全然，簡(jiǎn)金寶，韋化

（1.河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，鄭州 450001；2.玉林師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，玉林 537000；3.廣西大學(xué)電氣工程學(xué)院，南寧 530004）

電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流是研究在滿足系統(tǒng)運(yùn)行和安全約束的前提下如何達(dá)到系統(tǒng)的最優(yōu)運(yùn)行狀態(tài)的問(wèn)題。隨著電力系統(tǒng)規(guī)模的不斷擴(kuò)大和電力市場(chǎng)改革的不斷深入，最優(yōu)潮流OPF（optimal power flow）得到了廣泛的關(guān)注和研究。Carpentier于1962年首先提出了嚴(yán)格數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的最優(yōu)潮流模型[1]，其實(shí)質(zhì)是一個(gè)帶一般約束的高維非線性最優(yōu)化問(wèn)題。求解最優(yōu)化問(wèn)題的許多方法都曾被用于求解OPF問(wèn)題，如線性規(guī)劃法、二次規(guī)劃法、非線性規(guī)劃法、牛頓法以及現(xiàn)代內(nèi)點(diǎn)法等。

由于能有效求解大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題，現(xiàn)代內(nèi)點(diǎn)法被廣泛地應(yīng)用于求解電力系統(tǒng)的各種優(yōu)化問(wèn)題，成為求解電力系統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題的主流算法，而且不斷地被深入研究[2～10]，尤其是原始－對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法[2～7]得到了廣泛的應(yīng)用和改進(jìn)，取得了很好的效果。但仍存在一些問(wèn)題需要研究，如算法的收斂性和計(jì)算速度等。文獻(xiàn)[2]結(jié)合電力系統(tǒng)的特點(diǎn)，通過(guò)重新排列原始對(duì)偶變量的順序使得修正方程組的系數(shù)矩陣出現(xiàn)與節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣有相似結(jié)構(gòu)的4×4子塊矩陣，顯著地減少了注入元的個(gè)數(shù)，增加了稀疏性，取得了很好的計(jì)算效果；內(nèi)點(diǎn)算法在文獻(xiàn)[3～5]得到了進(jìn)一步應(yīng)用，取得了滿意的計(jì)算效果，成為一種成熟的內(nèi)點(diǎn)算法。這種算法為局部?jī)?nèi)點(diǎn)法。其顯著特點(diǎn)是收斂速度快，計(jì)算時(shí)間短。但初始點(diǎn)選取不好可能會(huì)導(dǎo)致算法不收斂或收斂到不可行點(diǎn)，這將在第4節(jié)的數(shù)值實(shí)驗(yàn)分析中進(jìn)行詳細(xì)討論；文獻(xiàn)[11，12]也分別給出了簡(jiǎn)單的數(shù)值例子，從數(shù)學(xué)上說(shuō)明上述“壞”情況確實(shí)會(huì)出現(xiàn)；文獻(xiàn)[13]提出一種收斂性好的零空間內(nèi)點(diǎn)算法NSIPM（null space interior point method）。該算法利用一個(gè)無(wú)約束二次規(guī)劃的近似解作為預(yù)測(cè)步，再求解一個(gè)等式約束的二次規(guī)劃得到一個(gè)零空間步作為迭代方向。算法具有良好的收斂結(jié)果。算法產(chǎn)生的點(diǎn)列要么收斂到松弛問(wèn)題擾動(dòng)的Karush－Kuhn－Tucher（KKT）點(diǎn)或原問(wèn)題的FJ（Fritz－John）點(diǎn)，要么收斂于違背約束條件最小化問(wèn)題的不可行穩(wěn)定點(diǎn)。

本文把文獻(xiàn)[13]中的NSIPM應(yīng)用于求解OPF，通過(guò)改進(jìn)終止準(zhǔn)則和修正原始對(duì)偶變量能有效控制迭代點(diǎn)的可行性及松弛變量的互補(bǔ)性，保證迭代點(diǎn)趨于最優(yōu)解，提高了算法的收斂性。對(duì)5個(gè)IEEE標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析，結(jié)果表明算法的收斂性好，收斂速度快。對(duì)于IEEE 14、118和300節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，壓縮電壓約束的范圍，算法也能較好地收斂。對(duì)于IEEE 300節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，在一定范圍內(nèi)取不同初始點(diǎn)，算法均能較快收斂，對(duì)初值不敏感。這些結(jié)果都表明算法具有良好的收斂性和魯棒性。

