俞 海，郭榮鑫*，夏海廷，顏 峰，張玉波，何天淳

（1.昆明理工大學(xué)工程力學(xué)系云南省先進(jìn)材料力學(xué)行為與微觀結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，昆明650500；2.云南大學(xué)，昆明650500）

數(shù)字梯度敏感法在靜態(tài)斷裂力學(xué)實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用

俞 海1，郭榮鑫1*，夏海廷1，顏 峰1，張玉波1，何天淳2

（1.昆明理工大學(xué)工程力學(xué)系云南省先進(jìn)材料力學(xué)行為與微觀結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，昆明650500；2.云南大學(xué)，昆明650500）

為了研究斷裂力學(xué)問(wèn)題中裂紋尖端區(qū)域的局部變形場(chǎng)和斷裂特性，采用數(shù)字梯度敏感法對(duì)帶有中心貫穿裂紋的有機(jī)玻璃有限寬板條進(jìn)行了靜態(tài)實(shí)驗(yàn)研究。實(shí)驗(yàn)過(guò)程中通過(guò)CCD記錄裂紋尖端區(qū)域不同應(yīng)力狀態(tài)下的散斑圖，對(duì)記錄的散斑圖進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，得到了不同應(yīng)力狀態(tài)下裂紋尖端周圍區(qū)域內(nèi)的光線偏轉(zhuǎn)角，并通過(guò)偏轉(zhuǎn)角對(duì)Ⅰ型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行了提取。結(jié)果表明，通過(guò)數(shù)字梯度敏感方法計(jì)算得到的應(yīng)力強(qiáng)度因子與理論值吻合相對(duì)較好。

圖像處理；斷裂力學(xué)；數(shù)字梯度敏感；數(shù)字圖像相關(guān)；偏轉(zhuǎn)角；應(yīng)力強(qiáng)度因子

引 言

數(shù)字梯度敏感［1-2］（digital gradient sensing，DGS）法是基于數(shù)字圖像相關(guān)（digital image correlation method，DIC）法［3-6］的一種非接觸、全場(chǎng)光學(xué)測(cè)量技術(shù)，其原理是根據(jù)應(yīng)力導(dǎo)致光線的偏轉(zhuǎn)使透明材料表現(xiàn)出的彈光效應(yīng)來(lái)建立面內(nèi)應(yīng)力梯度與光線微小偏轉(zhuǎn)量之間的關(guān)系，偏轉(zhuǎn)角可以利用數(shù)字圖像相關(guān)方法來(lái)獲取。因?yàn)榇朔椒▽?duì)面內(nèi)應(yīng)力梯度敏感，因此，利用它可以對(duì)平面應(yīng)力狀態(tài)下的斷裂等應(yīng)力集中問(wèn)題進(jìn)行研究。在對(duì)斷裂問(wèn)題的研究中，全場(chǎng)測(cè)量方法還包括：光彈性法、云紋干涉法、焦散線以及相干敏感梯度法。這些方法由于對(duì)所采用的光源要求較高以及對(duì)材料的有所限制，而且需要對(duì)試樣表面進(jìn)行大量處理等復(fù)雜的工序，因此其適用范圍受到很大限制。而數(shù)字梯度敏感基于數(shù)字圖像相關(guān)方法，因此它對(duì)環(huán)境要求低、光路簡(jiǎn)單，而且具有可以實(shí)時(shí)、全場(chǎng)測(cè)量的特點(diǎn)故受到相關(guān)學(xué)者的重視。PERIASAMY用此方法研究了靜態(tài)和動(dòng)態(tài)荷載下局部應(yīng)力集中區(qū)域應(yīng)力梯度的分布［7］。本文中基于此方法對(duì)有機(jī)玻璃（polymethyl methacrylate，PMMA）有限寬板條的中心貫穿裂紋進(jìn)行了靜態(tài)實(shí)驗(yàn)研究，得到了裂紋尖端周圍區(qū)域應(yīng)力梯度場(chǎng)的分布圖，并對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ進(jìn)行了測(cè)量，獲得了與理論值吻合相對(duì)較好的結(jié)果。

