摘 要： 有效去除遙測數(shù)據(jù)中的噪聲，對數(shù)據(jù)的正確判讀和后續(xù)處理具有重要意義。通過對遙測數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，為抑制去噪時(shí)在信號奇異點(diǎn)處產(chǎn)生的偽吉布斯現(xiàn)象，采用平移不變小波去噪處理遙測數(shù)據(jù)。針對傳統(tǒng)小波閾值函數(shù)存在的缺陷，采用新閾值函數(shù)的平移不變法改善降噪效果。仿真結(jié)果表明，平移不變小波變換去噪方法提高了信噪比，降低了均方根誤差，證明了該方法的有效性。

關(guān)鍵詞： 小波閾值； 遙測數(shù)據(jù)； 去噪； 平移不變； 偽吉布斯現(xiàn)象

中圖分類號： TN911.7?34 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）01?0008?03

0 引 言

飛行器的遙測數(shù)據(jù)反映了其工作環(huán)境和各系統(tǒng)各部件的工作狀態(tài)，記錄飛行過程中的重要數(shù)據(jù)，對于判斷飛行器是否正常，以及分析各種異常現(xiàn)象有著重要作用[1]。由于環(huán)境影響，實(shí)際得到的遙測數(shù)據(jù)不可避免的受到噪聲污染，這對數(shù)據(jù)的正確判讀和后續(xù)處理造成困難。

隨著小波技術(shù)逐漸成熟，小波變換在遙測數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[2?3]。小波閾值去噪[4?6]因其計(jì)算簡單應(yīng)用最為廣泛，但閾值去噪過程中在信號的奇異點(diǎn)處會產(chǎn)生偽吉布斯現(xiàn)象，平移不變小波變換可以有效去除偽吉布斯現(xiàn)象。針對軟硬閾值函數(shù)的不足，本文試圖采用一種新閾值函數(shù)，結(jié)合平移不變算法，得到一種基于新閾值的平移不變?nèi)ピ胨惴▽b測數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪處理。通過仿真實(shí)驗(yàn)證明了平移不變小波去噪在遙測數(shù)據(jù)處理中的有效性。

1 平移不變小波去噪

1.1 Donoho小波閾值去噪

Donoho小波閾值去噪[7?8]是D.L.Donoho在小波變換的基礎(chǔ)上提出的，小波變換能將信號的能量集中于少數(shù)小波系數(shù)上，而白噪聲在任何正交基上的變換仍是白噪聲，并且幅度相同。相對來說，經(jīng)過小波變換，信號的小波系數(shù)必定大于能量分散、幅值較小的噪聲的小波系數(shù)。因此，選擇一個(gè)合適的閾值，對小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理，就可以去除噪聲且保留有用信號。

假設(shè)一個(gè)疊加了高斯白噪聲的有限長信號：

[x（i）=s（i）+n（i）， i=1，2，…，N] （1）

式中：[s（i）]為原始信號；[x（i）]為含噪信號；[n（i）]為高斯白噪聲；[N]為信號長度。利用Donoho小波閾值去噪，其步驟如下：

（1） 作離散小波變換

選擇合適的小波和分解層數(shù)[J，]將[x（i）]運(yùn)用式（2）進(jìn)行小波分解至第[J]層；得到相應(yīng)的小波分解系數(shù)，其中[wx（j，k）]，[ws（j，k）]，[wn（j，k）]分別是含噪信號、原始信號、噪聲在第[j]層上的小波系數(shù)。

[wx（j，k）=ws（j，k）+wn（j，k）， j=0，1，2，…，J；k=0，1，2，…，N] （2）

（2） 進(jìn)行閾值處理

對分解得到的小波系數(shù)用閾值處理， D. L. Donoho提出的硬、軟函數(shù)分別如式（3），式（4）所示：

[wj，k=sgn（wj，k）（wj，k-λ），wj，k≥λ0，wj，k<λ] （3）

[wj，k=wj，k，wj，k≥λ0，wj，k<λ] （4）

式中：[sgn（?）]為符號函數(shù)，閾值[λ=σ2logN，]硬、軟閾值函數(shù)的示意圖如圖1所示。

圖1 硬、軟閾值函數(shù)示意圖

（3） 進(jìn)行小波逆變換

用小波逆變換將經(jīng)閾值處理過的小波系數(shù)[w（j，k）]重構(gòu)，得到去噪后的信號[s（i），i=1，2，…，N。]

1.2 平移不變小波變換

平移不變量[9?12]小波去噪法是閾值去噪法的改進(jìn)。傳統(tǒng)的小波閾值去噪法在信號的奇異點(diǎn)處會產(chǎn)生偽吉布斯現(xiàn)象，平移不變小波去噪能有效解決這一問題。實(shí)際表明，平移不變小波去噪不但能夠有效的抑制偽吉布斯現(xiàn)象，并且較傳統(tǒng)閾值法，平移不變小波去噪得到了更高的信噪比和更小的均方根誤差。

平移不變小波去噪方法是將含噪信號在一定范圍內(nèi)循環(huán)平移，對每次循環(huán)平移得到的信號做離散小波變換并完成閾值去噪處理，進(jìn)行逆循環(huán)平移并對每次平移去噪后的結(jié)果進(jìn)行平均。[N]次循環(huán)平移的平移不變小波去噪用公式表達(dá)為：