1 NSIPM簡(jiǎn)介

電力系統(tǒng)OPF問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型具體可描述為

引入松弛變量l和u，則式（1）轉(zhuǎn)化為松弛問(wèn)題

其擾動(dòng)的KKT條件為

若初始點(diǎn)不可行，線性化等式可能會(huì)導(dǎo)致算法不收斂或收斂于不可行點(diǎn)。為克服這一不足，文獻(xiàn)[13]提出了基于零空間技術(shù)的原始對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)算法，其實(shí)質(zhì)是對(duì)線性化等式右端項(xiàng)的擾動(dòng)，具體過(guò)程如下。

首先，記

式中：g=g（x）；h=h（x）；▽g=▽g（x）；▽h=▽h（x）；I為單位矩陣；B=▽2（ fx）+▽2g（x）（w-z）+▽2h（x）y；▽f=▽?zhuān)╢x）；W=diag（w）；Z=diag（z）。

文中‖·‖均為歐幾里德范數(shù)，由帶等式約束的二次規(guī)劃的解產(chǎn)生零空間步，即

KKT條件為

根據(jù)文獻(xiàn)[13]的引理2.3知，當(dāng)Q在R的零空間上正定時(shí)，式（8）與式（9）同解，所以只需式（9）即可得到各變量的增量。令d=（Δx，Δu，Δl），p=（w+Δw，z+Δz，y+Δy），將具體的R，Q，q，d，p分別代入式（9），可得

式中，Lx=▽f+▽g（w-z）+▽hy。形式上式（10）與文獻(xiàn)[2]中的修正方程組相似，不同的是式（10）的右端項(xiàng)出現(xiàn)，若換為-r，則與文獻(xiàn)[2]的修正方程組本質(zhì)上一致。這里的可看作-r的擾動(dòng)項(xiàng)。正是這一擾動(dòng)，通過(guò)對(duì)的控制，使得NSIPM具有很好的收斂性和魯棒性。文獻(xiàn)[13]假設(shè)滿足條件為

式中：κ1、κ2為正常數(shù)；矩陣在此條件下，再利用一定的假設(shè)條件，文獻(xiàn)[13]證明了NSIPM具有全局收斂性和局部超線性收斂性。尤其具有良好的全局收斂性，即文獻(xiàn)[13]中的定理4.10：算法產(chǎn)生的點(diǎn)列要么收斂到問(wèn)題式（2）的擾動(dòng)的KKT點(diǎn)（即滿足式（3））或原問(wèn)題的FJ點(diǎn)，要么收斂于違背約束條件最小化問(wèn)題的不可行穩(wěn)定點(diǎn)。

若

則取

式中：ν∈（0，1）；ψ為式（7）中的目標(biāo)函數(shù)。

否則計(jì)算

再在dC和dN張成的子空間中求預(yù)測(cè)步，使得

利用效益函數(shù)進(jìn)行線搜索

式中：ξ=（x，u，l）；ρ為罰參數(shù)；m為式（1）中不等式約束的個(gè)數(shù)，即g（x）的維數(shù)，且φ（ξ）=（g+u-，-g+l+，h）。效益函數(shù)φ（ξ；ρ）為l2罰函數(shù)，不可微，由文獻(xiàn)[14]的命題3.1可知，其方向?qū)?shù)為

