向 華，楊招軍

(湖南大學(xué)金融與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 長沙 410079)

1 引言

公司證券的定價(jià)和最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)一直是現(xiàn)代公司金融學(xué)的研究熱點(diǎn)，如Leland[1-4], Goldstein 等[5], Albul[6]等都以公司資產(chǎn)價(jià)值或收益流服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)為假設(shè)來給出資產(chǎn)定價(jià)和分析最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)問題。然而現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)中很多不確定因素如金融危機(jī)、通貨膨脹等，一旦發(fā)生往往導(dǎo)致資產(chǎn)價(jià)值瞬間大幅縮水，從而使價(jià)值發(fā)生跳躍。而連續(xù)變化的幾何布朗運(yùn)動(dòng)顯然不能刻劃這些因素。此外Ammannn和Genser[7]就指出收益流服從幾何布朗不大現(xiàn)實(shí)，其非負(fù)特性難以解釋公司創(chuàng)立初期的負(fù)收益流及經(jīng)營性損失現(xiàn)象。鑒于幾何布朗運(yùn)動(dòng)難以反映復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)背景，因此有學(xué)者嘗試用新的擴(kuò)散過程來替代幾何布朗運(yùn)動(dòng)。例如Hilberink和Rogers[8]提出了一個(gè)跳模型來分析公司最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)和內(nèi)生的破產(chǎn)機(jī)制。但由于其模型是一個(gè)只有下跳的勒維過程(Levy process)，對(duì)于現(xiàn)實(shí)市場資產(chǎn)價(jià)值向上跳躍的情況不能刻劃。其次Le Courtois和Quittard-Pinon[9]給出了一個(gè)具有雙邊跳的勒維過程作為資產(chǎn)價(jià)值過程。但他們的模型沒有連續(xù)部分，因而反映不出市場運(yùn)行平穩(wěn)時(shí)資產(chǎn)價(jià)值連續(xù)變化的動(dòng)態(tài)。

基于以上跳模型的不足，本文利用Kou[10]提出的一類特殊的勒維過程即：雙指數(shù)跳擴(kuò)散過程作為資產(chǎn)價(jià)值過程。本質(zhì)上它是把Merton[11]的正態(tài)跳擴(kuò)散模型中的跳幅度服從的正太分布換成雙指數(shù)分布。該過程具有兩大非常好的性質(zhì)：一是雙指數(shù)跳擴(kuò)散過程具有雙邊的跳，既有上跳，又有下跳，這樣更符合真實(shí)市場情況。且與正態(tài)分布相比, 雙指數(shù)分布擁有資產(chǎn)收益率分布的尖峰和厚尾特性。二是它的無記憶便于計(jì)算停時(shí)的拉普拉斯轉(zhuǎn)換，因而容易得到公司權(quán)益資本的解析解。此外無記憶性質(zhì)也有助于解決跳擴(kuò)散過程中資產(chǎn)價(jià)值跨越問題。比如當(dāng)價(jià)值V在停時(shí)τ首次觸發(fā)到障礙水平VB時(shí)，由于有跳可能Vτ剛好等于VB，也有可能Vτ跨越VB，使得Vτ≠VB。用雙指數(shù)跳擴(kuò)散過程作為資產(chǎn)價(jià)值過程來研究資產(chǎn)定價(jià)和最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)問題的相關(guān)文獻(xiàn)有Dao Bin[12]，Chen Nan和Kou[13]。不過他們研究的都是基于具有平穩(wěn)的，時(shí)間齊性的滾動(dòng)性債券(roll-over debt)，該類債券具有任意的到期時(shí)間且公司通過連續(xù)地回購和發(fā)行以達(dá)到債券的總面值和總?cè)⒌牟蛔?。其類似于市場中的償債基?sink funds)[14-15]。而Dao Bin[12]著重分析的是該類債券的到期期限對(duì)資本結(jié)構(gòu)的影響。而Chen Nan和Kou[13]主要研究了信用差價(jià)和隱含波動(dòng)率。與他們研究的根本區(qū)別是：本文資本結(jié)構(gòu)考慮的是與Leland[1], Goldstein[5]，Albul[6]一樣為公司普遍發(fā)行的普通債券。因此對(duì)它的研究更具有現(xiàn)實(shí)意義。本文的主要貢獻(xiàn)是：把Leland[7]的資產(chǎn)模型拓展為跳擴(kuò)散模型，以此來研究跳風(fēng)險(xiǎn)對(duì)于資產(chǎn)定價(jià)和資本結(jié)構(gòu)的影響。利用均衡定價(jià)的方法給出了公司證券的定價(jià)和分析了受跳風(fēng)險(xiǎn)影響的最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)問題。更為重要的是我們獲得了債券價(jià)值，股權(quán)價(jià)值和公司總價(jià)值的解析解。據(jù)我們所知只有Leland[1-2], Leland和Toft[3], Goldstein[4], Albul[5]等利用幾何布朗運(yùn)動(dòng)和Dao Bin[12]，Chen Nan和Kou[13]利用雙指數(shù)分布得到了解析解。利用結(jié)果進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)，代表跳風(fēng)險(xiǎn)的泊松強(qiáng)度對(duì)企業(yè)資本價(jià)值、最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)、破產(chǎn)成本、收益率差價(jià)等都具有顯著的影響。與幾何布朗運(yùn)動(dòng)相比跳風(fēng)險(xiǎn)降低了公司價(jià)值和債券價(jià)值以及公司最優(yōu)杠桿率，但同時(shí)增加了債券收益率差價(jià)和股權(quán)價(jià)值。

