呂方明， 危 奇， 魯錄義， 呂 凱，王 坤， 孫 慶， 李汪繁， 王秀瑾

（1.華中科技大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，武漢 430074；2.上海發(fā)電設(shè)備成套設(shè)計(jì)研究院，上海 200240）

汽輪發(fā)電機(jī)組軸系是由葉片、輪盤和主軸組成的復(fù)雜系統(tǒng).隨著大型汽輪發(fā)電機(jī)組容量的提高，低壓轉(zhuǎn)子末級(jí)（或次末級(jí)）葉片不斷增長(zhǎng)，其剛性減弱，固有頻率下降，有可能落入較低的主軸扭振頻帶內(nèi)，從而使葉片切向振動(dòng)慣性力能激發(fā)其主軸扭振模態(tài)，另一方面，主軸扭振慣性力也能激發(fā)葉片切向振動(dòng)，這樣就構(gòu)成了耦合作用系統(tǒng)［1］.這種耦合作用可能使軸系產(chǎn)生共振，進(jìn)而釀成安全事故.臺(tái)灣核電三廠900 MW核電機(jī)組末級(jí)動(dòng)葉片損壞飛脫事故就是這種原因造成的［2］.國(guó)內(nèi)外研究者對(duì)此類問題進(jìn)行了大量的研究.在傳統(tǒng)的研究中［3－4］，一般將耦合作用系統(tǒng)分為主部件轉(zhuǎn)子和分支部件輪盤－葉片系統(tǒng)，分支部件輪盤－葉片系統(tǒng)的各階模態(tài)簡(jiǎn)化為等效的質(zhì)量－彈簧系統(tǒng)，如此可以將原來大規(guī)模耦合振動(dòng)系統(tǒng)降階為低階等效的小規(guī)模耦合振動(dòng)系統(tǒng)，進(jìn)而求出其頻率和振型.這種方法顯然不便用于分析耦合模型中葉片的振動(dòng)特性［5］.楊建剛等［6－7］提出了一種能夠計(jì)算葉片－軸耦合系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)響應(yīng)問題的阻抗匹配法，研究表明葉片彎曲振動(dòng)和軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)之間具有很強(qiáng)的耦合性，在外界擾動(dòng)作用下二者會(huì)同時(shí)被激發(fā)出來，但其計(jì)算所用幾何模型較簡(jiǎn)單，難以反映汽輪發(fā)電機(jī)組轉(zhuǎn)子的耦合振動(dòng)特性.

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，采用有限元法來計(jì)算分析大型旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動(dòng)特性成為可能.朱德勇等［8－9］采用有限元法建立了汽輪機(jī)末級(jí)長(zhǎng)葉片及整圈葉片的實(shí)體計(jì)算模型，并分析了葉片的振動(dòng)特性.朱德勇等［8］認(rèn)為，與試驗(yàn)研究相比，有限元法具有安全經(jīng)濟(jì)、快捷方便和提供數(shù)據(jù)全面等優(yōu)點(diǎn)，是今后葉片優(yōu)化設(shè)計(jì)及運(yùn)行可靠性分析研究的重要手段.

目前，采用有限元法計(jì)算和分析汽輪機(jī)末級(jí)長(zhǎng)葉片彎曲與軸扭轉(zhuǎn)耦合振動(dòng)的研究還鮮有報(bào)道.筆者建立了主軸和末級(jí)葉柵的三維實(shí)體模型，采用有限元法分析和計(jì)算其振動(dòng)特性，并通過對(duì)比分析葉片－輪盤模型（簡(jiǎn)稱葉－盤模型）、簡(jiǎn)化軸系模型及葉－軸耦合模型的振動(dòng)特性，給出了葉片彎曲振動(dòng)與軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)之間的耦合規(guī)律.

1 三維實(shí)體模型

1.1 葉－盤模型

所用長(zhǎng)葉片為汽輪機(jī)低壓缸末級(jí)葉片.該葉片為帶搭子（或稱鰭子）的彎扭葉片，葉片模型（忽略葉根結(jié)構(gòu)）如圖1所示.單葉片材料屬性取值為：楊氏模量E＝2.16×1011Pa，泊松比ν＝0.283，密度ρ＝7.77×103kg/m3.

