摘 要： 針對(duì)電力系統(tǒng)有效值測(cè)量存在的不同步誤差及量化誤差問(wèn)題，分析了卷積窗加權(quán)算法克服不同步誤差的優(yōu)勢(shì)，推導(dǎo)出基于加權(quán)算法下量化相對(duì)誤差關(guān)于采樣頻率和量化位數(shù)的解析式，最后對(duì)結(jié)論進(jìn)行數(shù)值模擬加以證明。

關(guān)鍵詞： 有效值； 卷積窗加權(quán)算法； 不同步誤差； 量化誤差

中圖分類(lèi)號(hào)： TN911.7?34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2014）01?0141?04

以微處理器為基礎(chǔ)的電工測(cè)量?jī)x表在計(jì)算電力系統(tǒng)有效值時(shí)，信號(hào)頻率的不穩(wěn)定會(huì)帶來(lái)不同步采樣誤差[1?2]。許多學(xué)者就克服這種測(cè)量誤差進(jìn)行了研究，如小波分析法[3]，三點(diǎn)法[4]，微分采樣法[5]，各方法都有其優(yōu)點(diǎn)。文獻(xiàn)[6]提出電氣參量卷積窗加權(quán)算法，可基本消除不同步采樣的測(cè)量誤差，且權(quán)函數(shù)有固定解析式，算法簡(jiǎn)單便于實(shí)現(xiàn)。但對(duì)于加權(quán)算法計(jì)算有效值時(shí)，ADC帶來(lái)的量化誤差問(wèn)題卻沒(méi)有進(jìn)行詳細(xì)的研究。本文分析了不同步采樣誤差與相對(duì)頻偏和窗階數(shù)的關(guān)系，重點(diǎn)推導(dǎo)了卷積窗下有效值量化相對(duì)誤差關(guān)于采樣頻率和量化位數(shù)的解析式。

1 電氣參量卷積窗加權(quán)算法分析

1.1 有效值定義

設(shè)交流電電壓信號(hào)[u（t）]的周期為[T，]有效值定義為：在一個(gè)信號(hào)周期內(nèi)，通過(guò)某純阻負(fù)載所產(chǎn)生的熱量與一個(gè)直流電壓在同一負(fù)載上產(chǎn)生的熱量相等時(shí)，該直流電壓的數(shù)值就是交流電壓的有效值，通常也稱(chēng)真有效值，即

[U=1T0Tu2（t）dt] （1）

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)[u（t）=Umsin（2πft+φ）]，其有效值為：[U=Um2。]

在電信號(hào)采樣中，即使等間隔采樣的采樣周期與信號(hào)周期存在整數(shù)倍關(guān)系，但由于信號(hào)頻率不穩(wěn)等原因，導(dǎo)致用式（1）計(jì)算有效值時(shí)，使得信號(hào)周期[T]只能用一個(gè)近似值[T0]代入，會(huì)出現(xiàn)不同步誤差。

1.2 有效值的卷積窗加權(quán)算法[6]

采樣法計(jì)算有效值的實(shí)質(zhì)是對(duì)信號(hào)加長(zhǎng)度為[T0，]中心在[t0]的矩形窗函數(shù)：

[U21t0=1T0-∞+∞w1τ-t0T0u2τdτ] （2）

其中[w1]為矩形函數(shù)：

[w1t=0， t >121， t ≤12 ] （3）

[k]階卷積窗加權(quán)有效值測(cè)量形式為：

[U2kt0=1T0-∞+∞wkτ-t0T0u2τdτ] （4）

其中[wkt=w1t*w1t*…*w1kt，]為[k]階卷積窗。

[w1t]為寬度為[T0]的矩形窗函數(shù)，故[wkt]的時(shí)域總寬度為[kT0]，其傅里葉變換為：

[Wkf=sincT0fk] （5）

1.3 加權(quán)算法的不同步采樣誤差分析

對(duì)于最高諧波次數(shù)為[M，]基頻為[f1]的周期信號(hào)[u2（t）]，可以表示為：

[u2t=A0+m=1MAmcos2πmf1t+φm] （6）

式中：[A0]為信號(hào)[u2t]的直流分量（即[u2t]的平均值）；[Am]及[φm]分別為第[m]次諧波的幅值和初相位。

定義加窗信號(hào)[ht，t0]為：

[ht，t0=wkt-t0T0u2t] （7）

[U2kt]為加窗信號(hào)[ht，t0]的平均值，根據(jù)傅里葉變換的定義，它顯然等于[ht，t0]的直流分量[H0，t0]，[Hf，t0]為[ht，t0]的傅里葉變換，則：

[U2kt0=A0+m=1MWkmf1Amcos2πmf1t0+φm] （8）

根據(jù)定義可知[A0=U2]，式（8）第二項(xiàng)便是[k]階加權(quán)有效值平方[U2kt0]在非同步采樣[T0≠T1]時(shí)所造成的誤差。

為了進(jìn)一步分析誤差的大小，引入相對(duì)同步偏差[x]，即[T0=1+xT1， f1=1+xf0。]

在電力系統(tǒng)中，由于基頻的波動(dòng)范圍很小，一般來(lái)說(shuō)[x?1]且最高諧波次數(shù)[M<20，]故[mx?1]，這時(shí)對(duì)式（8）進(jìn)行化簡(jiǎn)：

[U2kt0=U2+m=1M-1msinπmx+πmπm1+xkAmcos2πmf1t0+φm≈U2+x1+xkm=1M-1kmAmcos2πmf1t0+φm=U2+x1+xku2t0-kT12-U2]

可以看出測(cè)量誤差正比于[x1+x]的[k]次方，比例系數(shù)為窗函數(shù)起始處信號(hào)對(duì)其均值的偏離量，若選擇采樣信號(hào)段起始處使其采樣值剛好等于信號(hào)的均值，則測(cè)量誤差將等于0。

若測(cè)量值隨[t0]的不同而起伏變化，其數(shù)學(xué)期望和方差分別為：

[EUk≈EU+12x1+xku2t0-kT1/2-U2U=U] （10）

[DUk≈D12x1+xku2t0-kT1/2-U2U =Du2t4U2x1+x2k ] （11）

因此，由非同步采樣造成的測(cè)量相對(duì)誤差[σ]為：

[σ=DUkU≈Du2t2U2x1+xk] （12）

由于[x?1]（0.01量級(jí)），可以看出隨著權(quán)階[k]的增大，不同步采樣的測(cè)量誤差急劇減小。對(duì)于電力系統(tǒng)中信號(hào)，一般只需[k]取2或3，便可把誤差降低到次要的、可以忽略的程度。

2 量化誤差分析

由于利用上述算法基本上可消除不同步采樣對(duì)各電氣參量所造成的測(cè)量誤差，因此信號(hào)的量化對(duì)測(cè)量造成的誤差將變得重要。在分析有效值卷積窗加權(quán)算法的量化誤差之前，先對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)間上的離散