黃金波，李仲飛，周先波

(1.廣東財經(jīng)大學金融學院，廣東 廣州 510320；2.中山大學管理學院，廣東 廣州 510275；3.中山大學嶺南學院，廣東 廣州 510275)

1 引言

風險價值(Value-at-Risk, 縮寫為VaR,)和條件風險價值(Conditional Value-at-Risk, 縮寫為CVaR)是當今最為流行的兩大風險度量指標。VaR是指給定置信水平和目標時段下預期的最大可能損失[1]，這一概念涵蓋了不確定性和損失兩大風險特征，而且還允許人們根據(jù)自己對風險的偏好選擇一個特定的主觀概率，其對風險的度量方式與人們對風險的心理感受非常接近[2]。所以VaR一經(jīng)提出，便得到了迅速推廣，巴塞爾協(xié)議(Basel Accord, 1995)和歐盟資本充足率指導(EU Capital Adequacy Directive, 1996)先后將VaR列入監(jiān)督指標。在巴塞爾銀行監(jiān)督委員會和國際證券委員會的推動下，VaR逐漸發(fā)展為國際上風險度量的通用標準。目前，VaR的應用范圍涉及到證券公司、投資銀行、商業(yè)銀行、養(yǎng)老基金及金融監(jiān)管機構(gòu)等。

VaR的廣泛應用也引發(fā)人們對它的深入研究，并開始把VaR與其它指標進行比較。Artzner 等[3]提出一致性風險度量理論，他們認為一致性風險度量工具至少應該滿足四個公理性條件：單調(diào)性；次可加性；正齊次性；平移不變性。Artzner等[4]指出，VaR不滿足一致性風險度量理論中的次可加性公理，也就是說，用VaR度量的組合風險不一定小于單個風險的加總，從而破壞投資組合理論中的風險分散化原理；另一方面，許多學者指出，VaR只報告收益(或損失)分布的一個分位數(shù)，并不關(guān)心分位數(shù)后部的風險分布情況?；赩aR的不足，Rockafellar和Uryasev[5-6]提出CVaR的概念，并證明了CVaR的一致性。CVaR度量的是損失超過VaR水平的條件期望值。CVaR保留了VaR的優(yōu)點，還彌補了VaR不滿足次可加性、沒有考慮尾部風險等缺陷，它的計算問題方便處理，是理論界公認的一種比VaR更為合理有效的風險度量工具[7]。然而，劉俊山[8]比較VaR和CVaR的優(yōu)劣，指出CVaR在性質(zhì)上要優(yōu)于VaR，但在橢球分布假定下，VaR依然保持次可加性和二階隨機占優(yōu)的一致性。由于橢圓分布包含諸如t分布以及帕累托分布等能夠反映厚尾特征的分布，因此VaR依然可以刻畫金融時間序列數(shù)據(jù)的尾部特征。同時他指出CVaR在風險管理和監(jiān)管實踐中遇到諸多的問題，例如CVaR模型的事后檢驗不易實施，所以，VaR和CVaR在度量金融風險上孰優(yōu)孰劣沒有定論。時至今日，VaR和CVaR都被寫進巴塞爾協(xié)議III作為監(jiān)管部門的風險度量工具。

VaR和CVaR概念提出之后，如何對它們進行估計成為學者和企業(yè)界共同關(guān)注的熱點問題，其間誕生了一系列的估計方法，Engle和Manganelli[9]將這些估計方法分為三大類：第一類是參數(shù)方法，主要包括GARCH族模型和Copula函數(shù)法；第二類是半?yún)?shù)方法，主要包括極值理論；第三類是非參數(shù)方法。主要包括經(jīng)驗分布函數(shù)法和核估計方法。相對于參數(shù)半?yún)?shù)方法，非參數(shù)方法的優(yōu)點是不需要事先對分布函數(shù)形式做任何的模型設定，避免人為的模型設定風險和參數(shù)估計偏差，能夠給出較為準確的風險估計。而且非參數(shù)核估計方法可以允許金融時間序列數(shù)據(jù)之間相互依賴[10-11]。

