溫爭鳴，胡于進

（華中科技大學機械科學與工程學院，湖北 武漢430074）

0 引言

自由界面模態(tài)綜合法是復雜系統(tǒng)動力學分析的最有效的方法之一［1－2］。但是，該方法完全忽略了高階截斷模態(tài)的影響，結果的收斂性和精度均較差。因此，一些研究者［3－5］通過研究，形成了目前常用的雙協(xié)調(diào)自由界面模態(tài)綜合法。

雖然自由界面法在工程中已有了廣泛的應用，但是這些應用大都僅僅針對某一工程實例?；陔p協(xié)調(diào)自由界面模態(tài)綜合法［6－7］開發(fā)通用性的求解系統(tǒng)，為自由界面模態(tài)綜合法在工程中的應用提供有效工具。

1 雙協(xié)調(diào)自由界面模態(tài)綜合法

1.1 子結構降階

將復雜系統(tǒng)按照其特點劃分為若干個子結構，選取其中任一子結構為例來介紹子結構的降階。設該子結構的無阻尼動力學方程為：

按照界面自由度和非界面自由度對上式進行分塊，得：

下標i和j分別表示結構的非界面自由度和界面自由度；fj為邊界作用力。因為子結構作自由振動，所以非界面力為零。

由式（1）和式（2）可得：

B為布爾矩陣，表征了界面自由度在總體自由度中的位置。

求解式（1）可得子結構的正則化模態(tài)φr，取前k階作為子結構的保留主模態(tài)φk。設子結構的高階假設模態(tài)為Ψd，即

將子結構的保留模態(tài)集和剩余模態(tài)集組裝成假設模態(tài)矩陣為：

利用假設模態(tài)矩陣，將子結構的物理坐標x轉換為模態(tài)坐標p，即

pk為選擇的低階保留主坐標；fj為界面力，這里將其作為一組廣義坐標。式（6）即為模態(tài)綜合的第1次坐標變換。將式（6）代入式（1），得子結構在模態(tài)坐標下的動力學方程為：

1.2 綜合求解

不失一般性，以2個子結構（α和β）為例進行綜合。對子結構分別建立模態(tài)坐標下的動力學方程，并聯(lián)立起來，得到系統(tǒng)的自由振動方程為：

假設子結構α和β間只有1個對接界面。引入面力平衡條件αfj＝－βfj，得：

再利用對接面位移協(xié)調(diào)αxj＝βxj進行裝配。聯(lián)立式（6），將界面力fj表示為保留模態(tài)坐標pk的函數(shù)形式為：

因此，有

L1＝αΨjd＋βΨjd；L2＝［－αφikβφik］。聯(lián)立式（9）和式（11）得：

T＝T1T2；q＝［αpLβpL］T。利用式（12），對式（8）進行坐標變換，從而建立解耦后的系統(tǒng)動力學方程為：

求解式（13）可得到系統(tǒng)的固有頻率以及系統(tǒng)在廣義坐標q下的振型，結合式（6）和式（12）可將結果返回到物理坐標上。例如對于子結構α，有：

αB＝［αIβ0］，它表征了子結構α 的模態(tài)坐標αp在p中的位置。

2 剛體模態(tài)及彈性連接的處理

對于有剛體模態(tài)的自由子結構而言，其剛度陣是奇異矩陣，無法運用式（4）計算剩余柔度。對于這種情況，可以利用移頻法［8］來消除子結構剛度陣的奇異性，仍然采用子結構的剩余模態(tài)來近似高階截斷模態(tài)。移頻法的基本公式為：

子結構的綜合需要將邊界位移協(xié)調(diào)作為條件來建立第2次坐標變換的轉換矩陣。這種假設對于子結構間完全固連的情況較為符合，但是對于連接比較薄弱、變形不連續(xù)以及存在連接部件的結構，則不能很好地進行分析。連接子結構的引入可以很好地解決這方面的問題。

