陳 潔

（湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢 430068）

微積分的基礎(chǔ)和研究工具是極限理論,而極限理論的核心是極限概念,許多數(shù)學(xué)概念,例如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分等,都是建立在極限概念的基礎(chǔ)上。搞好極限概念的教學(xué)不僅有利于整個微積分課程的學(xué)習(xí),而且也關(guān)乎學(xué)生整個數(shù)學(xué)生涯的學(xué)習(xí)，但學(xué)生對極限概念的理解困難重重，因此，有必要研究極限概念的教學(xué)方法。

1 以生動有趣的例子引入極限的概念

著名的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家趙訪熊(1908-1996)教授指出“在教學(xué)中注重實效,反對照本宣科,應(yīng)該經(jīng)常用一些形象化、生動有趣的例子來講解數(shù)學(xué)的基本概念”。 例如“國徽極限"的故事，“天安門上有個國徽,國徽里還有個小天安門,小天安門上還有個小國徽……,我們可以想象空間中存在一個點,在這個點周圍有無窮多個天安門和無窮多個國徽。這個點就是天安門和國徽無窮系列的極限。這里講的就是極限概念。

還有，著名的劉徽“割圓術(shù)”的例子。公元263年，中國數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出“割園”之說。所謂“割圓術(shù)”，在圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，每邊邊長均等于半徑；再作正十二邊形，從勾股定理出發(fā)，求得正十二邊形的邊長，如此類推，從內(nèi)接n邊形的邊長可推知內(nèi)接2n邊形的邊長。從圓內(nèi)接正n邊形每邊邊長，可求得內(nèi)接2n邊形的面積。這樣，即使邊數(shù)極多的內(nèi)接正多邊形面積也可以一步步求解。根據(jù)極限觀念，劉徽指出：隨著圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的增加，它的周長和面積越來越接近圓周長和圓面積，“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”。 通過這些例子的講解，可以引起學(xué)生的興趣,開闊學(xué)生思維的廣闊性和靈活性，激發(fā)他們學(xué)習(xí)微積分的熱情。

2 引導(dǎo)學(xué)生知道微積分中極限思想的重要性

極限思想的運用是區(qū)別初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要特征，把初等數(shù)學(xué)中對常量的研究，通過極限思想轉(zhuǎn)變成微積分中變量的分析研究過程，同時伴隨著由有限到無限觀念的轉(zhuǎn)變。極限也是貫穿微積分的重要知識點，可謂是沒有極限思想就沒有微積分。

極限概念是微積分最基本的概念,微積分中大量的其他基本概念都是用極限概念來表達的,例如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、級數(shù)、重積分概念、曲線積分概念及曲面積分概念等等。 因此，極限是研究無限的有力工具。例如在定積分的概念中，先通過無限可分,將有限的轉(zhuǎn)化為無限的,再利用極限來研究,也就達到了利用極限來研究有限的目的由于極限概念是微積分的主要概念,極限理論是微積分的主要理論,極限是微積分的主要工具。因此，學(xué)生學(xué)好搞好極限概念，不僅能使學(xué)生學(xué)到必要的數(shù)學(xué)基本知識和技能,而且能為學(xué)生進行后期的專業(yè)課學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，增強學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

3 幫助學(xué)生理解極限的概念

首先，直觀地給出極限的描述性定義。即“如果當(dāng)數(shù)列 ｛xn｝的項數(shù)n無限地增大時,無限地接近常數(shù)a,則稱a是該數(shù)列的極限,記作在這里，數(shù)列 ｛x｝無限地接n

極限概念的重要性不言而喻。但學(xué)生難以很快地掌握極限,極限概念的不理解,容易造成了學(xué)生對于極限存在及可導(dǎo)、還續(xù)等概念關(guān)系的混淆。所以極限概念的教學(xué)更應(yīng)該注重學(xué)生領(lǐng)悟的過程,而不能操之過急。近常數(shù)a，可以理解為“xn與常數(shù)a的距離 xn-a 無限的減小”。因此，xn-a 就定量地刻畫了xn與a的接近程度。 xn-a 的值越小，則表示xn與常數(shù)a的接近程度越高。而 xn-a 無限的減小，就可以認為xn-a 可以任意的小，要多小有多小。即任意跟定多么小的正數(shù)ε，當(dāng)n無限增大時，xn-a 可以小于給定的正數(shù)ε。

在這里，可以用正整數(shù)N來刻畫n無限增大時，也就是說 xn-a＜ε，的條件是n要無限地增大。即無論任意給定的多么小的正數(shù)，總能找到一項N，使得從N+1項起，所有的項都滿足 xn-a ＜ε。從而，可以給出極限的嚴(yán)格定義“對任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)N，當(dāng)n＞N時，恒有 xn-a ＜ε成立，則稱a是該數(shù)列的極限,記作xn=a”

最后，極限概念是一個相當(dāng)難度的概念,極限概念的學(xué)習(xí)應(yīng)該是一個長期的過程,對極限概念的理解不是一蹴而就的,需要學(xué)生在長期的學(xué)習(xí)屮慢慢感悟。

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