摘 要: 針對(duì)電力系統(tǒng)有效值測(cè)量存在的不同步誤差及量化誤差問(wèn)題,分析了卷積窗加權(quán)算法克服不同步誤差的優(yōu)勢(shì),推導(dǎo)出基于加權(quán)算法下量化相對(duì)誤差關(guān)于采樣頻率和量化位數(shù)的解析式,最后對(duì)結(jié)論進(jìn)行數(shù)值模擬加以證明。
關(guān)鍵詞: 有效值; 卷積窗加權(quán)算法; 不同步誤差; 量化誤差
中圖分類(lèi)號(hào): TN911.7?34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼: A 文章編號(hào): 1004?373X(2014)01?0141?04
以微處理器為基礎(chǔ)的電工測(cè)量?jī)x表在計(jì)算電力系統(tǒng)有效值時(shí),信號(hào)頻率的不穩(wěn)定會(huì)帶來(lái)不同步采樣誤差[1?2]。許多學(xué)者就克服這種測(cè)量誤差進(jìn)行了研究,如小波分析法[3],三點(diǎn)法[4],微分采樣法[5],各方法都有其優(yōu)點(diǎn)。文獻(xiàn)[6]提出電氣參量卷積窗加權(quán)算法,可基本消除不同步采樣的測(cè)量誤差,且權(quán)函數(shù)有固定解析式,算法簡(jiǎn)單便于實(shí)現(xiàn)。但對(duì)于加權(quán)算法計(jì)算有效值時(shí),ADC帶來(lái)的量化誤差問(wèn)題卻沒(méi)有進(jìn)行詳細(xì)的研究。本文分析了不同步采樣誤差與相對(duì)頻偏和窗階數(shù)的關(guān)系,重點(diǎn)推導(dǎo)了卷積窗下有效值量化相對(duì)誤差關(guān)于采樣頻率和量化位數(shù)的解析式。
1 電氣參量卷積窗加權(quán)算法分析
1.1 有效值定義
設(shè)交流電電壓信號(hào)[u(t)]的周期為[T,]有效值定義為:在一個(gè)信號(hào)周期內(nèi),通過(guò)某純阻負(fù)載所產(chǎn)生的熱量與一個(gè)直流電壓在同一負(fù)載上產(chǎn)生的熱量相等時(shí),該直流電壓的數(shù)值就是交流電壓的有效值,通常也稱(chēng)真有效值,即
[U=1T0Tu2(t)dt] (1)
對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)[u(t)=Umsin(2πft+φ)],其有效值為:[U=Um2。]
在電信號(hào)采樣中,即使等間隔采樣的采樣周期與信號(hào)周期存在整數(shù)倍關(guān)系,但由于信號(hào)頻率不穩(wěn)等原因,導(dǎo)致用式(1)計(jì)算有效值時(shí),使得信號(hào)周期[T]只能用一個(gè)近似值[T0]代入,會(huì)出現(xiàn)不同步誤差。
1.2 有效值的卷積窗加權(quán)算法[6]
采樣法計(jì)算有效值的實(shí)質(zhì)是對(duì)信號(hào)加長(zhǎng)度為[T0,]中心在[t0]的矩形窗函數(shù):
[U21t0=1T0-∞+∞w1τ-t0T0u2τdτ] (2)
其中[w1]為矩形函數(shù):
[w1t=0, t >121, t ≤12 ] (3)
[k]階卷積窗加權(quán)有效值測(cè)量形式為:
[U2kt0=1T0-∞+∞wkτ-t0T0u2τdτ] (4)
其中[wkt=w1t*w1t*…*w1kt,]為[k]階卷積窗。
[w1t]為寬度為[T0]的矩形窗函數(shù),故[wkt]的時(shí)域總寬度為[kT0],其傅里葉變換為:
[Wkf=sincT0fk] (5)
1.3 加權(quán)算法的不同步采樣誤差分析
對(duì)于最高諧波次數(shù)為[M,]基頻為[f1]的周期信號(hào)[u2(t)],可以表示為:
[u2t=A0+m=1MAmcos2πmf1t+φm] (6)
式中:[A0]為信號(hào)[u2t]的直流分量(即[u2t]的平均值);[Am]及[φm]分別為第[m]次諧波的幅值和初相位。
定義加窗信號(hào)[ht,t0]為:
[ht,t0=wkt-t0T0u2t] (7)
[U2kt]為加窗信號(hào)[ht,t0]的平均值,根據(jù)傅里葉變換的定義,它顯然等于[ht,t0]的直流分量[H0,t0],[Hf,t0]為[ht,t0]的傅里葉變換,則:
[U2kt0=A0+m=1MWkmf1Amcos2πmf1t0+φm] (8)
根據(jù)定義可知[A0=U2],式(8)第二項(xiàng)便是[k]階加權(quán)有效值平方[U2kt0]在非同步采樣[T0≠T1]時(shí)所造成的誤差。
為了進(jìn)一步分析誤差的大小,引入相對(duì)同步偏差[x],即[T0=1+xT1, f1=1+xf0。]
在電力系統(tǒng)中,由于基頻的波動(dòng)范圍很小,一般來(lái)說(shuō)[x?1]且最高諧波次數(shù)[M<20,]故[mx?1],這時(shí)對(duì)式(8)進(jìn)行化簡(jiǎn):
[U2kt0=U2+m=1M-1msinπmx+πmπm1+xkAmcos2πmf1t0+φm≈U2+x1+xkm=1M-1kmAmcos2πmf1t0+φm=U2+x1+xku2t0-kT12-U2]
可以看出測(cè)量誤差正比于[x1+x]的[k]次方,比例系數(shù)為窗函數(shù)起始處信號(hào)對(duì)其均值的偏離量,若選擇采樣信號(hào)段起始處使其采樣值剛好等于信號(hào)的均值,則測(cè)量誤差將等于0。
若測(cè)量值隨[t0]的不同而起伏變化,其數(shù)學(xué)期望和方差分別為:
[EUk≈EU+12x1+xku2t0-kT1/2-U2U=U] (10)
[DUk≈D12x1+xku2t0-kT1/2-U2U =Du2t4U2x1+x2k ] (11)
因此,由非同步采樣造成的測(cè)量相對(duì)誤差[σ]為:
[σ=DUkU≈Du2t2U2x1+xk] (12)
由于[x?1](0.01量級(jí)),可以看出隨著權(quán)階[k]的增大,不同步采樣的測(cè)量誤差急劇減小。對(duì)于電力系統(tǒng)中信號(hào),一般只需[k]取2或3,便可把誤差降低到次要的、可以忽略的程度。
2 量化誤差分析
由于利用上述算法基本上可消除不同步采樣對(duì)各電氣參量所造成的測(cè)量誤差,因此信號(hào)的量化對(duì)測(cè)量造成的誤差將變得重要。在分析有效值卷積窗加權(quán)算法的量化誤差之前,先對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)間上的離散