因為上述幾方面的優(yōu)點，近年來非參數(shù)核估計方法在VaR和CVaR估計上的應用發(fā)展非常迅速。Gourieroux等[12]首次給出了VaR的核估計量但并沒有研究該估計量的統(tǒng)計性質(zhì)。Chen Songxi和Tang Chengyong[11]在較弱的條件下證明了VaR核估計量的一致性和漸進正態(tài)性，并且他們發(fā)現(xiàn)，與基于經(jīng)驗分布的次序統(tǒng)計量相比，該核估計量具有更小的方差和均方誤差。Scaillet[13]首次給出了期望損失(Expected Shortfall, 縮寫為ES，在分布函數(shù)滿足連續(xù)性條件下，ES與CVaR相同)的兩步核估計公式，并研究了ES的敏感性及其核估計量的大樣本性質(zhì)。Chen Songxi[14]比較了CVaR的非參數(shù)核估計量和基于經(jīng)驗分布的次序統(tǒng)計量之間的差別，得出二者在估計的方差和均方誤差方面并無明顯的差異。國內(nèi)方面，劉靜和楊善朝[7]、趙曉玲等[10]、劉小茂和李楚霖[15]、劉靜等[16]以及劉曉倩和周勇[17]從不同角度研究了ES核估計量的統(tǒng)計性質(zhì)。

雖然金融風險的非參數(shù)核估計方法近年來得到較快發(fā)展，受到越來越多學者的關(guān)注，但學者大多研究VaR和CVaR核估計量的統(tǒng)計性質(zhì)。少有學者結(jié)合投資組合理論來研究VaR和CVaR核估計量的性質(zhì)，而這對于實踐中的風險管理和資產(chǎn)配置至關(guān)重要。為此，本文結(jié)合核估計方法和投資組合理論研究VaR和CVaR的敏感性和凸性。

2 VaR與CVaR的核估計

2.1 非參數(shù)核估計

(1)

(i)0

(ii)g(-z)=g(z);

(2)

(3)

g1(·),h1為變量Y對應的核函數(shù)和窗寬，選取方式同g(·),h。

Y關(guān)于X的條件分布的非參數(shù)核估計為[18]：

(4)

2.2 VaR與CVaR的核估計

設連續(xù)型隨機變量ξ是某資產(chǎn)的隨機收益率，它的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為f(·)和F(·)，假設F(·)是連續(xù)且可導的，記損失概率α下的VaR為v(ξ,α)，則根據(jù)Jorion[1]的定義，VaR的數(shù)學表達式可寫為：

v(ξ,α):=-inf{z:F(z)≥α}?F(-v(ξ,α))=α

(5)

記損失概率α下的CVaR為u(ξ,α)，根據(jù)Rockafellar和Uryasev[5]對CVaR概念的界定，CVaR的數(shù)學表達式可寫為：

(6)

(7)

(8)

(9)

定理1：如果核函數(shù)g(·)滿足(2)式的條件且α∈(0,1)，則方程式(8)有且僅有一個解。

3 VaR與CVaR對頭寸的敏感性

投資組合VaR和CVaR對組合頭寸的敏感性和凸性對于風險管理和組合選擇至關(guān)重要，敏感性是投資組合的風險值對頭寸的敏感程度，度量VaR和CVaR隨頭寸變動的風險，而是否滿足凸性關(guān)系到能否找到全局最小風險的投資組合問題。本節(jié)介紹投資組合VaR和CVaR對頭寸的敏感性及其核估計量，下節(jié)討論投資組合VaR與CVaR的凸性。

3.1 投資組合的VaR與CVaR

假設市場上存在n(n>1)種風險資產(chǎn)，第i種資產(chǎn)的收益率為ξi，則ξ=(ξ1,ξ2,…,ξn)′為n種風險資產(chǎn)收益率的隨機向量。設w=(w1,w2,…,wn)為投資者所持有的投資組合頭寸，則組合的收益率ξw=wξ。記投資組合w在損失概率α下的VaR和CVaR分別為v(w,α)和u(w,α)。則投資組合的VaR數(shù)學表達式為：

v(w,α):=-inf{z:Fξw(z)≥α}?Fξw(-v(w,α))=α

式中，F(xiàn)ξw(·)為ξw的分布函數(shù)，假設其連續(xù)可導。投資組合的CVaR數(shù)學表達式為：

式中，fξw(·)為ξw的密度函數(shù)。

(10)