在當(dāng)前迭代點(diǎn)ξk（k表示第k次迭代，下同）處，為使效益函數(shù)值有所下降，迭代步長(zhǎng)αk應(yīng)滿足

式中，σ∈（0，1/2）。

下面給出罰參數(shù)ρk+1的取值方法[13]。先計(jì)算

式中，τ∈（0，1）。從而取罰參數(shù)ρk+1為

求取原始對(duì)偶變量的初始最大步長(zhǎng)為

2 OPF模型

本文采用的OPF模型中，目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)依次為

（1）目標(biāo)函數(shù)采用發(fā)電燃料費(fèi)用，即

（2）等式約束為潮流方程，即

（3）不等式約束為運(yùn)行約束，即

式（25）～式（27）中：v=（PG，QR，e，f）；ei+j fi為節(jié)點(diǎn)i的電壓復(fù)相量分別為節(jié)點(diǎn)電壓幅值上下限的平方值；a2i、a1i、a0i分別為火電廠i的燃料系數(shù)；PG，i、QR，i分別為節(jié)點(diǎn)i上的可調(diào)有功出力和無(wú)功出力分別為其上下限；PDi、QDi分別為節(jié)點(diǎn)i上的有功負(fù)荷和無(wú)功負(fù)荷；Gij+j Bij為節(jié)點(diǎn)i與j之間的互導(dǎo)納；SG為發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)集合；SR為無(wú)功電源集合；SN為節(jié)點(diǎn)集合；SL為約束線路集合Bij為傳輸線i-j上的有功潮流，Pij，Pij分別為其上下限。

3 算法步驟

求解OPF問(wèn)題的NSIPM計(jì)算步驟[13]如下。

步驟1初始化：設(shè)k=l=0；τ，β∈（0，1）；σ，μ，η，γ1，γ2＞0；ρ0=10；ε=10－5。

步驟4解式（10），得到各變量增量。

步驟5根據(jù)式（23）調(diào)整罰參數(shù)ρk+1。

步驟6進(jìn)行線搜索確定步長(zhǎng)αk：由式（24）確定原始對(duì)偶變量的初始最大步長(zhǎng)sp和sd。取αk=spβθ，θ為使得式（21）滿足的最小非負(fù)整數(shù)。更新變量值

其中

令yk=yk+Δyk；k=k+1，轉(zhuǎn)入步驟3。

步驟7減小參數(shù)μ的值，l=l+1，轉(zhuǎn)入步驟2。

由于關(guān)于對(duì)偶變量wk，zk的修正不易執(zhí)行[13]，步驟6給出對(duì)偶變量新的修正形式。此修正方法仍能使得Ukwk、Lkzk的每一個(gè)分量均屬于區(qū)間[γ1μ，γ2μ]，且（Ukwk，Lkzk）→（μe，μe）。當(dāng)μ→0時(shí)，能保證松弛變量的互補(bǔ)性，即（Uw，Lz）=（0，0）。

迭代過(guò)程中，‖F(xiàn)（w^k；μ）‖趨于0，但‖F(xiàn)（w^k；μ）‖有時(shí)產(chǎn)生波動(dòng)，影響算法的收斂速度。這是因?yàn)镹SIPM采用的效益函數(shù)不能保證‖F(xiàn)（w^k；μ）‖在每一次迭代時(shí)下降。數(shù)值仿真表明波動(dòng)主要是受‖F(xiàn)（w^k；μ）‖中的▽f（xk）+▽g（xk）（wk-zk）+▽h（xk）yk的影響，去掉此項(xiàng)，記F（w^k；μ）中剩下部分為Z（?k；μ）=（rk，Ukwk－μe，Lkzk－μe），則在迭代過(guò)程中‖Z（?k；μ）‖平穩(wěn)下降且趨于0。由式（3）可知，Z（?k；μ）中的rk為OPF問(wèn)題的潮流約束和運(yùn)行約束，Z（?k；μ）中的（Ukwk－μe，Lkzk－μe）為松弛變量的互補(bǔ)性條件。當(dāng)‖Z（?k；μ）‖→0時(shí)，可保證OPF問(wèn)題迭代點(diǎn)的可行性和互補(bǔ)性。因此，為減少迭代過(guò)程中的波動(dòng)，加快收斂速度，在算法執(zhí)行時(shí)，將步驟2和步驟3的收斂準(zhǔn)則中的F（w^k；μ）換為Z（?k；μ），具有實(shí)際意義。

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

利用本算法，使用Matlab 7.1編寫(xiě)程序，對(duì)IEEE14、30、57、118及300節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)。計(jì)算環(huán)境為：AMD Athlon（tm）64×2Dual Cone Processor3800+，896MBRAM，Windows XP。測(cè)試系統(tǒng)的基本參數(shù)見(jiàn)表1。算法執(zhí)行時(shí)，參數(shù)分別設(shè)置為：μ=0.9；η=500；γ1=0.000 1；γ2=600；β=0.5；σ=0.01；τ=0.5。算法步驟7中取μ=0.1μ。

表1 測(cè)試系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Parameters of test system