1 基本原理

1.1 DGS方法原理

如圖1所示，用（x，y），（x0，y0）分別表示試件和目標(biāo)板面內(nèi)笛卡爾坐標(biāo)系，CCD光軸與z軸一致，L是CCD與試件中的距離。在參考狀態(tài)下（試件不受荷載），試件的厚度和折射率分別為B和n，目標(biāo)板面上P點(diǎn)的信息通過(guò)試件上O點(diǎn)被CCD所記錄。在變形狀態(tài)下（試件受荷載），由于應(yīng)力改變導(dǎo)致試件折射率的改變和泊松效應(yīng)導(dǎo)致試件厚度的改變，使P點(diǎn)附近Q點(diǎn)的信息通過(guò)試件上O點(diǎn)被CCD所記錄。在此過(guò)程中，光路由參考狀態(tài)下的OP變?yōu)樽冃螤顟B(tài)下的OQ，因此，通過(guò)確定PQ和Δ（試件中平面與散斑板的距離）便可計(jì)算得到OQ相對(duì)于光軸的偏轉(zhuǎn)角φx和φy。

以O(shè)為原點(diǎn)，→i，→j和→k分別為笛卡爾坐標(biāo)系下的單位方向向量，試件未變形時(shí)，→k與光軸重合，此時(shí)CCD通過(guò)試件O（x，y）點(diǎn)記錄散斑板面上P（x0，y0）點(diǎn)信息。試件發(fā)生變形時(shí)，由于光路的改變，散斑板面上Q（x0+δx，y0+δy）點(diǎn)通過(guò)O（x，y）點(diǎn)被CCD記錄，其中δx和δy分別為PQ在x，y方向上的分量。光路OQ的單位向量用下式表示：

式中，α，β和γ是→d的方向余弦。由應(yīng)力改變導(dǎo)致的試件折射率變化和泊松效應(yīng)導(dǎo)致的試件厚度變化產(chǎn)生的光程差表示如下［8］：

式中，n是試件未變形時(shí)的折射率，B是試件的厚度。方程中的第1項(xiàng)代表厚度變化引起的光程差，第2項(xiàng)代表折射率變化引起的光程差。根據(jù)Maxwell-Neumann定律和線彈性力學(xué)理論，對(duì)于光學(xué)各向同性且無(wú)雙折射性質(zhì)的材料，折射率變化與主應(yīng)力之間的關(guān)系為［9］：

式中，Cσ=D1-（ν/E）（n-1）是材料的光學(xué)常數(shù)。由于彈光效應(yīng)使光程發(fā)生改變導(dǎo)致光線相對(duì)于光軸的偏轉(zhuǎn)角，由光程函數(shù)得到的光傳播矢量為［8］：

從（1）式、（5）式、（6）式得知，對(duì)于小偏轉(zhuǎn)角，方向余弦與面內(nèi)應(yīng)力梯度存在如下關(guān)系：

經(jīng)簡(jiǎn)單幾何推導(dǎo)可以得到小偏轉(zhuǎn)角下方向余弦α，β與偏轉(zhuǎn)分量φx，φy之間的關(guān)系：

（9）式和（10）式便是數(shù)字敏感梯度法的控制方程，已知Cσ和B就可以得到面內(nèi)應(yīng)力梯度，而δx，δy可利用2維數(shù)字圖像相關(guān)方法獲取。

1.2 數(shù)字圖像相關(guān)方法原理

數(shù)字圖像相關(guān)方法是對(duì)運(yùn)動(dòng)、變形前后所采集得到的物體表面的兩幅數(shù)字圖像（散斑圖像）進(jìn)行相關(guān)匹配，以測(cè)量物體的位移、應(yīng)變及場(chǎng)的分布，當(dāng)物體表面變形時(shí)，物體表面的散斑隨物體的變形而運(yùn)動(dòng)，物體表面隨機(jī)分布的散斑點(diǎn)即為位移及變形的載體。其基本原理如圖2所示，在參考圖像中取以某待求像素點(diǎn)P（x0，y0）為中心的（2M+1）pixel×（2M+1）pixel大小的正方形區(qū)域作為參考圖像子區(qū)，在目標(biāo)圖像中通過(guò)一定的搜索方法按預(yù)先定義的相關(guān)函數(shù)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算，尋找與參考圖像子區(qū)互相關(guān)系數(shù)最大或最?。ㄈQ于所選擇的相關(guān)函數(shù)）以P′（x0′，y0′）為中心的目標(biāo)圖像子區(qū)，以確定P（x0，y0）點(diǎn)在x和y方向上的位移分量u和v。更詳細(xì)的內(nèi)容可以參考相關(guān)文獻(xiàn)［3-6］。

2 實(shí)驗(yàn)研究

2.1 實(shí)驗(yàn)