本文余下內(nèi)容安排如下：第二節(jié)是模型框架，介紹了雙指數(shù)跳擴(kuò)散過程和破產(chǎn)停時(shí)的拉普拉斯轉(zhuǎn)換；第三節(jié)給出了公司證券的均衡定價(jià)，分析了內(nèi)生最優(yōu)破產(chǎn)邊界和債券價(jià)值的性質(zhì)；第四節(jié)為最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)；第五節(jié)給出了數(shù)值結(jié)果及比較靜態(tài)分析。第六節(jié)是全文的總結(jié)。

2 模型框架

本文假定公司資產(chǎn)價(jià)值服從雙指數(shù)跳擴(kuò)散過程來研究公司證券定價(jià)和最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)問題。資產(chǎn)定價(jià)是金融學(xué)的核心內(nèi)容，其基本準(zhǔn)則是收益與風(fēng)險(xiǎn)的權(quán)衡。最簡單的資產(chǎn)定價(jià)理論是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)，其本質(zhì)是只在乎平均收益，而對(duì)風(fēng)險(xiǎn)是中性的(即風(fēng)險(xiǎn)不影響資產(chǎn)價(jià)格)，盡管這不是一個(gè)嚴(yán)格完美的方法，但因其計(jì)算簡單，仍然得到廣泛使用，既考慮系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)、又考慮非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)的定價(jià)方法是Hodges和Neuberger[16]提出的效用無差別定價(jià)，經(jīng)濟(jì)學(xué)上這是最合理的定價(jià)方法，但是很難得到解析解，數(shù)值計(jì)算也比較復(fù)雜。作為上述兩個(gè)方法的折衷，另一資產(chǎn)定價(jià)方法就是均衡定價(jià)，如Merton[17]、Lucas[18]以及Ingersoll[19]。這一方法將資產(chǎn)的收益風(fēng)險(xiǎn)分為系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)和非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，定價(jià)時(shí)對(duì)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)要求有風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償(風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià))，而對(duì)非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)是風(fēng)險(xiǎn)中性的，或認(rèn)為非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)可以完全分散從而得到一個(gè)完備市場[20-21]。因?yàn)榫舛▋r(jià)方法兼具經(jīng)濟(jì)學(xué)的合理性和計(jì)算的簡單性，這一方法得到廣泛使用。均衡定價(jià)關(guān)鍵是確定對(duì)應(yīng)的隨機(jī)折扣因子(state-price deflator)[22]。然后，根據(jù)Duffie (2001)，所有資產(chǎn)(均衡)價(jià)格等于其收益流與隨機(jī)折扣因子乘積的和在真實(shí)概率測(cè)度下的平均值?；蛘叩葍r(jià)地，資產(chǎn)價(jià)格等于其收益流以無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的和在等價(jià)鞅測(cè)度下的平均值。由于有跳風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度不唯一，但根據(jù)Lucas理性期望均衡的觀點(diǎn)，只要代理人具有HARA型的效用函數(shù)，通過求解單一代理人最優(yōu)投資消費(fèi)問題得到隨機(jī)折扣因子，進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)的等價(jià)鞅測(cè)度[10]。因此本文就假定在這樣一個(gè)等價(jià)鞅測(cè)度Q之下資產(chǎn)價(jià)值Vt服從與文獻(xiàn)[8-9]一樣的跳擴(kuò)散過程：