(11)

其中，hw為窗寬，可采取前面介紹的拇指法則進行選取。

3.2 VaR與CVaR的敏感性

VaR與CVaR的敏感性被定義為投資組合VaR與CVaR對組合頭寸的一階導數(shù)；也有學者稱它們?yōu)檫呺HVaR(Marginal VaR，記為MVaR)和邊際CVaR(Marginal CVaR，記為MCVaR)。用數(shù)學符號可表示為：

Δwv(w,α)=?v(w,α)/?w′；Δwu(w,α)=?u(w,α)/?w′

引理1：投資組合VaR與CVaR對組合頭寸的一階導數(shù)分別為[12-13]：

Δwv(w,α)=-E[ξ|ξw=-v(w,α)]；Δwu(w,α)=E[-ξ|-ξw>v(w,α)]

(12)

由于VaR和CVaR都滿足正奇次性[4-5]，所以對于任意投資組合w，成分VaR之和等于投資組合的VaR；成分CVaR之和等于投資組合的CVaR。即：

wΔwv(w,α)=v(w,α)；wΔwu(w,α)=u(w,α) 由(12)式可知，MVaR的解析式為條件期望的形式，可利用公式(4)得到其核估計式為：

(13)

根據(jù)CVaR與MCVaR的關(guān)系，MCVaR的核估計量可通過(11)式得到[13]：

(14)

4 VaR與CVaR的凸性

在理論上，Artzne等[4]證明VaR不是一致性風險度量，而Rockafellar和Uryasev[5]證明CVaR是一致性風險度量，從而也是凸風險度量。但VaR和CVaR的估計量是否滿足凸性并沒有學者深入討論，為此本節(jié)進一步討論投資組合VaR與CVaR的核估計量對組合頭寸的凸性，即組合的VaR與CVaR的核估計量是否是組合頭寸的凸函數(shù)。通常情況下函數(shù)凸性與函數(shù)的二階導數(shù)矩陣的半正定性是等價的；所以，以下將用投資組合的VaR與CVaR對組合頭寸的二階導數(shù)矩陣的性質(zhì)來討論凸性問題。

引理2：投資組合VaR對組合頭寸的二階導數(shù)矩陣可表示為[12]：

(15)

投資組合CVaR對組合頭寸的二階導數(shù)矩陣為[15]：

(16)

式中p(·)和P(·)分別為-ξw-v(w,α)的密度函數(shù)和分布函數(shù)，V[·]為方差算子。

由公式(1)可得，投資組合w的密度函數(shù)fξw(z)的核估計為：

(17)

又因為V[ξ|ξw=z]=E[ξξ′|ξw=z]-E[ξ|ξw=z]E[ξ′|ξw=z]

上式右邊是條件期望的形式，所以它們的核估計可通過(4)式得到：

(18)

p(·)和P(·)分別為-ξw-v(w,α)的密度函數(shù)和分布函數(shù)，所以根據(jù)公式(1)可得：

(19)

(20)

定理2 投資組合VaR對組合頭寸的二階導數(shù)矩陣的核估計式為：

(21)

投資組合CVaR對組合頭寸的二階導數(shù)矩陣的核估計式為：

(22)

證明：當ξ=(ξ1,ξ2,…,ξn)′服從參數(shù)為μ和Ω的一般n維橢球分布時，根據(jù)Landsman和Valdez[19]的研究，組合收益率ξw的VaR可以表達成：v(w,α)=cα(wΩw′)0.5-wμ,cα>0，簡單推導可得：

(23)

容易證明上式右邊是半正定矩陣。所以多維橢球分布下，v(w,α)是組合頭寸的凸函數(shù)。

(24)

5 實證分析

利用前文的理論分析框架，本節(jié)估計我國外匯市場上單項外匯資產(chǎn)和外匯資產(chǎn)組合的匯率風險，并基于外匯組合VaR和CVaR對組合頭寸的敏感性和凸性，討論如何尋找外匯資產(chǎn)的最小風險組合及其對應的最小風險。我們選取歐元和日元匯率的日對數(shù)收益率，數(shù)據(jù)窗口從2011年1月4日至2013年7月6日，共有755個樣本，數(shù)據(jù)來自CCER經(jīng)濟金融數(shù)據(jù)庫，樣本數(shù)據(jù)的描述性統(tǒng)計如表1：