圖1 帶搭子的長(zhǎng)葉片模型Fig.1 Model of the long blade with riser

筆者采用周期性對(duì)稱建模方法建立了葉－盤模型.將葉片安裝在輪轂上，二者剛性連接，不考慮葉根的緊固特性.采用軸的1/n（n為該級(jí)葉片個(gè)數(shù)）作為基本重復(fù)扇區(qū)進(jìn)行周期性對(duì)稱建模［10］.考慮到葉片的實(shí)際安裝角度，使用圖2所示的兩組平面沿軸系徑向切割，獲得包含完整葉片模型的重復(fù)扇區(qū)，兩組平面的空間夾角為3°.這樣就獲得了葉片和輪轂的重復(fù)扇區(qū)模型，經(jīng)周期旋轉(zhuǎn)后得到圖3所示的葉－盤模型.

圖2 葉片與輪轂Fig.2 Detail of the blade and hub

圖3 葉－盤模型Fig.3 The blade－disc model

葉－盤模型中，相鄰葉片的搭子之間留有一定的間隙.汽輪機(jī)運(yùn)行時(shí)，受離心力作用的葉片上會(huì)產(chǎn)生一個(gè)扭轉(zhuǎn)恢復(fù)力矩.在扭轉(zhuǎn)恢復(fù)力矩作用下，相鄰搭子發(fā)生接觸，并在額定轉(zhuǎn)速下使整圈葉片形成連續(xù)耦合的系統(tǒng)，增加了系統(tǒng)的剛度，提高了葉片的振動(dòng)安全性［8］.

葉－盤模型中，葉片搭子之間的細(xì)節(jié)如圖4所示.在建立模型時(shí)，搭子之間的最小距離為1.09 mm.為實(shí)現(xiàn)實(shí)際運(yùn)行時(shí)葉片搭子之間的接觸，在計(jì)算時(shí)對(duì)相鄰搭子施加面面接觸對(duì)，并設(shè)置其摩擦因數(shù)為0.3.下述葉－軸耦合模型也進(jìn)行了相同的設(shè)置.

需要指出，計(jì)算時(shí)設(shè)置面面接觸對(duì)對(duì)葉－盤模型的動(dòng)頻影響顯著.其中的原因以及摩擦因數(shù)的設(shè)置問題將在其他文獻(xiàn)中予以討論，這里不再贅述.

圖4 搭子間隙Fig.4 The clearance between risers

1.2 簡(jiǎn)化軸系模型

采用某汽輪發(fā)電機(jī)組軸系作為研究對(duì)象，其中包括：高中壓轉(zhuǎn)子、低壓轉(zhuǎn)子（2個(gè)）、聯(lián)軸器（3個(gè)）和發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子.由于葉片結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，而且數(shù)量眾多，因此在建立三維模型時(shí)僅考慮其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，將其簡(jiǎn)化為等截面圓環(huán)附加在主軸上，通過調(diào)整材料密度使其總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與實(shí)際轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一致.這樣就建立了一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)化的集中質(zhì)量模型，如圖5（a）的原始模型.而原始模型中存在過多的臺(tái)階和倒角等細(xì)節(jié)會(huì)給模型網(wǎng)格劃分帶來極大的難度，需要對(duì)模型的這些細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，見圖5（b）.

圖5 汽輪發(fā)電機(jī)組軸系模型Fig.5 Shafting model for the turbo－generator set

為保證簡(jiǎn)化軸系模型的計(jì)算精度，應(yīng)使簡(jiǎn)化軸系模型各部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與原始模型一致.采用有限元法計(jì)算了2個(gè)模型的前4階模態(tài)，計(jì)算結(jié)果見表1.由表1可以看出，2個(gè)模型的最大頻率相對(duì)偏差出現(xiàn)在2階模態(tài)，僅為－3.50%，可以認(rèn)為上述簡(jiǎn)化在本文研究范圍內(nèi)是合理可行的.

表1 軸系模態(tài)頻率對(duì)比Tab.1 Comparison of shafting modal frequency between original and reduced model

1.3 葉－軸耦合模型

將圖3所示葉－盤模型安裝于軸系原末級(jí)位置（低壓轉(zhuǎn)子2靠近發(fā)電機(jī)側(cè)）.軸系上僅建立了一組葉柵，其余各級(jí)葉柵仍按照前述附加轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等效處理.三維葉－軸耦合模型如圖6所示.與前述簡(jiǎn)化軸系模型不同，葉－軸耦合模型中不僅設(shè)置了末級(jí)葉柵的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，而且考慮了葉片的實(shí)際柔度.