[T（x，（Sh）h∈H）=Aveh∈HS-h（T（Sh（x）））] （5）

式中：[Sh]為在時(shí)域?qū)π盘朳x]進(jìn)行平移，位移為[h1≤h≤N]，[h]為正整數(shù)；[T]為對信號進(jìn)行閾值法去噪處理；[S-h=（Sh）-1]是對信號進(jìn)行位移為[h]的逆平移；[Ave]為平均運(yùn)算。

2 新閾值的平移不變小波去噪

軟硬閾值法能得到原始信號的近似最優(yōu)估計(jì)，且計(jì)算速度快，因而在實(shí)際中得到了廣泛的應(yīng)用。但當(dāng)信號中存在奇異點(diǎn)時(shí)，硬閾值函數(shù)在[λ]和[-λ]處的不連續(xù)性會導(dǎo)致偽吉布斯現(xiàn)象；軟閾值函數(shù)法雖然連續(xù)性好，得到結(jié)果相對平滑，但對大于閾值的小波系數(shù)（[wj，k≥λ]）采取恒定值壓縮，導(dǎo)致信號的估計(jì)值與實(shí)際值總是存在恒定偏差。針對軟、硬閾值函數(shù)去噪算法中存在的缺陷，文獻(xiàn)[13]提出了一種新的閾值函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為：

[fnewx=sgnxx-λexpx-λλ，x≥λ0，x<λ] （6）

在[x<λ]內(nèi)，小波系數(shù)全被置零，這與傳統(tǒng)閾值法一致，在[x≥λ]時(shí)，采用在一定范圍內(nèi)緩變壓縮，壓縮量逐漸減小，大于這個(gè)范圍不進(jìn)行壓縮處理的方法。新閾值函數(shù)以[wj，k=wj，k]為漸近線，隨著[wj，k]的增大，[wj，k]逐漸接近[wj，k]，這個(gè)性質(zhì)使得新閾值函數(shù)克服了軟閾值函數(shù)中[wj，k]與[wj，k]存在恒定偏差的缺點(diǎn)。當(dāng)[x]非常接近[λ]時(shí)，小波系數(shù)不是直接被置零，而是漸進(jìn)為零，使得函數(shù)在點(diǎn)[x=λ]處連續(xù)。本文應(yīng)用該閾值的平移不變小波去噪方法對遙測數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪處理，改善了去噪效果。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 降噪效果評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

為了比較不同去噪方法性能的優(yōu)劣，引入信噪比（SNR）、均方根誤差（RMSE）兩個(gè)參數(shù)，分別定義如下：

[SNR=10logi=1Nx2（i）i=1Nx（i）-x（i）2， i=1，2，…，N] （7）

[RMSE=1Ni=1Nx（i）-x（i）2， i=1，2，…，N] （8）

式中：[x（i）]為原始信號；[x（i）]為去噪后的信號。對某一含噪信號[x（i）]去噪，得到的信號信噪比（SNR）越大，均方根誤差（RMSE）越小，則去噪效果越好。

3.2 仿真實(shí)驗(yàn)及性能分析

根據(jù)遙測信號的變化特性，模擬出信噪比為5的遙測信號，視覺上該信號被噪聲污染嚴(yán)重，不易讀出信號電平值，并且信號中含有較多的奇異點(diǎn)，不利于后續(xù)數(shù)據(jù)處理和應(yīng)用。應(yīng)用Matlab 2012a，選用“Haar”小波，分別采用硬閾值函數(shù)法、軟閾值函數(shù)法、新閾值函數(shù)法和基于新閾值函數(shù)的平移不變法對其進(jìn)行小波去噪仿真比較，仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 各種算法去噪結(jié)果比較

根據(jù)降噪效果的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，采用4種方法去噪后的效果比較如表1所示。

表1 信噪比為5的遙測信號4種降噪方法效果比較

[去噪方法＼硬閾值＼軟閾值＼改進(jìn)閾值＼新閾值平移不變＼SNR＼22.965 7＼21.786 6＼31.567 9＼32.773 5＼RMSE＼0.303 7＼0.347 9＼0.112 8＼0.098 2＼]

從仿真結(jié)果可以看出，改進(jìn)閾值平移不變?nèi)ピ敕ㄝ^其他三種方法提高了信噪比，降低了均方根誤差，有效抑制了閾值去噪在信號奇異點(diǎn)處產(chǎn)生的偽吉布斯現(xiàn)象。較好去噪效果的獲得是以犧牲更多的計(jì)算時(shí)間為代價(jià)的，對于采樣點(diǎn)數(shù)為[n]的信號，普通閾值去噪法的計(jì)算量為[On，]平移不變小波變換去噪方法的計(jì)算量為[Onlog2 n。]雖然平移不變法小波去噪相比閾值法去噪計(jì)算量較大，但目前的數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)足夠滿足該計(jì)算量要求。

4 結(jié) 語

平移不變小波去噪方法應(yīng)用于信號去噪可以有效抑制信號奇異點(diǎn)處產(chǎn)生的偽吉布斯現(xiàn)象。用新閾值函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)閾值函數(shù)，結(jié)合平移不變小波變換，得到基于新閾值函數(shù)的平移不變小波去噪方法更加改善了去噪效果，將其應(yīng)用于遙測數(shù)據(jù)的去噪處理，得到較好的去噪效果。這對遙測數(shù)據(jù)的處理具有實(shí)用價(jià)值。

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