摘 要： 目標(biāo)跟蹤是粒子濾波算法在處理非線性問題的一種典型應(yīng)用，但由于在線處理能力或傳輸條件的限制，實(shí)際應(yīng)用中往往無法對(duì)多個(gè)傳感器數(shù)據(jù)同時(shí)處理。據(jù)此，給出了一種基于多傳感器選優(yōu)的粒子濾波算法。假設(shè)每個(gè)時(shí)刻可以處理一個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)，該算法先采用加權(quán)的概率密度函數(shù)來評(píng)價(jià)每個(gè)傳感器獲得的測(cè)量值，并用粒子濾波對(duì)概率密度函數(shù)的加權(quán)進(jìn)行實(shí)時(shí)更新，基于最大熵標(biāo)準(zhǔn)來選取最優(yōu)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。同時(shí)，最大熵標(biāo)準(zhǔn)保證了最優(yōu)似然函數(shù)分布最寬，從而緩解粒子衰竭問題。通過數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)證明，該算法可以選擇最優(yōu)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，有效降低多傳感器測(cè)量中粒子濾波在線實(shí)時(shí)處理性能的要求，也較好地緩解了粒子濾波的“衰竭”問題。

關(guān)鍵詞： 粒子濾波； 最大熵； 傳感器選擇； 粒子衰竭

中圖分類號(hào)： TN911.6?34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2014）01?0024?03

0 引 言

隨著計(jì)算機(jī)性能的大幅度提升，以貝葉斯理論為基礎(chǔ)的粒子濾波算法為非線性問題的解析解決提供了一條重要途徑，目標(biāo)跟蹤則是其在非線性模型跟蹤中的一個(gè)典型應(yīng)用。在很多工程實(shí)踐中，大規(guī)模分布式傳感器有利于提高跟蹤精度，由于在線處理能力或傳輸條件的限制，使得數(shù)據(jù)往往不能在線實(shí)時(shí)處理。此外，粒子的退化現(xiàn)象嚴(yán)重制約了粒子濾波算法的發(fā)展，直到重采樣思想的提出，解決了粒子退化問題，粒子濾波才迅速發(fā)展起來。重采樣為了獲得一個(gè)相對(duì)集中的后驗(yàn)概率分布，將權(quán)重低的采樣點(diǎn)用權(quán)重高的點(diǎn)來替換，但這樣卻易導(dǎo)致了“粒子衰竭”現(xiàn)象的出現(xiàn)，即在濾波過程中只將少數(shù)幾個(gè)甚至一個(gè)粒子進(jìn)行復(fù)制，使得用于描述后驗(yàn)概率密度的粒子不充分，限制了算法追蹤某些具有極低權(quán)值的狀態(tài)的能力。

據(jù)此，本文提出了一種多傳感器選優(yōu)的粒子濾波算法。該方法可以有效地利用多個(gè)觀測(cè)值，根據(jù)狀態(tài)向量離散分布的最大熵標(biāo)準(zhǔn)，選擇一個(gè)最優(yōu)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。一方面大大降低了實(shí)際應(yīng)用對(duì)粒子濾波在線實(shí)時(shí)處理性能的要求，另一方面，最大熵標(biāo)準(zhǔn)也較好地緩解了“粒子衰竭”問題。

1 粒子濾波算法

粒子濾波在計(jì)算上常采用序貫蒙特卡洛方法來實(shí)現(xiàn)，即用一組隨機(jī)或已知某種分布的樣本來描述估計(jì)量的概率分布，再根據(jù)得到的測(cè)量值，通過重要性函數(shù)對(duì)各樣本點(diǎn)的權(quán)值大小進(jìn)行調(diào)整，以該帶權(quán)值的樣本序列來逼近真實(shí)的后驗(yàn)概率分布，從而序貫更新狀態(tài)。

假定系統(tǒng)狀態(tài)空間模型如下（分別是狀態(tài)方程和測(cè)量方程）：

[xt=fxt-1+εt-1yt=hxt+νt] （1）

其中，狀態(tài)模型[f·]和觀測(cè)模型[h·]都是已知的且可以為非線性系統(tǒng)，[εt-1]和[νt]為互不相關(guān)的過程噪聲和測(cè)量噪聲。狀態(tài)方程反映了系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率[p（xtxt-1）]，測(cè)量方程則反映了似然概率[p（ytxt）。]用[Xt=x1，x2，…，xt，][Yt=y1，y2，…，yt]分別表示[t]時(shí)刻的狀態(tài)序列和觀測(cè)值序列。