圖6 葉－軸耦合模型Fig.6 The coupling model of blade cascade and shafting

上述3個(gè)模型（葉－盤模型、簡(jiǎn)化軸系模型和葉－軸耦合模型）采用了相同的網(wǎng)格劃分方法，其有限元網(wǎng)格信息見表2.

表2 有限元網(wǎng)格劃分Tab.2 Finite element mesh generation

對(duì)3個(gè)模型在2種工況下的模態(tài)進(jìn)行計(jì)算.工況1：靜頻（固有頻率）分析；工況2：工作轉(zhuǎn)速3 000 r/min下的動(dòng)態(tài)分析.

由于高階模態(tài)下，葉片模態(tài)頻率數(shù)值遠(yuǎn)大于同階次軸系扭振模態(tài)頻率，不在本文分析考慮范圍內(nèi).因此，這里僅給出葉－盤模型1～3階模態(tài)頻率（如表3所示）.需要注意的是，表3中的頻率均為葉柵0節(jié)徑振型時(shí)的數(shù)據(jù).為避免軸系彎曲振動(dòng)的干擾，對(duì)簡(jiǎn)化軸系模型軸心所有節(jié)點(diǎn)施加3個(gè)平移方向固定約束，這樣得到的所有振型均為扭振振型.該模型各階扭振模態(tài)頻率見表3.葉－軸耦合模型的邊界條件與簡(jiǎn)化軸系模型相同，其各階模態(tài)頻率見表3.

表3 三維模型各階模態(tài)頻率的對(duì)比Tab.3 Comparison of modal frequency among different three－dimensional models

2 結(jié)果與討論

扭葉片振動(dòng)時(shí)，周向振動(dòng)和軸向振動(dòng)同時(shí)存在.葉片振動(dòng)的周向振動(dòng)分量引起軸的扭振，而軸的扭振又形成葉片的周向慣性力，從而引起葉片振動(dòng)，二者是以這樣的機(jī)理耦合在一起的［11］.為便于比較，將葉－軸耦合模型在動(dòng)、靜態(tài)工況下各階軸系振型以及模型中葉片的振動(dòng)位移示于圖7和圖8.圖7和圖8中，橫坐標(biāo)為軸系長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)為振動(dòng)位移（已進(jìn)行歸一化處理）.下面將根據(jù)表3、圖7和圖8中數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析.

2.1 葉片柔度的影響

由表3可以看出，多數(shù)情況下葉－軸耦合模型振動(dòng)頻率低于簡(jiǎn)化軸系模型對(duì)應(yīng)階次的振動(dòng)頻率.如葉－軸耦合模型中，靜頻的6階、7階、10階、11階和12階，動(dòng)頻的6階、8階、9階、10階和12階.

由于葉－軸耦合模型考慮了長(zhǎng)葉片的柔度，使得整個(gè)模型的剛度低于簡(jiǎn)化軸系模型，從而造成其振動(dòng)頻率下降，這與理論分析是一致的.

2.2 葉片振動(dòng)模態(tài)

由于長(zhǎng)葉片的存在，葉－軸耦合模型中出現(xiàn)了以葉片振動(dòng)頻率為主的模態(tài)，如靜頻的4階和5階，動(dòng)頻的4階、5階和11階.

這些模態(tài)是由于考慮了葉片的實(shí)際參數(shù)（如轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、剛度和幾何結(jié)構(gòu)等）后才出現(xiàn)的，簡(jiǎn)化軸系模型沒有出現(xiàn)這些模態(tài).由圖7和圖8可以看出，上述模態(tài)下，軸扭振的幅度相對(duì)較小，而葉片振動(dòng)幅度較大，由此也說明，上述模態(tài)是以葉片振動(dòng)為主的.

在對(duì)軸系振動(dòng)特性進(jìn)行分析時(shí)，應(yīng)盡可能建立與實(shí)際情況相符的模型，否則可能出現(xiàn)簡(jiǎn)化軸系模型所不能反映的狀況.如上述簡(jiǎn)化軸系模型振動(dòng)特性中就沒有出現(xiàn)葉片振動(dòng)模態(tài).