(1)

(2)

其中，V為資產(chǎn)初始值，我們規(guī)定Zk取值范圍為(-1,∞)，以保證價(jià)值過程{Vt,t≥0}嚴(yán)格取正值。以下記：

則Vt=VeXt?？芍猉t是勒維過程并且Xt的拉普拉斯指數(shù)G(·)滿足對(duì)任意t,β，有EQ[eβXt]=exp{G(β)t}。此外根據(jù)Cont和Tankov[23]有：

f(y)=pη1e-η1yI{y≥0}+qη2eη2yI{y<0},

η1>0,η2>0

其中p>0,q>0,(p+q=1)分別代表向上和向下跳的概率。特別對(duì)于-η2<β<η1，有：

對(duì)于破產(chǎn)觸發(fā)水平VB，令VB=Vel，則破產(chǎn)停時(shí)等價(jià)于：

τ=inf{t:Vt≤VB}=inf{t:VeXt≤Vel}=

inf{t:Xt≤l}=τl(X)

本文下節(jié)用到文獻(xiàn)[12]關(guān)于停時(shí)τl(X)的拉普拉斯轉(zhuǎn)換的結(jié)論即對(duì)任意的ρ>0，ξ>0，有：

(3)

(4)

(5)

(6)

其中-β3,ρ,-β4,ρ為方程G(β)=ρ的四個(gè)實(shí)數(shù)根(兩正，兩負(fù))中的兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根且：

-∞<-β4,ρ<-η2<-β3,ρ<0<β1,ρ<η1<β2,ρ<∞

3 公司證劵的均衡定價(jià)

我們假定公司的資本結(jié)構(gòu)由債券和股權(quán)構(gòu)成。公司債券與文[1，5-6]一樣為永久型的普通債券。普通債券具有避稅功能，稅率為θ,券息為C。公司破產(chǎn)發(fā)生在資產(chǎn)價(jià)值Vt低于某一水平VB時(shí)，在數(shù)學(xué)上是一個(gè)停時(shí)即τ=inf{t:Vt≤VB}。一旦破產(chǎn)，公司因破產(chǎn)清算會(huì)損失掉一部分資產(chǎn)價(jià)值即破產(chǎn)成本，我們?cè)O(shè)破產(chǎn)成本占公司剩余價(jià)值的比例為α，考慮債券持有人的絕對(duì)優(yōu)先原則，則清算后剩余資產(chǎn)(1-α)Vτ歸債券持有人。注意到有跳Vτ不一定等于VB。

3.1 公司證券的定價(jià)

對(duì)于債券價(jià)值，公司價(jià)值和股權(quán)價(jià)值我們用以下符號(hào)來表示：D(V,VB,C)表示公司普通債券價(jià)值，其中V為資產(chǎn)初始值；G(V,VB,C)表示公司總價(jià)值；E(V,VB,C)代表公司股權(quán)價(jià)值。

對(duì)于債券它的收益流由兩部分組成：一是在公司破產(chǎn)之前獲得的券息C，二是在破產(chǎn)時(shí)刻得到的公司剩余價(jià)值(1-α)Vτ。因此債券價(jià)值為：

由(3)(6)兩式得：

(7)

公司總價(jià)值G(V,VB,C)等于公司資產(chǎn)價(jià)值加上因發(fā)行債券而獲得的稅收價(jià)值，同時(shí)減去破產(chǎn)成本的價(jià)值。即：

(8)

公司股權(quán)價(jià)值E(V,VB,C)等于公司價(jià)值G(V,VB,C)減去債券價(jià)值D(V,VB,C)即：

E(V,VB,C)=G(V,VB,C)-D(V,VB,C)

由(7)(8)，股權(quán)價(jià)值為：

(9)

3.2 最優(yōu)破產(chǎn)邊界VB和債券的性質(zhì)