在此模型的基礎(chǔ)上，為了獲得后驗(yàn)概率密度[p（xtyt），]粒子數(shù)量為[N]的序貫蒙特卡洛算法可以分為以下步驟：

（1） 初始化：在[t=0]時(shí)刻，對(duì)[i=1，2，…，N]采樣[xi0～][px0]，其中[px0]為先驗(yàn)概率。

（2） 重要性采樣：根據(jù)觀測(cè)值序列確定重要性函數(shù)[qxtxit-1，y1：t]，然后進(jìn)行重要性采樣：

[xit～qxtxit-1，y1：t]

（3） 根據(jù)采樣結(jié)果調(diào)整權(quán)值，并歸一化：

[ωik=ωik-1pytxitpxitxit-1qxitxit-1，y1：tωit=ωitj=1Nωjt] （2）

（4） 重新采樣：根據(jù)歸一化后的權(quán)值[ωit]對(duì)粒子進(jìn)行優(yōu)劣替換，得到更接近后驗(yàn)分布的樣本[xit]。

（5） 經(jīng)過反復(fù)逼近，估計(jì)量的后驗(yàn)概率分布可以表示為：

[pxty1：t≈i=1Nωitδxt-xitj=1Nωjt] （3）

由于不依賴于平穩(wěn)和高斯的假想，粒子濾波對(duì)處理非平穩(wěn)非高斯問題有較好的效果。

2 多傳感器選優(yōu)的粒子濾波算法

從粒子濾波算法中可知，似然函數(shù)[p（ytxit）]是基于測(cè)量噪聲的概率密度函數(shù)[pvt]，其一般為窄帶分布。同時(shí)，粒子值[xit]，[i=1，2，…，N]是依賴于過程噪聲概率密度函數(shù)[pεt-1]。如果[pεt-1]分布較寬，用于生成預(yù)測(cè)結(jié)果[p（ytxit）]的預(yù)測(cè)值[h（xit）]也將服從一個(gè)較寬的分布，從而導(dǎo)致式（2）得出的權(quán)值趨于不均勻，即大多數(shù)權(quán)值接近零，而極少數(shù)接近觀測(cè)值的粒子將賦予非常大的權(quán)值。K.Diriakidis在高斯分布下對(duì)類似情況進(jìn)行了證明[1]。這樣，在重采樣環(huán)節(jié)，只有極少數(shù)權(quán)值大的粒子被選擇作為新的粒子供下輪使用。

此外，假設(shè)有兩個(gè)粒子[xi1t，][xi2t，]根據(jù)中值定理，其在測(cè)量空間中的距離可以通過式（4）計(jì)算：

[ht（xi1t）-ht（xi2t）=?ht（ηt）（xi1t-xi2t）] （4）

其中[ηt]是連接[xi1t]和[xi1t]線段上的點(diǎn)，則對(duì)[?ht]的范數(shù)有較小敏感度的觀測(cè)值可以更好地緩解粒子衰竭。

在多傳感器情況下，觀測(cè)空間[yt∈Rm]可以描述為：

[yk=Y1，t?YM，t=h1，t（xt）?hM，t（xt）+vt] （5）

式中：[Y1，t∈Rm1，…，YM，t∈RmM]為分解的若干個(gè)子空間。狀態(tài)向量[xt]可以通過任意一個(gè)子系統(tǒng)[yt∈Rm1]觀測(cè)到。

如引言所述，由于傳輸或者在線處理的限制，假設(shè)單位時(shí)刻只有一個(gè)子空間的數(shù)據(jù)將會(huì)被用于計(jì)算并估計(jì)狀態(tài)向量。為了緩解粒子衰竭，在蒙特卡洛計(jì)算中應(yīng)減少權(quán)值接近零的粒子數(shù)，確保中等權(quán)值的粒子數(shù)最多。

基于似然函數(shù)的分布分析，為了保證有足夠多中等權(quán)值的粒子，所選傳感器子系統(tǒng)[Ys，t]的后驗(yàn)概率密度函數(shù)[p（xtyt，s，Yt-1）]應(yīng)該有一個(gè)緩的峰。換句話說，從緩解“粒子衰竭”的角度，最佳傳感器子系統(tǒng)可以產(chǎn)生一個(gè)最寬邊的后驗(yàn)概率分布。后驗(yàn)分布的寬度可以采用有條件熵測(cè)量，如下：