2.3 軸振模態(tài)

由表3可以看出，某些模態(tài)下，葉－軸耦合模型振動(dòng)頻率與簡(jiǎn)化軸系模型對(duì)應(yīng)階次的振動(dòng)頻率基本相同，最大頻率偏差＜0.1%，將這些模態(tài)稱為軸振模態(tài).如葉－軸耦合模型中靜頻的1階、2階和3階，動(dòng)頻的1階、2階和3階.

圖7 靜態(tài)工況下葉－軸耦合模型軸振振型Fig.7 Vibration modes of shafting in the coupling cascade－shafting model under static conditions

圖8 動(dòng)態(tài)工況下葉－軸耦合模型軸振振型Fig.8 Vibration modes of shafting in the coupling cascade－shafting model under dynamic condition

由圖7和圖8可見，上述模態(tài)下，葉片所在軸段振型基本為水平線，說明該軸段相同半徑表面扭振位移基本相同，而葉片變形較小，其周向振動(dòng)的能量不足以干擾軸的振動(dòng)，此時(shí)葉片振動(dòng)對(duì)軸振頻率影響非常小.

振型圖也可以說明上述模態(tài)下葉－軸耦合模型的振動(dòng)是以軸振為主的.圖9為在靜態(tài)工況下葉－軸耦合模型與簡(jiǎn)化軸系模型前三階振型的對(duì)比圖.由圖9可以看出，雖然使用了不同的線形標(biāo)明各模型在前三階模態(tài)下的振型，但是2種模型對(duì)應(yīng)階次的振型幾乎完全重合，說明葉片振動(dòng)對(duì)軸的扭振幅值幾乎沒有影響.

2.4 耦合模態(tài)

在表3中，簡(jiǎn)化軸系模型5階模態(tài)頻率與葉－盤模型3階模態(tài)頻率非常接近靜頻，分別為198.8 Hz和200.9 Hz.在葉－軸耦合模型中出現(xiàn)了2個(gè)頻率非常接近的模態(tài)，分別為7階模態(tài)（頻率為198.7 Hz）和8階模態(tài)（頻率為198.9 Hz）.由圖7和圖8可見，葉－軸耦合模型7階和8階模態(tài)下，葉片振幅與軸振幅值大小相當(dāng)，這與前述葉片振動(dòng)模態(tài)和軸振模態(tài)均不相同.因此，認(rèn)為葉－軸耦合模型的7階和8階模態(tài)（靜頻）是葉片彎振與軸扭振共同作用的結(jié)果，這種情形與文獻(xiàn)［12］中描述一致，稱之為耦合模態(tài).

圖9 振型對(duì)比（靜態(tài)工況）Fig.9 Comparison of vibration modes（static condition）

圖10為簡(jiǎn)化軸系模型5階模態(tài)振型與葉－軸耦合模型7階、8階模態(tài)振型的對(duì)比，圖中豎直虛線表示末級(jí)葉柵所處位置.由圖10可以看出，葉柵左側(cè)（汽輪機(jī)側(cè)）振型曲線變化趨勢(shì)相同，振幅存在一定差別；葉柵右側(cè)（發(fā)電機(jī)側(cè)）振型曲線存在較大差別：簡(jiǎn)化軸系模型5階模態(tài)振型與葉－軸耦合模型8階模態(tài)振型曲線走勢(shì)相同（同相位），而與葉－軸耦合模型7階模態(tài)振型曲線走勢(shì)相反（反相位），并且其振動(dòng)幅值較后二者為小，說明耦合模態(tài)下葉片振動(dòng)對(duì)軸的扭振有加強(qiáng)作用.

圖10 耦合模態(tài)Fig.10 The coupling modes

2.5 葉片振動(dòng)特性

由表3可以看出，與葉－盤模型相比，受軸系扭振影響，在某些模態(tài)下葉－軸耦合模型中葉片模態(tài)頻率增大，如靜頻的4階、5階和動(dòng)頻的4階；而在另外幾個(gè)模態(tài)下其頻率降低，沒有顯著的規(guī)律可循.在動(dòng)態(tài)工況下，其頻率增大或減小的程度更加劇烈.例如，葉－盤模型2階模態(tài)動(dòng)頻為145.3 Hz，由于受軸系扭振影響，葉－軸耦合模型中葉片頻率降低為142.8 Hz.與葉－盤模型不同，葉－軸耦合模型中葉片的彎曲振動(dòng)必然會(huì)受到軸系扭振的干擾.