我們假定公司破產(chǎn)由股權(quán)持有人控制，通過極大化股權(quán)者利益獲得最優(yōu)破產(chǎn)邊界，于是我們有如下命題。

命題1 假定公司股權(quán)持有者決定破產(chǎn)，那么最優(yōu)的破產(chǎn)觸發(fā)水平為：

(10)

將(10)代入(7)(8)(9)式便得到債券價(jià)值，公司價(jià)值和股權(quán)價(jià)值的解析解。

經(jīng)變形化簡只需證β3,rβ4,r+β3,r+β4,r≥(1-α)×(1-θ)β3,rβ4,r即可。顯然該不等式恒成立, 于是命題1得證。

命題3 如果無風(fēng)險(xiǎn)債券的價(jià)值不低于有違約風(fēng)險(xiǎn)的債券價(jià)值，那么以下關(guān)系式總成立：

證明：由B(C)≥D(V,VB,C)，

其中：

g(x)=Axα1+Bxα2-Cxβ1-Dxβ2，0≤x≤1 如果0≤α1≤α2≤β1≤β2,A+B≥C+D,A>C，那么對(duì)任意的0≤x≤1，有g(shù)(x)>0。我們用D(x)表示債券，則：

且α1=α2=β3,r-1,β1=β2=β4,r-1。

由Kou和Wang Hui[24]知：0<β3,r<η2<β4,r，因此0≤α1≤α2≤β1≤β2,另外：

4 公司最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)

由于發(fā)行債券可以獲得稅收，但同時(shí)也會(huì)增加破產(chǎn)成本，因此公司最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)必須權(quán)衡稅收和破產(chǎn)成本的關(guān)系。公司最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)問題在數(shù)學(xué)上等價(jià)于求解如下優(yōu)化問題：

由關(guān)于券息C的一階條件，容易得到最優(yōu)券息C*滿足如下方程：

(11)

其中

。

從(11)可數(shù)值解出最優(yōu)券息C*。

5 數(shù)值結(jié)果分析

本節(jié)給出數(shù)值結(jié)果分析，為了便于對(duì)比分析我們參考了經(jīng)典論文的參數(shù)選擇。

對(duì)于模型連續(xù)部分的參數(shù)我們?nèi)∨cLeland[1], Hiberink和Rogers[8]，Dao Bin[12]一樣。即無風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.075，稅率θ=0.35，破產(chǎn)成本α=0.5，支付率δ=0.07。債券的券息C=(0,1,…,10)，初始值V=500。

5.1 債券價(jià)值作為券息的函數(shù)

(2)波動(dòng)率越大，債券價(jià)值越小。這是因?yàn)椴▌?dòng)率越大，資產(chǎn)價(jià)值越不穩(wěn)定且破產(chǎn)邊界也越高，因此債券價(jià)值越小。B子圖為不同強(qiáng)度下的債券價(jià)值隨券息變化的圖形。其中σ=0.15，對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度依次為+線λ=0，星線λ=1，實(shí)線λ=3，虛線λ=5。特別的λ=0代表資產(chǎn)價(jià)值服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)。觀察到跳過程下的債券價(jià)值小于幾何布朗運(yùn)動(dòng)下的債券價(jià)值。且強(qiáng)度越大，債券價(jià)值越小。這表明跳風(fēng)險(xiǎn)降低了債券價(jià)值。當(dāng)市場動(dòng)蕩導(dǎo)致資產(chǎn)價(jià)值發(fā)生跳躍，債券價(jià)值會(huì)下跌。而當(dāng)市場運(yùn)行平穩(wěn)時(shí)則債券價(jià)值上漲。

圖1 債券價(jià)值隨券息變化規(guī)律

5.2 收益率差價(jià)作為券息和杠桿率的函數(shù)

圖2 收益率差價(jià)隨券息和杠桿率變化規(guī)律

5.3 公司價(jià)值作為券息和杠桿率的函數(shù)