基于上述理論，本文中對(duì)透明PMMA有限寬板條的中心貫穿裂紋進(jìn)行了靜態(tài)實(shí)驗(yàn)。試樣的尺寸為400mm×100mm×3.8mm，中心裂紋為如圖3所示長(zhǎng)度為31mm的尖裂紋。實(shí)驗(yàn)前先對(duì)一表面平整的板面進(jìn)行處理，使其表面具有隨機(jī)分布的散斑點(diǎn)以作為本文中實(shí)驗(yàn)的目標(biāo)板，并將其置于試件后方Δ處（本文中Δ=32mm），且保證與試件表面平行。然后用CCD記錄不同加載時(shí)刻目標(biāo)板表面的散斑圖像作為目標(biāo)圖像，采集圖像時(shí)通過(guò)調(diào)整CCD焦距使圖像最清晰為佳。實(shí)驗(yàn)中圖像采集系統(tǒng)采用分辨率為2448pixel×2048pixel的CCD，標(biāo)定系數(shù)為1mm= 95pixel。圖4為CCD聚焦于試件表面和目標(biāo)板表面裂尖附近區(qū)域的圖像。從圖4可以看出，由于受邊界效應(yīng)的影響，裂紋面附近區(qū)域的圖像相對(duì)模糊，因此在用數(shù)字圖像相關(guān)方法獲取裂尖附近的δx和δy時(shí)不再考慮此區(qū)域。

在對(duì)變形前后所采集的數(shù)字圖像進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算時(shí)，采用作者編寫(xiě)的基于MATLAB的數(shù)字圖像相關(guān)計(jì)算軟件，由于依附于MATLAB，因此可以很好地借助于MATLAB在數(shù)值計(jì)算和圖像處理方面的優(yōu)勢(shì)而擴(kuò)展其相關(guān)功能，操作簡(jiǎn)單、功能齊全。在相關(guān)計(jì)算中，由于加載過(guò)程中受應(yīng)力集中的影響，試件裂尖附近區(qū)域?qū)?yīng)的圖像變形較大，為了盡量保證實(shí)際變形與算法所采用形函數(shù)的匹配［10］，采用31pixel× 31pixel相對(duì)較小的計(jì)算子區(qū)。

圖5顯示了通過(guò)計(jì)算得到的裂尖附近矩形區(qū)域內(nèi)不同荷載下偏轉(zhuǎn)角φx和φy的等高線，可以看出偏轉(zhuǎn)角φx和φy分別呈軸對(duì)稱分布，而且越靠近裂紋尖端等高線越密，說(shuō)明越靠近裂尖，應(yīng)力奇異性越大，應(yīng)力集中程度越高。這與參考文獻(xiàn)［9］中所采用方法得到的結(jié)果完全一致，與參考文獻(xiàn)［9］中所不同的是，數(shù)字敏感梯度法只需一次相關(guān)計(jì)算便可同時(shí)得到對(duì)應(yīng)荷載下的偏轉(zhuǎn)角φx和φy。

2.2 KI的測(cè)定

根據(jù)WILLIAMS對(duì)Ⅰ型裂紋應(yīng)力場(chǎng)的描述，面內(nèi)應(yīng)力梯度描述如下［8］：

式中，對(duì)于PMMA，Cσ=-0.9×10-10m2/N。（r，θ）為定義在裂尖處的極坐標(biāo)。A1=KⅠKⅠ為對(duì)應(yīng)的Ⅰ型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子。在K主導(dǎo)假設(shè)前提下，上式中N≥2項(xiàng)相對(duì)于N=1項(xiàng)可以忽略。于是（11）式、（12）式化簡(jiǎn)為：

從（13）式、（14）式可以看出，只要知道Cσ，B和偏轉(zhuǎn)角φx或φy便可計(jì)算得到應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ。本文中對(duì)0.3≤r/B≤1.2和-90°≤θ≤90°區(qū)域所包含點(diǎn)通過(guò)最小二乘提取應(yīng)力強(qiáng)度因子，這樣可以有效減小因距裂尖過(guò)遠(yuǎn)或過(guò)近對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生的影響。根據(jù)Irwin應(yīng)力強(qiáng)度因子理論，應(yīng)力強(qiáng)度因子用如下公式計(jì)算［11］：

式中，C為幾何形狀因子，對(duì)于有限寬板條的中心貫穿裂紋（如圖6所示，其中，2a是裂紋的長(zhǎng)度，2b是有限寬板的寬度），本文中采用Isida公式的最小二乘法擬合［11］：

將（16）式帶入（15）式可得：

式中，F(xiàn)是加載力。

采用此公式可以對(duì)本文中描述問(wèn)題的應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行理論計(jì)算。圖7顯示，本文中通過(guò)實(shí)驗(yàn)計(jì)算得到的應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ與理論值吻合較好。