葉片模態(tài)振型變化也可以反映軸系扭振對(duì)葉片振動(dòng)的影響.圖11為葉－盤模型和葉－軸耦合模型中葉片周向位移的對(duì)比，圖中橫坐標(biāo)為葉片模型節(jié)點(diǎn)到轉(zhuǎn)子軸心的距離，縱坐標(biāo)為葉片周向振動(dòng)位移.2種模型中所選葉片節(jié)點(diǎn)到轉(zhuǎn)子軸心的距離是對(duì)應(yīng)相等的.

圖11 葉片模態(tài)振型比較Fig.11 Modal curves comparison of blades

由圖11可以看出，2種模型中葉片的振型基本一致，振動(dòng)幅度相差不大，說明軸的扭振對(duì)葉片的周向振動(dòng)有一定影響，但這種影響并不大.需要特別說明的是圖11（c）中葉－盤模型3階與葉－軸耦合模型8階模態(tài)振型的對(duì)比：二者變化趨勢(shì)基本一致，但位移幅度存在較大偏差.這是因?yàn)槿~片與軸系剛性連接以后，其振動(dòng)的部分能量被軸的扭振所消耗，降低了葉片自身的振動(dòng)幅度.

需要指出，根據(jù)本文計(jì)算結(jié)果得出的上述結(jié)論僅適用于本文所述模型，改變計(jì)算模型后可能得出不同的結(jié)論.另外，受計(jì)算規(guī)模限制，筆者沒有考慮葉根與軸的動(dòng)態(tài)耦合，且僅建立了1級(jí)末級(jí)葉柵模型.這樣建立的計(jì)算模型，其振動(dòng)特性的計(jì)算精度可能會(huì)與實(shí)際情況存在一定差別.但上述規(guī)律性結(jié)論是可靠的，對(duì)汽輪發(fā)電機(jī)組軸系安全設(shè)計(jì)仍具有一定的指導(dǎo)意義.而且，本文所述機(jī)組低壓缸具有4級(jí)末級(jí)長(zhǎng)葉柵，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)軸系扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響更加復(fù)雜，將在未來的工作中深入研究.

3 結(jié) 論

（1）與簡(jiǎn)化軸系模型相比，葉－軸耦合模型存在3種類型的振動(dòng)模態(tài)，即葉片振動(dòng)模態(tài)、軸振模態(tài)和耦合模態(tài).葉片振動(dòng)模態(tài)下，葉片振幅較大，軸振振幅較小，而簡(jiǎn)化軸系模型中不存在該模態(tài)；軸振模態(tài)下，葉片振幅較小，軸振振幅較大，而且其振型與簡(jiǎn)化軸系模型幾乎完全相同.當(dāng)葉－盤模型與簡(jiǎn)化軸系模型振動(dòng)頻率接近時(shí)，在葉－軸耦合模型中出現(xiàn)耦合模態(tài)，這是葉片彎振與軸扭振共同作用的結(jié)果.

（2）受軸扭振的影響，葉－軸耦合模型中葉片振動(dòng)特性與葉－盤模型中葉片振動(dòng)特性相比存在一定的差別：葉片振型基本保持一致，但周向位移略有不同；有的模態(tài)下振動(dòng)頻率增大，而有的模態(tài)下振動(dòng)頻率減小，動(dòng)頻變化幅度較大.從葉片安全角度考慮，設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)同時(shí)考慮其靜頻和動(dòng)頻，并以葉片振動(dòng)特性為基礎(chǔ)，著重考慮葉－軸耦合時(shí)的振動(dòng)特性，以避開工頻波動(dòng)可能帶來的危害.

［1］任福春，楊昆，宋之平.大型汽輪發(fā)電機(jī)組軸系扭振耦合問題［J］.華北電力大學(xué)學(xué)報(bào)，1996，23（3）：30－35.REN Fuchun，YANG Kun，SONG Zhiping.Couple problems in torsional vibration of large turbine－generator shaft system ［J］.Journal of North China Electric Power University，1996，23（3）：30－35.

