梅 芳 王巧玲 曾春華

（江西農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，江西 南昌 330045）

問題驅(qū)動式教學(xué)法是基于問題的教學(xué)方法，一種建立在構(gòu)建主義教學(xué)理論基礎(chǔ)上的教學(xué)法，它要求“問題”的目標(biāo)性和教學(xué)情景的創(chuàng)建，學(xué)生在老師的幫助下，緊緊圍繞共同的任務(wù)，在強烈的真實問題動機的驅(qū)動下，通過對資源的積極主動應(yīng)用，進行自主探索和互動協(xié)作的學(xué)習(xí)。

目前國內(nèi)大學(xué)《數(shù)值分析》課程的教學(xué)改革起步晚，注重純理論教學(xué)。教學(xué)過程中存在的不足：數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)嚴密但是教學(xué)枯燥，學(xué)生學(xué)習(xí)缺乏興趣。國外《數(shù)值分析》課程的改革走在前沿，美國工程院院士Cleve Moler在20世紀(jì)70年代提出在學(xué)習(xí)方式上,將教師引導(dǎo)與學(xué)生自主探究、合作交流有機結(jié)合起來。注意吸收計算數(shù)學(xué)中算法研究的最新理論研究成果，讓學(xué)生在真實的問題驅(qū)動下，帶著問題去學(xué)習(xí)領(lǐng)會蘊含其中的算法原理,并能運用所學(xué)理論分析利用數(shù)學(xué)軟件解決現(xiàn)實生活中的科學(xué)問題。但對驅(qū)動問題的解決措施的探討深入不夠。

本文以數(shù)值分析課程的插值法為例，介紹問題驅(qū)動式教學(xué)法在整個章節(jié)課堂教學(xué)中的研究與應(yīng)用。

1 創(chuàng)設(shè)問題情境，提出問題

函數(shù)是描述自然界客觀規(guī)律的重要工具，實際應(yīng)用中許多函數(shù)是通過實驗或者觀測得到的，其形式是一張函數(shù)表，作一條曲線，其類型（代數(shù)多項式函數(shù)，三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)……）是事先人為給定的，該曲線經(jīng)過所有點(xi,yi),i=0,1,2,…,n，這就是所謂的插值問題。

據(jù)資料記載，某地某年間隔30天的日落時間如下：

5月1日 5月31日 6月30日日出 4:51 4:17 4:16日落 19:04 19:38 19:50

根據(jù)上述資料，計算這一年中哪一天白天“最長”。

2 引導(dǎo)學(xué)生討論交流，解決問題

讓學(xué)生查找資料，分組討論，了解插值法的產(chǎn)生背景，中外數(shù)學(xué)家在此問題上研究的進程，這種古老的分析問題數(shù)學(xué)方法應(yīng)用在那些課題中？分析關(guān)于多項式插值的理論依據(jù)是什么？提出問題對于函數(shù)y=f(x)是否存在這樣的多項式函數(shù)P(x)能精確的逼近它呢？經(jīng)過數(shù)學(xué)的推導(dǎo)得到結(jié)論：滿足給定區(qū)間[a,b]上 n+1 個點 a≤x0＜x1＜…＜xn≤b 上的函數(shù)值為y=f(xi)(i=0,1,…,n)的插值多項式P(x)存在且唯一。

然后得到Lagrange插值法的計算公式：

其中

插值余項與誤差估計：

接下來，按上面的理論知識，求解提出的問題，建立一個簡單的數(shù)學(xué)模型，用二次等距離插值法計算求解：

5月1日設(shè)為第0天，則x=0

再設(shè)每一天白天的長度（日出與日落的時數(shù)）為14小時13分+T分

故天數(shù)和它的長度可用(x,T)表示。有記載的三天數(shù)據(jù)對應(yīng)于(0,0),(30,68),(60,81)

由微積分中的最值原理T'(x)=0,得到x≈52.09，也就是最長的一天為5月1日以后的第52天，即6月22日，T=83分，這一天日出與日落之間的時數(shù)為14小時13分+83分=15小時36分。與每年的夏至節(jié)氣日期相吻合。

然后拓展數(shù)值分析插值法數(shù)學(xué)實驗，計算一年中的24節(jié)氣所在的具體日期。

3 解決問題的基礎(chǔ)上，進一步了解插值法在理論和實踐上發(fā)展，應(yīng)用的廣泛性，提出新問題和知識延拓

Lagrange插值公式結(jié)構(gòu)緊湊，思路清晰，程序編制容易，但是增減節(jié)點時，計算要全部重新計算，很不方便，增加計算量，我們希望在增加新的節(jié)點時，原先計算的結(jié)果對后來的計算過程仍然有用，那如何改進？于是我們得到Newton插值多項式

其中 ωn+1(x)由（5）式定義。

插值多項式要求插值節(jié)點相等，而實際問題中還經(jīng)常要求節(jié)點上的導(dǎo)數(shù)值相等，甚至高階導(dǎo)數(shù)值也相等，于是課題條件改變了，我們討論新的解決問題的方法Hermite插值法。這類型的一般問題顯然會具有些令人感興趣的困難，在稱為伯格霍夫插值的專題中奉獻了大量的近期研究文獻，學(xué)生可以查閱。

其它的插值法，早期的板材曲線切割時，常常把富有彈性的細長木條（樣條）固定在樣點上，比方說航空造船等工程設(shè)計的需要，要求樣條曲線二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，三次樣條函數(shù)插值是被認為一種有效的數(shù)學(xué)工具，并且學(xué)生將看到，插值法的算法有很多種，針對問題選擇方法十分關(guān)鍵，正確選擇算法的前提是對方法的理解、分析、評價和鑒賞。

4 歸納解決問題中的知識點，強化系統(tǒng)認知能力，完善問題的結(jié)論，總結(jié)規(guī)律，提出更深一步的問題

插值法是一個古老而實用的方法，作為逼近函數(shù)的構(gòu)造方法，是數(shù)值微積分，函數(shù)逼近，微分方程數(shù)值解的基礎(chǔ)。因為高次插值的Runge現(xiàn)象，隨著信息量的增加，實驗的結(jié)果與直觀的想象不吻合，它也是數(shù)值計算研究中值得高度重視的一類現(xiàn)象，也就是說Lagrange插值多項式的次數(shù)不可能無限制的增大，所以它沒有實用性，采用分段低次插值，特別是三次樣條插值，具有良好的收斂性與穩(wěn)定性，理論上和應(yīng)用上意義重要，在計算機圖形學(xué)中有重要應(yīng)用。

數(shù)值分析是研究用數(shù)學(xué)方法處理信息的學(xué)科，僅僅是實用信息量大，如果使用方法不當(dāng)，也不能保證所得結(jié)果的正確性，在教學(xué)過程中提出一種知識建?；膯栴}驅(qū)動式教學(xué)方法，把學(xué)生在現(xiàn)實生活中感興趣的相關(guān)問題，引入數(shù)值分析算法的教學(xué)之中，將問題驅(qū)動與數(shù)值分析的各種算法技術(shù)相結(jié)合，加深對《數(shù)值分析》這門課程的有關(guān)算法和結(jié)論的理解，激發(fā)學(xué)生積極思考和避免一些常犯易犯的錯誤，提出一種實用有效的問題驅(qū)動的教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)設(shè)計，打破傳統(tǒng)的教學(xué)模式，讓數(shù)值分析的學(xué)習(xí)更高效。

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