從歐元和日元匯率的標準差來看，歐元匯率的波動更大、風險更大。歐元匯率的偏度系數(shù)大于零，說明其分布存在“右偏”；日元匯率的偏度系數(shù)小于零，說明其分布存在“左偏”，從而二者分布都不具有對稱性；從偏度系數(shù)大小來看，日元的非對稱性程度更嚴重。歐元和日元匯率的峰度系數(shù)大于3，說明二者的分布比正態(tài)分布陡峭，尾部比正態(tài)分布厚，存在“尖峰厚尾”現(xiàn)象。JB統(tǒng)計量的值拒絕二者服從正態(tài)分布的假設。

把樣本數(shù)據(jù)代入公式(1)，核函數(shù)選擇二階Gauss核，窗寬采用拇指方法選擇，可得到非參數(shù)核估計方法下的樣本分布，把樣本均值和樣本方差代入正態(tài)分布密度函數(shù)公式可得正態(tài)分布設定下的樣本分布。圖1直觀地顯示，基于非參數(shù)核估計方法得到的樣本分布比同均值同方差下的正態(tài)分布更加陡峭，具有更高的峰和更厚的尾。這也說明正態(tài)分布設定會低估尾部風險。

我們把區(qū)間(0, 0.2)進行40等分，α取等分點處的值，把樣本數(shù)據(jù)代入(8)和(9)式，取核函數(shù)為二階Gauss核，窗寬依拇指法則選擇，這樣可以測算不同損失概率下歐元匯率和日元匯率的風險值，結(jié)果見圖2。由圖2可知：(1)隨著損失概率的增加，VaR和CVaR的核估計值在減小；(2)CVaR的核估計值大于VaR的核估計值；這兩點符合理論預期。(3)隨著損失概率的增加，VaR與CVaR減小的速度在下降，即圖2中點所形成的曲線變得更加平緩。另外，圖2中的曲線與指數(shù)函數(shù)圖像十分相似，這促使我們設想利用一個指數(shù)函數(shù)來擬合圖2中的點。利用圖2中的樣本點，對VaR和CVaR核估計值取自然對數(shù)，利用線性回歸得到如下結(jié)果：

表1 歐元和日元匯率日對數(shù)收益率的描述性統(tǒng)計

圖1 歐元和日元匯率日對數(shù)收益率的樣本分布

圖2 歐元和日元匯率的風險測算(核估計方法)

(25)

(26)

(27)

(28)

接下來，考慮歐元和日元外匯資產(chǎn)組合的風險估計，并尋找二者的最小風險組合及其對應的最小風險。假設投資者的財富被標準化為1，只在歐元和日元之間進行投資。將區(qū)間(0,1)分成100等分，把等分點作為歐元頭寸，日元頭寸就等于1減去歐元頭寸，這樣就構(gòu)成了歐元與日元的100個投資組合，取α=5%，利用公式(10)和(13)可以估計每個投資組合的VaR和MVaR，利用公式(11)和(14)可以估計每個投資組合的CVaR和MCVaR，計算結(jié)果見表2。

從表2的結(jié)果來看，隨著歐元頭寸的增加，組合的風險值(VaR或CVaR)先下降后上升，所以存在最小風險組合。若用VaR來度量風險，則歐元和日元的最小風險組合為(0.47, 0.53)；若用CVaR來度量風險，則歐元和日元的最小風險組合為(0.51, 0.49)。在最小VaR組合處，歐元和日元MVaR近似相等，同樣在最小CVaR組合處，歐元和日元的MCVaR近似相等(見圖4)。從圖4中還可以看到，組合VaR (CVaR)對歐元頭寸的導數(shù)隨歐元頭寸的增加而上升，即歐元頭寸越大，組合的風險對其越敏感。相反組合VaR (CVaR)對日元頭寸的導數(shù)隨歐元頭寸的增加而呈下降趨勢。

