摘 要： 采用一種針對目標(biāo)位置預(yù)測只能測量角度信息的卡爾曼濾波算法，實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)的位置、速度和加速度的估計(jì)。由于是純方位目標(biāo)運(yùn)動分析，所以一般的線性濾波方法不能使用，主要使用UKF濾波算法，并給出了具體步驟。通過仿真運(yùn)算與以前的方法進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)該算法實(shí)現(xiàn)方便，并在濾波精度、穩(wěn)定性和收斂時(shí)間等方面有了很大提高。

關(guān)鍵詞： 純方位目標(biāo)運(yùn)動； 非線性濾波； UKF； EKF

中圖分類號： TN953?34 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）01?0034?04

0 引 言

在現(xiàn)實(shí)的目標(biāo)運(yùn)動分析中，目標(biāo)運(yùn)動方程的建立一般都不是線性的，特別是針對紅外尋的制導(dǎo)導(dǎo)彈，導(dǎo)引頭僅能夠測量角度或角速度信息，無法測量出彈目相對距離、相對速度和目標(biāo)加速度等先進(jìn)制導(dǎo)律所需要的制導(dǎo)參數(shù)問題。盡管有些可以近似看成線性系統(tǒng)，但是大多數(shù)的系統(tǒng)不僅不能用線性微分方程描述，而且其非線性因素還不能忽略。此外有時(shí)為了更加精確地得到濾波結(jié)果，也必須應(yīng)用反映實(shí)際系統(tǒng)的非線性模型，因此對于非線性系統(tǒng)的濾波是一個(gè)必須要解決的問題。

由于一般的非線性系統(tǒng)在理論上難以找到嚴(yán)格的遞推濾波公式，因此目前只能采用近似方法研究，而線性化是用近似方法來研究非線性濾波問題的重要途徑之一，這就是擴(kuò)展卡爾曼濾波算法（EKF）。但是EKF線性化過程中忽略了二階以上的分量，因此在濾波精度上存在著較大誤差。為了彌補(bǔ)EKF方法的不足，人們希望通過對非線性函數(shù)的概率密度分布近似，來代替對非線性函數(shù)的近似，這樣就可以利用采樣逼近的方法來解決非線性問題。1997年，Juliear S.J.和Uhlman J.K.提出了一種新的非線性濾波方法——Unscented卡爾曼濾波（UKF）。UKF不需要對非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測方程進(jìn)行線性化，而是利用Unscented變換（UT）方法來近似非線性函數(shù)的概率密度分布，因此UKF方法在計(jì)算精度上要高于EKF方法，并且不需要計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的雅可比矩陣，這使得其應(yīng)用范圍更加廣泛。

1 UT

UT是UKF的基礎(chǔ)，UT的思想是用固定數(shù)量的參數(shù)去近似一個(gè)高斯分布，這比近似任意的非線性函數(shù)或變換更容易。

UT的具體公式如下：

[χ0=x] （1）

[χi=x+（n+λ）Pxi， i=1，2，…，n] （2）

[χi=x-（n+λ）Pxi， i=n+1，…，2n] （3）

式中：[λ=α2（n+k）-n]是一個(gè)比例因子。[α]決定[x]周圍[χ]點(diǎn)的分布狀態(tài)，調(diào)節(jié)[α]以使高階項(xiàng)的影響達(dá)到最小，通常選擇[0≤α≤1。]對高斯分布的情況，當(dāng)狀態(tài)變量為單變量時(shí)，選擇[k=2；]當(dāng)狀態(tài)變量為多變量時(shí)，選擇[k=3-n。][（n+λ）Pxi]是矩陣[（n+λ）Px]的第[i]列（當(dāng)[P=]ATA時(shí)，取[（P）i]的第[i]行；當(dāng)[P=AAT]時(shí)，取[（P）i]的第[i]列）。[χ]點(diǎn)的選取就是選取盡可能代表[X]分布的點(diǎn)，而這些點(diǎn)的分布程度取決于[n+λ]的大小。