[Hxtyt，s，Yt-1=E-log p（xtyt，s，Yt-1）yt，s，Yt-1] （6）

式中：[E]表示數(shù)學(xué)期望；[s=1，2，…，M]表示子空間的個(gè)數(shù)。

近似蒙特卡洛方法的離散原理，式（6）可以寫成以下形式：

[Hxtyt，s，Yt-1=-j=1Nwsj，tlogwsj，t] （7）

其中[wsj，t]表示基于第[s]個(gè)傳感器子系統(tǒng)計(jì)算出的權(quán)值。而有最寬概率分布（最大熵）的傳感器可通過下面標(biāo)準(zhǔn)得出：

[maxsH（xtyt，s，Yt-1）] （8）

最大熵標(biāo)準(zhǔn)選擇出的傳感器子系統(tǒng)，對(duì)[?ht]的范數(shù)有較弱的敏感性，從而保證狀態(tài)變量是一個(gè)寬分布。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了檢驗(yàn)本文方法的有效性，選擇以下經(jīng)典仿真算例，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：

[xt=xt-12+25xt-11+x2t-1+8cos（1.2t）+vt-1] （9）

假設(shè)通過兩個(gè)傳感器進(jìn)行測(cè)量，其觀測(cè)方程分別為：

[yt，1=（xt）220+vt，1] （10）

[yt，2=（xt）220+vt，2] （11）

令觀測(cè)噪聲均為零均值的高斯噪聲，且其相關(guān)矩陣滿足：

[Q=2000.2]

因?yàn)樵肼曈绊懙牟煌?，[y1]的干擾量為[y2]的10倍。根據(jù)本文和最大熵標(biāo)準(zhǔn)，易知第二個(gè)傳感器應(yīng)該被選為最優(yōu)子系統(tǒng)。

首先給出狀態(tài)隨時(shí)間變化的關(guān)系，如圖1所示。圖2，圖3分別是兩個(gè)傳感器（子系統(tǒng)）得到的觀測(cè)數(shù)據(jù)。

圖1 狀態(tài)空間隨時(shí)間變化關(guān)系

圖2 第一路傳感器得到觀測(cè)隨時(shí)間變化

設(shè)定初始粒子數(shù)為200，對(duì)兩路觀測(cè)分別用粒子濾波進(jìn)行狀態(tài)空間的估計(jì)，結(jié)果見圖4和圖5。從結(jié)果中可以看出，最優(yōu)子系統(tǒng)的估計(jì)結(jié)果明顯優(yōu)于噪聲影響更大的測(cè)量回路（估計(jì)值與原始狀態(tài)的差異）。而經(jīng)本文提出的算法以及最大熵標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算可知，在傳感器子系統(tǒng)1和2的選擇中，最大熵標(biāo)準(zhǔn)得到的平均值為1.9。進(jìn)一步給出最優(yōu)回路估計(jì)過程中，離散分布的粒子數(shù)隨時(shí)間變化曲線如圖6所示，可以看出離散分布的粒子隨著狀態(tài)估計(jì)并沒有明顯的收斂趨勢(shì)，本文方法對(duì)粒子濾波的“衰竭”問題有著良好的緩解作用。

圖3 第二路傳感器得到觀測(cè)隨時(shí)間變化

圖4 第一路子系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)結(jié)果

圖5 第二路子系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)結(jié)果

圖6 最優(yōu)傳感器估計(jì)中離散粒子數(shù)目的變化趨勢(shì)

4 結(jié) 論

通過[H（xtyt，s，Yt-1）]和[?ht]之間數(shù)學(xué)關(guān)系的建立，本文給出了一種基于粒子濾波的多傳感器數(shù)據(jù)選優(yōu)、在線處理算法。從理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，該算法不僅有效實(shí)現(xiàn)了選優(yōu)在線計(jì)算，并且較好地緩解了“粒子衰竭”問題。本文對(duì)于解決粒子濾波的“衰竭”問題以及多傳感器目標(biāo)跟蹤、信息融合等領(lǐng)域有著潛在的理論和工程實(shí)用價(jià)值。

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