圖3 A子圖表明受跳風(fēng)險(xiǎn)影響的公司價(jià)值其變化趨勢(shì)與債券價(jià)值一樣，即隨券息增大而最終下降。不難發(fā)現(xiàn)公司價(jià)值是強(qiáng)度的減函數(shù)，且跳過程下的公司價(jià)值總是小于幾何布朗運(yùn)動(dòng)下的公司價(jià)值。觀察到跳過程下的公司價(jià)值當(dāng)隨券息下降時(shí)，而幾何布朗運(yùn)動(dòng)下的公司價(jià)值依舊隨券息在增大。這表明跳風(fēng)險(xiǎn)降低了公司債券融資規(guī)模。從B子圖我們看到跳過程下的公司價(jià)值和最優(yōu)杠桿率遠(yuǎn)低于幾何布朗運(yùn)動(dòng)下的公司價(jià)值和最優(yōu)杠桿率。杠桿率代表公司總資產(chǎn)中債券所占的比率，它是一個(gè)衡量公司負(fù)債風(fēng)險(xiǎn)的指標(biāo)，從側(cè)面反應(yīng)出公司的還款能力。最優(yōu)杠桿率可通過(11)式數(shù)值計(jì)算出C*，再把C*帶入(7)(8)式得最優(yōu)債券D*(V,VB,C*)，公司總價(jià)值G*(V,VB,C*)于是最優(yōu)的杠桿率為：

圖3 公司價(jià)值隨券息和杠桿率變化規(guī)律

我們看到幾何布朗運(yùn)動(dòng)下的最優(yōu)杠桿率大約是75%(這與Leland[1]Figure 7 的結(jié)論一致)。而跳風(fēng)險(xiǎn)下的公司最優(yōu)杠桿率依次約為12%(λ=5),16%(λ=3)，18%(λ=1)。這表明跳風(fēng)險(xiǎn)使得公司負(fù)債能力降低。

5.4 股權(quán)價(jià)值作為券息的函數(shù)

圖4分析的是股權(quán)價(jià)值隨券息變化的規(guī)律。我們觀察到與債券價(jià)值、公司價(jià)值變化不同，股權(quán)價(jià)值是強(qiáng)度的增函數(shù)。這說明資產(chǎn)價(jià)值越大起大落，股權(quán)持有人越受益。而且對(duì)比發(fā)現(xiàn)受跳風(fēng)險(xiǎn)影響的股權(quán)價(jià)值大于幾何布朗運(yùn)動(dòng)下的股權(quán)價(jià)值。這表明市場越動(dòng)蕩，股權(quán)價(jià)值上漲，而市場趨于平穩(wěn)時(shí)，股權(quán)價(jià)值則下跌。

圖4 股權(quán)價(jià)值隨券息變化規(guī)律

6 結(jié)語

本文以雙指數(shù)跳擴(kuò)散過程作為公司資產(chǎn)價(jià)值過程，來研究公司證券定價(jià)和最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)問題。我們利用均衡定價(jià)的方法給出了公司證券的定價(jià)。在假定由股權(quán)持有人決定公司破產(chǎn)條件下，我們得到了債券價(jià)值，股權(quán)價(jià)值和公司總價(jià)值的解析解。并且分析了無風(fēng)險(xiǎn)的債券價(jià)值與有違約風(fēng)險(xiǎn)債券價(jià)值之間關(guān)系。在一定的條件下即使有跳風(fēng)險(xiǎn)的影響，公司債券價(jià)值隨資產(chǎn)價(jià)值的增大而增大。數(shù)值結(jié)果分析表明跳風(fēng)險(xiǎn)對(duì)企業(yè)資本價(jià)值、最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)、收益率差價(jià)等都具有顯著的影響。對(duì)比發(fā)現(xiàn)跳過程下的債券價(jià)值，公司總價(jià)值均小于對(duì)應(yīng)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)下的價(jià)值，但是股權(quán)價(jià)值和收益率差價(jià)大于對(duì)應(yīng)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)下的價(jià)值。此外泊松強(qiáng)度越大即資產(chǎn)價(jià)值發(fā)生跳的頻率越大，公司債券價(jià)值、最優(yōu)杠桿率和總價(jià)值就越小。本文數(shù)值結(jié)果得到的跳模型下的最優(yōu)杠桿率不到20%,遠(yuǎn)低于幾何布朗運(yùn)動(dòng)的高達(dá)75%的最優(yōu)杠桿率。這些結(jié)果對(duì)于企業(yè)的融資決策是有直接指導(dǎo)意義的，比如當(dāng)市場處于動(dòng)蕩時(shí)公司應(yīng)減少債券發(fā)行的規(guī)模以降低破產(chǎn)概率，當(dāng)市場運(yùn)行平穩(wěn)時(shí)，應(yīng)增加債券的規(guī)模。

