黎 廣，黎 亮，韓慧平

（1.江西省水利規(guī)劃設(shè)計院，江西 南昌 330029）

基于季節(jié)ARIMA模型的地下水位動態(tài)預(yù)測

黎 廣1，黎 亮1，韓慧平1

（1.江西省水利規(guī)劃設(shè)計院，江西 南昌 330029）

通過分析1996～2004年測井實測逐月地下水埋深序列的趨勢性和周期性，建立了合適的季節(jié)ARIMA模型，并運用該模型對2005年逐月地下水埋深進行預(yù)測，預(yù)測值與實測值變化趨勢一致，平均相對誤差為2．5%，證明該模型用于地下水水位預(yù)報是可行的。

地下水位動態(tài)；季節(jié)ARIMA模型；預(yù)測

對地下水位動態(tài)進行微觀預(yù)測與宏觀分析是城市供水調(diào)度、地面沉降防治策略設(shè)計、工程施工降水方案設(shè)計等領(lǐng)域不可缺少的重要環(huán)節(jié)[1]。由于受自然因素（氣候、水文、降雨等）及人為因素（排水、人工回灌等）影響，地下水動態(tài)的變化是非常復(fù)雜的非線性系統(tǒng)[2]。目前，可通過確定性數(shù)學(xué)模型和隨機性數(shù)學(xué)模型研究和預(yù)測地下水位動態(tài)變化[3]。由于需要大量實測數(shù)據(jù)和水文地質(zhì)參數(shù)，確定性方法的適用性較差，而隨機性方法是通過挖掘原始數(shù)據(jù)資料本身所蘊含的信息建立系統(tǒng)模型來進行預(yù)測，則更加靈活。時間序列分析作為一種數(shù)據(jù)驅(qū)動分析技術(shù)，因其避免了序列變量諸多影響因素之間的復(fù)雜關(guān)系，使序列的分析和模擬過程大大簡化，已被廣泛用于地下水資源評價和預(yù)報[4-6]。

地下水動態(tài)變化常有晝夜的、季節(jié)的及多年的周期性變化特征。平穩(wěn)時間序列模型，如自回歸(AR)模型、滑動平均（MA）模型、自回歸滑動平均模型(ARMA)等無法處理可能存在非平穩(wěn)趨勢的序列，ARIMA模型則未考慮時間序列中可能存在的周期性特征。季節(jié)時間序列（SARIMA）模型可綜合考慮序列的趨勢變化、周期變化和隨機干擾，并借助模型參數(shù)進行量化表達，是描述具有周期變動特征的時間序列的有效建模方法。本文嘗試運用SARIMA時間序列模型對逐月地下水埋深序列進行分析，揭示地下水動態(tài)變化規(guī)律，為地下水規(guī)劃和管理提供依據(jù)。

1 季節(jié)ARIMA模型

設(shè){xt, t=0,1,…}是一隨機序列，L表示時間滯后的算子，即Lxt= xt-1。Δ表示差分運算的差分算子。如果存在非負整數(shù)d，Δd=(1-B)d，得：

式中，φ(L) =1 -φ1L-φ2L2-…-φpLp；θ(L)=1-θ1L-θ2L2-…-θqLq；ut為白噪聲序列；則稱{xt}為求和自回歸滑動平均序列[7]，記為ARIMA(p,d,q)，其中d為差分階數(shù)，p為自回歸階數(shù)，q為滑動平均階數(shù)。

在實際問題中，一些隨時間遞增而呈周期性變化的隨機序列往往是不平穩(wěn)的，只用平穩(wěn)時間序列模型或求和自回歸滑動平均模型進行處理是不夠的[8]。描述這類序列的模型之一是SARIMA模型。該模型首先用季節(jié)差分消除周期性變化。季節(jié)差分算子定義為：Δs=1-Ls。序列xt一次季節(jié)差分表示為：

對于非平穩(wěn)季節(jié)性時間序列，有時需進行D次季節(jié)差分之后才能轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)序列。在此基礎(chǔ)上可建立關(guān)于周期為s的P階自回歸Q階移動平均季節(jié)時間序列模型：

當(dāng)ut非平穩(wěn)且存在ARMA成分時，SARIMA (p, d, q) × (P, D, Q)s的一般表達式為：

式中，下標(biāo)P、Q、p、q分別表示季節(jié)與非季節(jié)自回歸、移動平均算子的最大滯后階數(shù)；d、D分別表示非季節(jié)和季節(jié)性差分次數(shù)。當(dāng)P = D = Q =0時，SARIMA模型退化為ARIMA模型；當(dāng)P = D = Q = p = q = d =0時，SARIMA模型退化為白噪聲模型。