[y]的均值和方差可以通過下述公式獲得：

[yi=f（xi）， i=1，2，…，2n] （4）

[y=i=02nWmiyi] （5）

[Py=i=02nWpi（yi-y）（yi-y）T] （6）

[Wm0=λ/（n+λ）] （7）

[Wp0=λ（n+λ）+1-α2+β] （8）

[Wmi=Wpi=12（n+λ）， i=1，2，…，2n] （9）

其中[Wmi]和[Wpi]分別對應(yīng)著計(jì)算[y]的均值和方差的加權(quán)系數(shù)，要求[i=02nWmi]=[i=02nWpi]=1。

2 UKF濾波算法

設(shè)非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測方程為：

[x（k+1）=φ[x（k），w（k），k]] （10）

[z（k+1）=h[x（k+1），v（k+1），k+1]] （11）

式中：[x（k）]為[n]維狀態(tài)向量；[z（k）]為[m]維的觀測向量；[w（k）]為系統(tǒng)噪聲，[v（k）]為觀測噪聲，假設(shè)它們是均值為零的高斯白噪聲，且互不相關(guān)；[φ（?）]為[n]維向量方程，是[x（k）、][w（k）]和[k]的非線性函數(shù)；[h（?）]為[m]維向量方程，是[x（k+1）、v（k+1）]和[k+1]的非線性函數(shù)。具體算法如下：

（1）設(shè)置初值

[x（0）=E[x（0）]]

[P（0）=E{[x（0）-x（0）][x（0）-x（0）]T}]

（2）當(dāng)[k>1，]計(jì)算[2n+1]個(gè)[χ]點(diǎn)：

[χ（k-1）=x（k-1），x（k-1）+（n+λ）P（k-1）i， x（k-1）-（n+λ）P（k-1）i， i=1，2，…，n]

（3）時(shí)間更新

[χk（k-1）=φ[χ（k-1）]]

[x（k）=i=02nWmiχ（k（k-1））]

[P（k）=i=02nWpi[χ（k（k-1）-x（k）][χi（k（k-1））-x（k）]T+Qk]

[z（k（k-1））=H[χ（k（k-1）]]

[z（k）=i=02nWmizi（k（k-1））]

（4）測量更新

[Pz（k）z（k）=i=02nWpi[zi（k（k-1））-z（k）][zi（k（k-1））-z（k）]T+Rk]

[Px（k）z（k）=i=02nWpi[χi（k（k-1））-x（k）][zi（k（k-1））-z（k）]T]

[K（k）=Px（k）z（k）P-1z（k）z（k）]

[x（k）=x（k）+K（k）[z（k）-z（k）]]

[P（k）=P（k）-K（k）Pz（k）z（k）KT（k）]

擴(kuò)展卡爾曼濾波是通過對非線性方程進(jìn)行線性化變化得到線性部分，經(jīng)過泰勒展開式可以得出這種方法的精度為一階水平，而UKF算法則可以使均值精確到非線性部分泰勒展開式的三階水平，方差精確到二階水平。

3 UKF對目標(biāo)位置預(yù)測的應(yīng)用

3.1 模型

對目標(biāo)飛機(jī)的運(yùn)動進(jìn)行建模時(shí)，可以將目標(biāo)飛機(jī)看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，由于假設(shè)目標(biāo)作直線運(yùn)動的論文比較多，在此本文主要做目標(biāo)機(jī)動的建模仿真。飛機(jī)最常見的機(jī)動動作是盤旋，而飛機(jī)勻速圓周運(yùn)動的定常盤旋最具有代表性，故以此來建模仿真。其速度與過載的關(guān)系如下：

[XT=VTx=VTcosθcosψYT=VTy=VTsinθZT=VTz=-VTcosθsinψ] （12）

式中：[VT]表示目標(biāo)飛機(jī)速度；[θ]表示傾角；[ψ]表示偏角；[XT，YT，ZT]為目標(biāo)飛機(jī)在地面坐標(biāo)系中的位置。

飛機(jī)在遭遇導(dǎo)彈攻擊以后，一般會進(jìn)行機(jī)動飛行來逃避導(dǎo)彈攻擊，下面建立飛機(jī)等過載機(jī)動模型：

[ny=Constantnz=Constantnx=sinθ] （13）

式中：[nx]表示飛機(jī)切向過載；[ny，nz]表示法向過載在[y]軸和[z]軸上的分量。

3.2 仿真及結(jié)果分析

3.2.1 不同過載下目標(biāo)機(jī)動

設(shè)目標(biāo)飛機(jī)以0.6 Ma≈200 m/s的速度做[nf=2]到[nf=9]的盤旋機(jī)動，跟據(jù)公式（12）計(jì)算出勻速狀態(tài)下飛機(jī)各個(gè)過載的盤旋半徑和周期，觀測噪聲的方差矩陣[R=][0.01]，濾波誤差的協(xié)方差初始矩陣為[P（0）=][2 500，0，0；0，2 500，0；0，0，0.000 1]，離散時(shí)間[T=0.1]s，分別進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖1～圖7所示。在UKF中[α=0.5，][β=2。]