連接子結構的基本特征［9］為：僅存在界面自由度而無非界面自由度，所有界面自由度又同時與相鄰的模態(tài)子結構所共有。其基本特性決定了它的坐標變換矩陣僅僅依賴于相鄰子結構模態(tài)矩陣中對應于界面自由度的子矩陣，而無法生成獨立的廣義坐標。設連接子結構的坐標變換矩陣為：

cφ為連接子結構的變換矩陣；αΨjd為α子結構模態(tài)矩陣對應于界面自由度的子矩陣；βΨjd為β子結構模態(tài)矩陣對應于界面自由度的子矩陣。

3 求解系統(tǒng)的實現(xiàn)流程

3.1 輸入模塊

輸入模塊的主要工作是通過收集子結構的模型數(shù)據(jù)、連接集數(shù)以及求解參數(shù)來定義模態(tài)綜合實例。

子結構的模型數(shù)據(jù)含義：第1部分是指子結構的節(jié)點和單元數(shù)據(jù)，用于實現(xiàn)子結構的顯示；第2部分是指子結構的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣以及低階模態(tài)，用于實現(xiàn)子結構的降階。系統(tǒng)通過文件預處理將bdf文件轉換成mdl文件以讀取子結構的有限元模型，子結構的質(zhì)量陣、剛度陣和模態(tài)矩陣則可以通過Nastran的SOL103序列（模態(tài)分析求解序列）獲得。因此，對于理論模型，必須提供子結構的bdf文件，若提供的是其他格式的模型文件，則需要通過相應的軟件轉換為bdf文件格式。

連接集數(shù)據(jù)是指子結構之間相互連接的自由度集合以及連接屬性。自由度集合包含連接節(jié)點編號以及自由度號。連接屬性則分為剛性連接和彈性連接，對于彈性連接需要定義各個連接自由度之間的等效剛度，為連接子結構的定義提供必要的數(shù)據(jù)。

求解參數(shù)主要包括：各個子結構的保留模態(tài)階數(shù)（各子結構的保留模態(tài)數(shù)可以不同）、移頻量和綜合結果的計算階數(shù)。

3.2 子結構降階模塊

子結構降階模塊的作用是處理輸入模塊讀入的信息，為之后的綜合求解準備必要的數(shù)據(jù)。其中，子結構預處理是在子結構與子結構、子結構與連接集之間建立對應關系，并為第2次坐標變換矩陣的子矩陣T1的生成做準備。子結構降階則是以子結構的bdf文件為基礎，通過USET1命令將相應的連接集信息寫入bdf文件，然后利用DMAP語言結合求解參數(shù)修改SL103序列以實現(xiàn)子結構的降階，具體的DMAP實現(xiàn)流程如圖1所示。

首先，通過MODUSET模塊將子結構的分析自由度集劃分為界面自由度集和非界面自由度集，然后分別利用UPARTN和MERGE，將子結構的質(zhì)量陣和剛度陣和模態(tài)矩陣按照不同的自由度集進行分塊和再組裝。對于有剛體模態(tài)的子結構，需要使用ADD模塊完成移頻處理，以消除剛度矩陣的奇異性。在完成系統(tǒng)矩陣的處理后，利用PARTN模塊截取保留主模態(tài)，然后運用SMPYAD，SOLVE和ADD模塊求出剩余模態(tài)矩陣，再通過MERGE模塊將保留主模態(tài)和剩余模態(tài)組裝成假設模態(tài)矩陣。最后，利用SMPYAD模塊求出子結構的模態(tài)質(zhì)量陣和模態(tài)剛度陣，并通過OUTPUT4模塊將模態(tài)質(zhì)量陣和模態(tài)剛度陣以及假設模態(tài)矩陣輸出到op4文件。

圖1 子結構降階流程

對于存在柔性連接的綜合實例，需要通過連接子結構模塊來構造連接子結構的質(zhì)量陣和剛度陣。這一過程在VC＋＋程序中完成，并未涉及DMAP程序，故在此不作詳細介紹。

3.3 綜合求解模塊

綜合求解模塊以SOL100序列為基礎，自定義一個新的求解序列，它的輸入包括各個子結構的輸出、連接子結構的系統(tǒng)矩陣以及第2次坐標變換矩陣的子矩陣T1矩陣。綜合求解模塊的DMAP流程如圖2所示。