最后指出自08年金融危機(jī)以來，為應(yīng)對(duì)危機(jī)許多大公司開始發(fā)行一種新型的混合型證劵：或有可轉(zhuǎn)換債券。對(duì)于公司資本結(jié)構(gòu)由普通債券，或有可轉(zhuǎn)換債券和股權(quán)構(gòu)成的情況下，在跳過程下研究其定價(jià)和最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)是該領(lǐng)域一個(gè)值得進(jìn)一步探索的研究方向。

參考文獻(xiàn)：

[1] Leland H.Corporate debt value, bonds covenants and optimal capital structure[J].Journal of Finance, 1994, 49(4)：1213-1253.

[2] Leland H.Bond prices, yield spreads,and optimal capital structural with default risk[R].Working paper, 1994.

[3] Leland H,Toft K.Optimal capital structure, endogenous bankruptcy, and the term structure of credit spreads[J].Journal of Finance, 1996, 51(3): 987-1019.

[4] Leland H.Agency costs, risk management, and capital structure[J].Journalof Finance, 1998, 53(4): 1213-1243.

[5] Goldstein R, Ju N，Leland H.An ebit-based model of dynamic capital structure[J].Journal of Business, 2001, 74(4): 483-511.

[6] Albul B，Jaffee M D，Tchistyi A.Contingent convertible bonds and capital structure decisions[R].Working paper, 2010.

[7] Ammannn M, Genser M.Making structural credit risk models testable: Introducing complex capital structure[Z], Working paper, University of St.Gallen,2005.

[8] Hilberink B, Rogers C.Optimal capital structure and endogenous defaul[J].Finance and Stochastics, 2002,6 (2): 237-263.

[9] Le Courtois O, Quittard-Pinon F.the capital structure from the point of view of investors and managers: an anaysis with jump processes[R].Working paper, 2004.

[10] Kou S.A jump diffusion model for option pricing[J].Management Science,2002, 48(8): 1086-1101.

[11] Merton R C.Option pricing when underlying stock returns are discontinuous[J].The Journal of Financial Economics, 1976, 3(1): 373-414.

[12] Dao Bin, Jeanblanc M.A double exponential structural jump diffusion model with endogenous default barrier[R].Working Paper, 2005.

[13] Chen Nan, Kuo S G，Credit spreads，optimal capital structure, and implied volatility with endogenous default and jump risk[J].Mathematical Finance, 2009, 19(3): 343-378.

[14] Smith C, Warner J.On Financing contracting: An analysis of bonds covenants[J].Journal of Financial Economics, 1979, 7(2): 117-161.

[15] Ho T R, Singer R F.The value of corporate debt with a sinking fund provision[J].Journal of Business, 1984, 57: 237-263.

[16] Hodges S D, Neuberger A.Optimal replication of contingent claims under transactions costs[J].The Reviewof Futures Markets, 1989, 8(1): 222-239.

[17] Merton R C.Lifetime portfolio selection under uncertainty: The continuous-time case[J].The Review of Economics and Statistics, 1969, 51(3): 247-257.

[18] Lucas R E.Asset prices in exchange economy[J].Econometrica, 1978, 46(6): 1429-1445.

[19] Ingersoll J E.The subjective and objective evaluation of incentive stock options[R].Working paper, 2002.

[20] Miao Jianjun, Wang Neng.Investment, Consumption and Hedging under Incomplete Markets[J].Journal of Financial Economics, 2007, 86(3): 608-642.

[21] Chen Hui, Miao Jianjun.Entrepreneurial Finance and Nondiversifiable Risk[J].Review of Financial Studies, 2010, 23(12): 4348-4388.

[22] Duffie D.Dynamic asset pricing theory[M].New Jersey: Princeton University Press, 2001.

[23] Cont T, Tankov P.Financial Modelling with Jump Processes[M].London: Chapman & Hall Press, 2003.

[24] Kou S, Wang Hui.First passage times of a jump diffusion process[J].Advances in Applied Probability, 2003, 35: 504-531.