記本文算法為“算法1”，文獻(xiàn)[2]的內(nèi)點(diǎn)算法為“算法0”，2種算法在平啟動(dòng)和電壓約束上下界分別為=1.1和=0.9時(shí)的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。由表2可以看出，2種算法的迭代次數(shù)相差不大。

表2 算法1與算法0的迭代結(jié)果Tab.2 Iteration results of algorithm s1 and 0

為加快收斂速度，去掉算法1中的線搜索步驟，借鑒文獻(xiàn)[2]中的步長(zhǎng)取法，步驟6中取αk=sp；yk=yk+sdΔyk，這樣的算法記為“算法2”。雖然類(lèi)似于文獻(xiàn)[2]中的原始對(duì)偶變量的步長(zhǎng)取值，但兩者不一樣。本文在步驟6中對(duì)原始變量u、l和對(duì)偶變量w、z進(jìn)行了二次修正。

表3 算法2與算法0的計(jì)算結(jié)果Tab.3 Results of algorithm s2 and 0

圖1 算法2對(duì)IEEE 118和300節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的迭代收斂過(guò)程Fig.1 Convergence procedure of algorithm 2 for IEEE 118 and 300-bus system s

其平穩(wěn)地下降到誤差范圍內(nèi)，很好地保證了迭代點(diǎn)的可行性、松弛變量的互補(bǔ)性和迭代點(diǎn)的最優(yōu)性。說(shuō)明改進(jìn)的收斂準(zhǔn)則和對(duì)偶變量的修正方法有效。分別以IEEE 14、118和300節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例，通過(guò)與算法0比較說(shuō)明算法1和算法2具有良好的收斂性。首先以IEEE 14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例，增大電壓約束下界，減小上界，使電壓約束更嚴(yán)格。經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，算法0在平啟動(dòng)時(shí)不收斂，而算法1經(jīng)過(guò)25次迭代后收斂；然后以IEEE 118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例，與算法0比較說(shuō)明算法2具有良好的收斂性。此時(shí)算法2中的部分參數(shù)值調(diào)整為：η=5；γ1=0.05；在步驟7中取μ=0.08μ。增大電壓約束下界Vi，減小上界經(jīng)實(shí)驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，算法0在平啟動(dòng)時(shí)不收斂，而在此條件下算法2收斂。對(duì)上界V進(jìn)行小擾動(dòng)，取Vi=，在平啟動(dòng)時(shí)，算法0仍不收斂，算法2收斂，說(shuō)明算法2具有良好的收斂性。這2種情況的迭代結(jié)果如表4所示。表4中電壓虛部初值f=0，實(shí)部初值取5種情況，其中a1=算法2與算法0分別在平啟動(dòng)時(shí)對(duì)IEEE 118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的收斂迭代過(guò)程如圖2所示。為清晰起見(jiàn)，圖2中從第60次迭代開(kāi)始。算法0的收斂判斷值，即文獻(xiàn)[2]中的互補(bǔ)間隙為

最后以IEEE 300節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例，將算法2與算法0進(jìn)行比較。壓縮電壓上下界，下界為原來(lái)的1.01倍，上界為原來(lái)的0.935 614倍。算法0在平啟動(dòng)時(shí)不收斂，而算法2收斂。在此電壓上下界條件下，電壓虛部初值為0，實(shí)部取不同初值時(shí)2種算法的迭代結(jié)果見(jiàn)表5。由表5可見(jiàn)，算法2具有良好的收斂性。

表4 算法2與算法0對(duì)IEEE 118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的迭代結(jié)果Tab.4 Iteration results between algorithms2 and 0 for IEEE 118-bus system

圖2 算法2與算法0對(duì)IEEE118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)收斂迭代過(guò)程Fig.2 Convergence procedure between algorithms2 and 0 for IEEE 118-bus system

表5 算法2與算法0對(duì)IEEE 300節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的迭代結(jié)果Tab.5 Iteration results between algorithms2 and 0 for IEEE 300-bus system

5 結(jié)語(yǔ)

本文將NSIPM應(yīng)用于求解OPF，通過(guò)預(yù)測(cè)步和零空間步來(lái)產(chǎn)生搜索方向，改進(jìn)的收斂準(zhǔn)則和對(duì)偶變量修正方法能有效控制迭代點(diǎn)的最優(yōu)性和松弛變量的互補(bǔ)性。5種IEEE算例的數(shù)值結(jié)果表明，無(wú)論是在約束條件苛刻還是在一定范圍內(nèi)取不同初始迭代點(diǎn)，本文算法均能收斂到最優(yōu)解，具有良好的收斂性和魯棒性。

[1]Carpentier J.Contribution to the economic dispatch problem[J].Bulletin de ls Societe Francaise des Electriciens，1962，（8）：431-437.