從圖1，圖2中可以看到使用EKF和UKF都能對目標(biāo)的位置進(jìn)行預(yù)測，但是當(dāng)誤差穩(wěn)定時(shí)，UKF的誤差要小于EKF的誤差，同時(shí)從圖2中還能看到UKF的收斂速度要高于EKF。

圖1 [nf]=2時(shí)彈目[x]軸距離

圖3～圖6分別是飛機(jī)在過載為4和過載為7的盤旋條件下進(jìn)行的彈目仿真。從圖上可以看到隨著飛機(jī)的過載加大，飛機(jī)的機(jī)動性增強(qiáng)，機(jī)動半徑減小，機(jī)動時(shí)間縮短，跟蹤算法由于目標(biāo)的機(jī)動性增大而相應(yīng)誤差增大，跟蹤時(shí)間變長，但是UKF算法在飛機(jī)做大機(jī)動的前提下仍優(yōu)于EKF算法。飛機(jī)在不同過載下分別被跟蹤的數(shù)據(jù)見表1。

圖2 [nf]=2時(shí)兩種算法誤差

圖3 [nf]=4時(shí)彈目[x]軸距離

圖4 [nf]=4時(shí)兩種算法誤差

從表1中可以看到，隨著過載的增大，EKF和UKF的跟蹤效果都在降低，主要原因在于目標(biāo)機(jī)動的過載變大，時(shí)間變短，機(jī)動的半徑變得較小，跟蹤誤差增大。但是兩種算法相比較，UKF仍優(yōu)于EKF算法。

3.2.2 測量干擾較大的目標(biāo)機(jī)動

從上述的實(shí)驗(yàn)仿真確定了在相同的條件下UKF算法的精度和收斂速度要高于EKF算法。但是在現(xiàn)實(shí)中，導(dǎo)彈的探測信息中存在多種噪聲，如視線角速度的量測誤差，導(dǎo)引頭量測誤差，失調(diào)角零位的測量誤差等等，這些因素都會引起信號量測值的波動。因此算法的抗干擾能力對于導(dǎo)彈的跟蹤效果顯得尤為重要。假設(shè)目標(biāo)以0.6 Ma的速度勻速盤旋，觀測噪聲方差陣[R=][0.01]，陀螺回轉(zhuǎn)中心與位標(biāo)器質(zhì)心不重合引起的漂移服從[0.01*N（0，1），]濾波誤差的協(xié)方差初始矩陣[P（0）=][2 500，0，0；0，2 500，0；0，0，0.000 1]，離散時(shí)間[T=]0.1 s，仿真如圖7所示。

圖5 [nf]=7時(shí)彈目[x]軸距離

圖6 [nf]=7時(shí)兩種算法誤差

圖7 EKF和UKF誤差對比

從圖7中可以看到UKF算法的抗干擾能力更強(qiáng)，更適合在干擾較強(qiáng)的環(huán)境中運(yùn)用。

4 結(jié) 語

本文介紹了UT和UKF的概念，并將其應(yīng)用到飛行目標(biāo)的跟蹤，在觀測值為角度的情況下，對目標(biāo)的狀態(tài)進(jìn)行了較好的估計(jì)，同時(shí)在比較UKF和EKF算法中，反映出UKF能對所有高斯輸入向量的非線性函數(shù)進(jìn)行近似，均值精確到三階，方差精確到二階，并且不需要計(jì)算雅可比矩陣來對非線性函數(shù)作近似變換，能處理非可導(dǎo)的非線性函數(shù)，計(jì)算量與EKF相當(dāng)。理論分析和仿真結(jié)果均表明，UKF算法對于目標(biāo)方位跟蹤領(lǐng)域較其他以往的濾波算法更加穩(wěn)定，精度更高。

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