摘 要： 針對Logistic映射參數(shù)簡單、混沌區(qū)間范圍小的缺點，提出一種新型的離散指數(shù)混沌映射。通過引入指數(shù)項和增加參數(shù)個數(shù)，進(jìn)而擴(kuò)大映射的混沌區(qū)間。利用常規(guī)的動力學(xué)分析方法，對指數(shù)混沌映射進(jìn)行了動力學(xué)特性分析，包括Lyapunov指數(shù)圖、分岔圖等。在此基礎(chǔ)上，對Logistic映射和離散指數(shù)混沌映射進(jìn)行了特性比較。最后對由該離散混沌映射產(chǎn)生的序列進(jìn)行NIST測試，測試結(jié)果表明序列性能更良好。

關(guān)鍵詞： 指數(shù)混沌； Logistic映射； 動力學(xué)特性； 序列性能分析

中圖分類號： TN918?34 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）01?0083?03

0 引 言

混沌信號應(yīng)用于保密通信，是目前信息安全研究領(lǐng)域的熱點之一[1?3]?？紤]到模擬混沌系統(tǒng)在通信中同步不易實現(xiàn)，并且離散混沌系統(tǒng)有著運算簡單速度快的特性，可以選用離散混沌映射應(yīng)用于保密通信中。

1976年，生物學(xué)家R. May在《Nature》發(fā)表論文，提出了Logistic映射。它向人們表明簡單的確定論數(shù)學(xué)模型竟然也可以產(chǎn)生看似隨機的行為。在Logistic映射提出后，許多專家學(xué)者對其進(jìn)行了研究。但是Logistic映射存在參數(shù)少，并且混沌區(qū)間范圍較小的缺點，這就導(dǎo)致Logistic映射產(chǎn)生的偽隨機序列用于加密時的密鑰空間小。

為了克服Logistic映射的上述缺陷，本文提出了一個新的一維離散指數(shù)混沌映射，并對該映射進(jìn)行了基本動力學(xué)特性分析，包括Lyapunov指數(shù)圖和分岔圖等。最后對由該映射產(chǎn)生的混沌偽隨機序列進(jìn)行NIST測試，測試結(jié)果表明序列隨機性能良好。

1 指數(shù)混沌映射的構(gòu)造

一維離散混沌映射主要以Logistic映射為代表，該方程是一個具有重要意義的非線性迭代方程，具體表示如下：

[xn+1=μxn（1-xn）=μxn-μx2n， 0≤μ≤4，xn∈[0，1]] （1）

當(dāng)[μ=4]時，映射稱為滿映射。為了研究滿映射的情況，將方程（1）拆分為一個線性項和一個二次曲線項，令[y1=4x，y2=4x2，]則[y1-y2]代表的是[MN]線段的長度，也就是映射的迭代值，且[MN][∈][0，1]，如圖1（a）所示。線段[MN]在[x=]0和[x=1]處的長度均為0，代表映射過（0，0）和（1，0）點。[MN]與[MN]代表不同的迭代值。

在Logistic映射的基礎(chǔ)上，通過引入指數(shù)項和二次曲線項，構(gòu)造如下離散混沌方程：

[xn+1=exn-a（xn-b）2+c] （2）

類比以上方法，令[y1=ex，][y2=a（x-b）2-c，][MN]代表映射的迭代值，如圖1（b）所示。令[y=ex-a（x-b）2+c，]則對[y]求導(dǎo)得[y′=ex-2a（x-b）。]假設(shè)[MN]線段在[x=0]和[x=1]處長度都為0，即映射過（0，0）和（1，0）兩點，并且取[x]值時映射值為1。因此可以得到以下方程組：

[1-ab2+c=0e-a（1-b）2+c=0ex-2a（x-b）=0ex-a（x-b）2+c=1] （3）