［2］許楚鎮(zhèn)，張恒濤.汽輪發(fā)電機(jī)組軸系扭振事故剖析和技術(shù)開發(fā)展望［J］.動(dòng)力工程，1990，10（2）：9－14.XU Chuzhen，ZHANG Hengtao.An analytical review of torsional vibration failures of turbine－generator shafting system abroad and in China with a prospect of future development［J］.Power Engineering，1990，10（2）：9－14.

［3］郭力，朱均.汽輪發(fā)電機(jī)組轉(zhuǎn)子－輪盤－葉片系統(tǒng)耦合扭轉(zhuǎn)振動(dòng)研究［J］.汽輪機(jī)技術(shù)，2001，43（4）：226－228.GUO Li，ZHU Jun.The coupled torsional vibrations research of rotor－blade disk－vane system in steam turbine［J］.Turbine Technology，2001，43（4）：226－228.

［4］鮑文，王西田，于達(dá)仁，等.300 MW汽輪機(jī)低壓缸末級(jí)長(zhǎng)葉片與軸系扭振的耦合振動(dòng)［J］.汽輪機(jī)技術(shù)，2000，42（2）：65－68.BAO Wen，WANG Xitian，YU Daren，et al.The coupling of the long blades at the final stage of the low pressure turbine with the shaft torsional vibrations［J］.Turbine Technology，2000，42（2）：65－68.

［5］郭力.汽輪機(jī)葉片彎曲與軸系扭轉(zhuǎn)聯(lián)合振動(dòng)研究［J］.汽輪機(jī)技術(shù)，2000，42（4）：218－221.GUO Li.Union vibration research of both vane winding and shafts torsion in turbine［J］.Turbine Technology，2000，42（4）：218－221.

［6］楊建剛，謝東建，高亹.汽輪發(fā)電機(jī)組葉片－軸耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)問題研究［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2001，37（7）：56－60.YANG Jiangang，XIE Dongjian，GAO Wei.Response calculation and analysis of the coupled blade bending shaft torsion vibration of turbo generator［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2001，37（7）：56－60.

［7］楊建剛，高亹.大型旋轉(zhuǎn)機(jī)械葉片－軸彎扭耦合振動(dòng)問題的研究［J］.動(dòng)力工程，2003，23（4）：2569－2573.YANG Jiangang，GAO Wei.Research on the coupled blade－bending and shaft－torsion vibration of rotating machinery［J］.Power Engineering，2003，23（4）：2569－2573.

［8］朱德勇，姜華偉，高建強(qiáng).超超臨界汽輪機(jī)末級(jí)葉片的振動(dòng)特性研究方法［J］.發(fā)電設(shè)備，2009，23（1）：20－22.ZHU Deyong，JIANG Huawei，GAO Jianqiang.Study methods for vibration characteristics of last stage blades of ultra supercritical steam turbines［J］.Power Equipment，2009，23（1）：20－22.

［9］樊慶林，韓萬金.單葉片強(qiáng)度分析及整圈葉片動(dòng)頻計(jì)算［J］.汽輪機(jī)技術(shù)，2007，49（5）：335－337.FAN Qinglin，HAN Wanjin.Analyses of the single blade strength and calculation of the circle blade dynamic frequency［J］.Turbine Technology，2007，49（5）：335－337.

［10］付娜，王三民，郭偉超.某燃?xì)廨啓C(jī)葉片－輪盤耦合振動(dòng)特性研究［J］.汽輪機(jī)技術(shù)，2005，47（5）：362－364.FU Na，WANG Sanmin，GUO Weichao.Calculation of the blade－disc coupled vibration characteristics of a gas turbine［J］.Turbine Technology，2005，47（5）：362－364.

［11］OKABE A，OTAWARA Y，KANEKO R，et al.An equivalent reduced modelling method and its application to shaft－blade coupled torsional vibration analysis of a turbine－generator set［J］.Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，Part A：Journal of Power and Energy，1991，205（3）：173－181.

［12］劉英哲，傅行軍.汽輪發(fā)電機(jī)組扭振［M］.北京：中國(guó)電力出版社，1997.