3 結(jié) 論

介紹了數(shù)字梯度敏感測(cè)量技術(shù)的基本原理，并將其運(yùn)用于PMMA材料Ⅰ型裂紋尖端變形場(chǎng)和斷裂特征的測(cè)量，通過(guò)數(shù)字圖像相關(guān)方法對(duì)光線偏轉(zhuǎn)角的計(jì)算提取了Ⅰ型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ。結(jié)果表明：DGS方法對(duì)斷裂力學(xué)裂紋尖端區(qū)域的應(yīng)力梯度敏感；通過(guò)DGS方法測(cè)得的KⅠ與理論結(jié)果吻合較好；由于DGS方法對(duì)環(huán)境要求低、光路簡(jiǎn)單，且與現(xiàn)已比較成熟的DIC方法相結(jié)合，在相關(guān)材料應(yīng)力集中問(wèn)題全場(chǎng)測(cè)量方面是一種行之有效的方法。

［1］ PERIASAMY C，TIPPUR H V.A full-field reflection-mode digital gradient sensing method for measuring orthogonal slopes and curvatures of thin structures［J］.Measurement Science and Technology，2013，24（2）：025202.

［2］ PERIASAMY C，TIPPUR H V.Measurement of orthogonal stress gradients due to impact load on a transparent sheet using digital gradient sensing method［J］.Experimental Mechanics，2013，53（1）：97-111.

［3］ BRUCK H A，MCNEIL S R，SUTTON M A，et al.Digital image correlation using Newton-Raphson method of partial differential correction［J］.Experimental Mechanics，1989，29（3）：261-267.

［4］ PETERS W H，RANSON W F.Digital imaging techniques in experimental stress analysis［J］.Optical Engineering，1981，21（3）：427-431.

［5］ CHU T C，RANSON W F，SUTTON M A，et al.Applications of digital-image-correlation techniques to experimental mechanics［J］.Experimental Mechanics，1985，25（3）：232-244.

［6］ YU H，GUO R X，XIA H T，et al.Experimental study on the elastic modulus of WC/Cu composite material with different WC content［J］.Laser Technology，2013，37（2）：140-143（in Chinese）.

［7］ PERIASAMY C，TIPPUR H V.A full-field digital gradient sensing method for evaluating stress gradients in transparent solids［J］.Applied Optics，2012，51（12）：2088-2097.

［8］ TIPPUR H V，KRISHNASWAMY S，ROSAKIS A J.Optical mapping of crack tip deformations using the methods of transmission and reflection coherent gradient sensing-a study of crack tip K-dominance［J］.International Journal of Fracture，1991，52（2）：91-117.

［9］ YAO X F，YU W，LIU D L，et al.Coherent gradient sensing interferometry technology and its application［J］.Journal of Experimental Mechanics，2006，21（5）：560-564（in Chinese）.

［10］ SCHREIER H W，SUTTON M A.Systematic errors in digital image correlation due to undermatched subset shape functions［J］.Experimental Mechanics，2002，42（3）：303-310.

［11］ LI Q F，LI S F.Fracture mechanics and its application in engineering［M］.Harbin：Harbin Engineering University Press，2008：29-253（in Chinese）.

Digital gradient sensing measurement applied in static fracture mechanics experiments

YU Hai1，GUO Rongxin1，XIA Haiting1，YAN Feng1，ZHANG Yubo1，HE Tianchun2
（1.Key Laboratory of Yunnan Higher Education Institutes for Mechanical Behavior and Microstructure Design of Advanced Materials，Department of Engineering Mechanics，Kunming University of Science and Technology，Kunming 650500，China；2.Yunnan University，Kunming 650500，China）

In order to study the local deformation field of crack tip and fracture characteristics in fracture mechanics，static fracture tests of the limited-width polymethyl methacrylate specimen with center-crack were carried out with digital gradient sensing method.Speckle patterns under different states of stress near the crack tip were recorded by CCD in the experiment.Angular deflection was obtained by digital image correlation method and stress intensity factor in modeⅠcrack was extracted by angular deflection.It shows that the stress intensity factor calculated by digital gradient sensing measurement method is consistent with theoretical results.

image processing；fracture mechanics；digital gradient sensing；digital image correlation；angular deflection；stress intensity factor

O348.1

A

10.7510/jgjs.issn.1001-3806.2014.05.011

1001-3806（2014）05-0627-05

云南省應(yīng)用基礎(chǔ)研究基金面上資助項(xiàng)目（2011FB029）；教育部高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目（20105314110006）

俞 海（1986-），男，碩士研究生，主要從事光測(cè)實(shí)驗(yàn)力學(xué)的研究。

*通訊聯(lián)系人。E-mail：guorx@kmust.edu.cn

2013-09-23；

2013-10-29