通過INPUTT4模塊將各個子結構輸出到op4文件中的模態(tài)質(zhì)量陣、模態(tài)剛度陣以及假設模態(tài)矩陣，并讀入到求解序列中，T1矩陣的讀入則是由DMIIN模塊完成。利用ADD模塊和MERGE模塊分別將求出L1矩陣和L2矩陣，并通過SOLVE模塊和MERGE模塊構造T2矩陣。使用MPYAD模塊將T1和T2相乘得到模態(tài)綜合第2次坐標變換的變換矩陣T矩陣。得到T矩陣后，利用SMPYAD對綜合系統(tǒng)的質(zhì)量陣和剛度陣進行坐標變換，并用READ模塊求出綜合系統(tǒng)的特征值、固有頻率和振型。最后使用MPYAD模塊，將綜合系統(tǒng)的振型轉化成子結構在物理坐標下的振型，并利用MATPCH模塊將結果輸出到相應子結構的pch文件中。綜合系統(tǒng)的特征值和固有頻率頻率則通過OFP模塊輸出到f06文件中。綜合求解結束后，通過后處理模塊將綜合求解模塊輸出的固有頻率和振型讀取到內(nèi)存中，并為每個子結構生成相應rsl文件，以便系統(tǒng)進行讀取和顯示。

所開發(fā)的自由界面模態(tài)綜合法求解系統(tǒng)是以實驗室所開發(fā)的混合建模求解系統(tǒng)為基礎，該系統(tǒng)的邏輯結構以及數(shù)據(jù)結構見參考文獻［10－12］。

圖2 綜合求解流程

4 算例驗證

4.1 浮筏裝置

圖3所示為1個浮筏裝置的簡化機構。其中，m1和m2表示被隔振機械，質(zhì)量分別為：m1＝200 kg，m2＝250kg，筏架和基座的尺寸分別為：1 200 mm×800mm×20mm和2 000mm×800mm×40 mm。基座的兩短邊約束、兩長邊自由，而筏架的四邊均自由。筏架和基座的材料參數(shù)為：E＝2.0×1011N／m2，ρ＝7 800kg／m3，μ＝0.3。m1和 m2分別通過1個彈簧和阻尼器與筏架相連，筏架通過8個彈簧固定在基座上。將其劃分為基座和筏架（含機器）2個子結構。基座與筏架之間的彈簧作為連接子結構，連接子結構的彈簧剛度為k2＝500N／m?；c筏架之間的彈簧僅存在Y方向的自由度，因此，僅需設置Y方向的連接自由度。又因為子結構2包含有剛體模態(tài)，因此，需要對子結構做移頻處理，移頻量設為1。

圖3 浮筏裝置結構

每個子結構選取保留模態(tài)為13階（包含3階剛體模態(tài)）。將模態(tài)綜合計算結果中的前5階彈性頻率與Nastran整體計算的前5階彈性頻率進行比較，比較結果如表1所示。對比結果表明，系統(tǒng)對彈性連接子結構的綜合計算結果能滿足工程要求。

表1 浮筏裝置模態(tài)綜合彈性頻率對比

4.2 多子結構及剛性連接驗證

以一個飛機模型為例來驗證多個子結構件剛性相接的綜合計算。將其劃分為3個子結構，即機身和2個機翼。飛機模型子結構組裝后的整體模型包含19 191個殼單元，18 930個節(jié)點，材料參數(shù)為：E＝2.0×109N／m2，ρ＝1 750kg／m3，μ＝0.3。子結構之間為剛性連接，每個子結構均取16階保留模態(tài)（包括6階剛體模態(tài)）參與綜合，連接自由度為全部6個自由度，移頻量設為1。表2為綜合分析與整體分析的前5階彈性頻率的對比結果。對比結果表明，該系統(tǒng)對剛性連接子結構的綜合計算結果能夠滿足工程要求。

表2 飛機模型模態(tài)綜合彈性頻率對比

5 結束語

基于求解功能強大的Nastran求解器和DMAP語言，結合雙協(xié)調(diào)自由界面模態(tài)綜合法，開發(fā)了面向工程應用的自由界面模態(tài)綜合求解系統(tǒng)，設計并實現(xiàn)了相應的功能模塊。從算例可以看出，該求解系統(tǒng)綜合計算的結果與整體有限元分析的結果相比，有較高的計算精度，能夠滿足工程實際的要求。

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