí)，類似的數(shù)字三角形并非是帕斯卡最先發(fā)明的，只是起初沒有被廣泛流傳罷了。1527年，德國數(shù)學(xué)家阿皮安努斯出版了自己的著作，其封面上就刻有此圖，而帕斯卡在1654年才得出了這個圖形。

仔細(xì)觀察帕斯卡三角形，我們會發(fā)現(xiàn)從右上角到左下角的對角線所經(jīng)過的數(shù)字，恰好是二項(xiàng)式定理對

【小鏈接】

二項(xiàng)式定理左邊是兩項(xiàng)和的冪的形式，右邊共有（n+1）項(xiàng)；右邊既可以看成是字母a的降冪排列，次數(shù)由n遞減到0，又可以看成是字母b的升冪排列，次數(shù)由0遞增到n，每一項(xiàng)都是n次的齊次式。

對稱性

與首末兩端“等距離”的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等，這一性質(zhì)可直接由公式Cmn=Cnn-m得到。

增減性與最大值