2 SARIMA預(yù)測模型建立與預(yù)測

對于SARIMA模型的建立，可通過差分處理將序列平穩(wěn)化，即轉(zhuǎn)化為ARMA模型來解決，其建模過程如下[9]：

1）根據(jù)序列的自相關(guān)性分析得出序列的季節(jié)性周期s。

2） 根據(jù)對序列的趨勢分析分別得到d和D的估計，對序列進行差分處理，消除趨勢性和周期性，得到新的平穩(wěn)序列。

3）模型識別，根據(jù)序列的相關(guān)性確定相應(yīng)的模型階數(shù)的初始范圍。

4）模型參數(shù)估計，用極大似然估計得到模型中所有參數(shù)的估計值，并根據(jù)信息準則來判定模型的擬合優(yōu)度和模型殘差的白噪聲檢驗，確定最優(yōu)模型。

5）運用最優(yōu)模型進行預(yù)測。

6）精度評定。為評價模型的預(yù)測性能，本文采用相對誤差Pe和平均絕對誤差百分比MAPE對模型進行評價，表達式分別為：

3 應(yīng)用實例

圖1為南昌市某地下水觀測井1996～2005年的實測月度地下水埋深序列，可以看出，多年來該地區(qū)地下水變化復(fù)雜，動態(tài)曲線表現(xiàn)出明顯周期性變化的非平穩(wěn)特征，周期為12個月。本文使用1996～2004年108個月度地下水動態(tài)的歷史序列對2005年12個月水位動態(tài)進行預(yù)測，并將預(yù)測結(jié)果與相應(yīng)的實測數(shù)據(jù)進行比較。

圖1 地下水位動態(tài)序列圖

由于原始序列具有周期變化特點和上升趨勢，因此無法直接采用平穩(wěn)時間序列方法對其建模，應(yīng)首先對序列進行平穩(wěn)化處理。由近似信號序列經(jīng)一階差分和季節(jié)差分后自相關(guān)系數(shù)圖（如圖2所示）可知，當(dāng)P＞2之后時間序列的自相關(guān)系數(shù)都落入置信區(qū)間，則可認為經(jīng)差分處理的序列是平穩(wěn)的。

圖2 一階差分和季節(jié)差分后序列自相關(guān)系數(shù)

根據(jù)差分變換的次數(shù)，可初步確定模型是以12個月為周期的SARIMA(p,1,q)(P,1,Q)模型，其中p、q和P、Q是待定參數(shù)。由自相關(guān)系數(shù)可知，平穩(wěn)化處理后的數(shù)據(jù)不含有季節(jié)相關(guān)項，故P = Q =0。選取不同的p,q(0≤p,q≤2)值，根據(jù)AIC準則對模型進行診斷，得出當(dāng)p =1,q =1時，AIC值較小，且對模型擬合殘差進行χ2檢驗。診斷結(jié)果表明，殘差不存在相關(guān)性，可接受SARIMA(1,1,1)(0,1,0)模型最優(yōu)。根據(jù)極大似然方法進行參數(shù)估計，估計結(jié)果分別為：φ1=0.436 1和θ1=-0.919 0，模型的數(shù)學(xué)表達式為：運用模型ARIMA(1,1,1)(0,1,0)12對2005年1～12月的地下水位埋深進行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果如圖3所示。除3、4月份的實測值落在預(yù)測值95%置信度區(qū)間之外，其余月份預(yù)測值均與實測值符合較好。表1為采用ARIMA(1,1,1)(0,1,0)12模型1～12月份的實測值與預(yù)測值的對比，由表可知，平均相對誤差最大為8%，最小可達0．3%。再選用平均絕對誤差百分比MAPE評價精度，求得MAPE=2．425%，可認為季節(jié)ARIMA模型對地下水埋深預(yù)報的結(jié)果是可靠的。

圖3 2005年地下水位埋深的實際觀測值與預(yù)測值比較圖

表1 2005年1～12月地下水埋深實測值與預(yù)測值表

4 結(jié) 語

地下水水位的變化可反映該地區(qū)地下水系統(tǒng)內(nèi)部的變化規(guī)律，通過對地下水動態(tài)的預(yù)測，能有效實現(xiàn)對該地區(qū)水位的調(diào)控，對合理利用和管理地下水資源有重要意義。本文運用SARIMA模型對1996～2004年實測逐月地下水位動態(tài)序列進行了分析，建立ARIMA(1,1,1)(0,1,0)12模型，并應(yīng)用該模型對2005年1～12月的地下水位埋深進行了預(yù)測，預(yù)測結(jié)果與實測變化符合較好，平均相對誤差為2．5%，表明該模型可用于地下水位動態(tài)預(yù)測，為地下水資源評價和管理提供了依據(jù)。

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B

1672-4623（2014）01-0149-02

10.11709/j.issn.1672-4623.2014.01.052

黎廣，主要從事水利工程測量工作。

2013-04-17。

項目來源：國家自然科學(xué)青年基金資助項目(41204002)；民政部減災(zāi)和應(yīng)急工程實驗室開放基金資助項目（LDRERE20120102）。