[2]Wei Hua，Sasaki H，Kubokawa J，et al.An interior point nonlinear programming for optimal power flow problems with a novel data structure[J].IEEE Trans on Power Systems，1998，13（3）：870-877.

[3]韋化，李濱，杭乃善，等（WeiHua，LiBin，Hang Naishan，et al）.大規(guī)模水-火電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流的現(xiàn)代內(nèi)點(diǎn)理論分析（An analysis of interior point theory for large-scale hydrothermal optimal power flow problems）[J].中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)（Proceedings of the CSEE），2003，23（4）：5-8.

[4]韋化，丁曉鶯（WeiHua，Ding Xiaoying）.基于現(xiàn)代內(nèi)點(diǎn)理論的電壓穩(wěn)定臨界點(diǎn)算法（An algorithm for determining voltage stability critical point based on interior point theory）[J].中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)（Proceedings of the CSEE），2002，22（3）：27-31.

[5]丁曉鶯，王錫凡，張顯，等（Ding Xiaoying，Wang Xifan，Zhang Xian，et al）.基于內(nèi)點(diǎn)割平面法的混合整數(shù)最優(yōu)潮流算法（Mixed integer optimal power flow based on interior point cutting plane method）[J].中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)（Proceedings of the CSEE），2004，24（2）：1-7.

[6]黃鎮(zhèn)，楊京燕，覃智君，等（Huang Zhen，Yang Jingyan，Qin Zhijun，et al）.采用內(nèi)點(diǎn)法的多目標(biāo)低電壓風(fēng)險(xiǎn)優(yōu)化（Interior point method based multi-objective optimization of low voltage risk）[J].電力系統(tǒng)及其自動(dòng)化學(xué)報(bào)（Proceedings of the CSU-EPSA），2011，23（2）：92-97.

[7]李曉莉（LiXiaoli）.考慮支路電壓穩(wěn)定指標(biāo)的無(wú)功定價(jià)新模型（Reactive power pricing model considering line voltage stability index）[J].電力系統(tǒng)及其自動(dòng)化學(xué)報(bào)（Proceedings of the CSU-EPSA），2010，22（5）：156-160.

[8]陳妍，黃民翔（Chen Yan，HuangMinxiang）.基于信賴(lài)域內(nèi)點(diǎn)法的靜態(tài)ATC計(jì)算（Static ATC calculation based on a trust region interior-point method）[J].電力系統(tǒng)及其自動(dòng)化學(xué)報(bào)（Proceedings of the CSU-EPSA），2005，17（5）：71-74.

[9]余娟，顏偉，李文沅（Yu Juan，YanWei，LiWenyuan）.考慮發(fā)電機(jī)安全運(yùn)行極限的非固定分段無(wú)功優(yōu)化模型及其算法（An unfixed piecewise model of reactive optimization and its algorithms considering generator capability limits）[J].中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)（Proceedings of the CSEE），2007，27（7）：23-28.

[10]YuchiW，Debs A S，Marsten R E.A direct nonlinear predictor-corrector primal-dual interior point algorithm for optimal power flows[J].IEEE Trans on Power Systems，1994，9（2）：876-883.

[11]Wachter A，Biegler L T.Failure of global convergence for a class of interior point methods for nonlinear programming[J].Mathematical Programming，2000，88（3）：565-574.

[12]Byrd R H，Marazzi M，Nocedal J.On the convergence of Newton iterations to non-stationary points[J].Mathematical Programming，2004，99（1）：127-148.

[13]Liu Xinwei，Yuan Yaxiang.A null-space primal-dual interior-point algorithm for nonlinear optimization with nice convergence properties[J].Mathematical Programming，2010，125（1）：163-193.

[14]Liu Xinwei，Sun Jie.A robust primal-dual interior-point algorithm for nonlinear programs[J].SIAM Journal on Optimization，2004，14（4）：1163-1186.