圖3 VaR (CVaR)核估計值與損失概率關(guān)系擬合

表2 組合的VaR (MVaR)和CVaR (MCVaR)估計結(jié)果(α=5%)

圖4 歐元與日元組合的VaR (CVaR)核估計值圖

圖5 組合VaR (左)與CVaR (右)的凸性

為了檢驗歐元和日元組合的風險是否具有凸性，即組合的VaR和CVaR是否是組合頭寸的凸函數(shù)，我們把區(qū)間(-1, 1)進行40等分，把等分點作為歐元頭寸和日元頭寸的取值，這樣就構(gòu)成了1600個組合，利用公式(10)和(11)，可以估計每個組合處的VaR和CVaR，限于篇幅計算結(jié)果不再列出，僅把結(jié)果繪成圖5，從圖形上來看，歐元和日元組合的VaR和CVaR是組合頭寸的凸函數(shù)，這一性質(zhì)就意味著我們可以在凸可行集約束下找到全局最小風險組合及其對應的最小風險，這為進一步的風險優(yōu)化和組合選擇問題提供了方便。

6 結(jié)語

本文給出VaR與CVaR的核估計量，討論了投資組合VaR與CVaR對組合頭寸的敏感性和凸性，并利用核估計方法對投資組合VaR與CVaR一階導數(shù)向量和二階導數(shù)矩陣進行估計。中國外匯市場數(shù)據(jù)的實證結(jié)果顯示：核估計方法能夠抓住我國外匯市場匯率波動存在的“尖峰厚尾”、“左偏”等特征，并能得出外匯組合的敏感性和凸性特征。本文的研究對于風險管理和投資組合選擇具有重要意義，下步研究可把本文得到的組合VaR與CVaR的核估計量、一階導數(shù)向量和二階導數(shù)矩陣的核估計量嵌入風險最小化模型和均值-風險優(yōu)化模型，實現(xiàn)風險估計與風險管理、組合選擇問題同步進行。避免事前的分布假設，減小或消除模型設定風險。

參考文獻：

[1] Jorion P.Value at Risk[M].2nd New York:McGraw-Hill, 2001.

[2] 姚京,袁子甲,李仲飛.基于相對 VaR 的資產(chǎn)配置和資本資產(chǎn)定價模型[J].數(shù)量經(jīng)濟技術(shù)經(jīng)濟研究, 2005, 12:133-142.

[3] Artzner P, Delbaen F, Eber J M, et al.Thinking coherently[J].Risk, 1997, 10: 68-71.

[4] Artzner P, Delbaen F, Eber J M, et al.Coherent measures of risk[J].Mathematical Finance, 1999, 9(3):203-228.

[5] Rockafellar R T, Uryasev S.Optimization of conditional value-at-risk[J].The Journal of Risk, 2000, 2(3):21-41.

[6] Rockafellar R T, Uryasev S.Conditional value-at-risk for general loss distributions[J].Journal of Banking and Finance, 2002, 26(7): 1443-1471.

[7] 劉靜,楊善朝.風險度量ES的非參數(shù)估計[J].工程數(shù)學學報,2009,26(4):577-585.

[8] 劉俊山.基于風險測度理論的VaR與CVaR的比較研究[J].數(shù)量經(jīng)濟技術(shù)經(jīng)濟研究, 2007,3:125-133.

[9] Engle R F, Manganelli S.CAViaR: Conditional autoregressive value at risk by regression quantiles[J].Journal of Business & Economics Statistics, 2004,(22): 367-381.

[10] 趙曉玲,陳雪蓉,周勇.金融風暴中基于非參估計VaR和ES方法的風險度量[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理, 2012,31(3):381-383.

[11] Chen Songxi, Tang Chengyong.Nonparametric inference of value-at risk for dependent financial returns[J].Journal of Financial Econometrics, 2005, 3(2):227-255.

[12] Gourieroux C, Laurent J P, Scaillet O.Sensitivity analysis of values at risk[J].Journal of Empirical Finance, 2000,7(3):225-245.

[13] Scaillet O.Nonparametric estimation and sensitivity analysis of expected shortfall[J].Mathematical Finance, 2004, 14(1):115-129.

[14] Chen Songxi.Nonparametric estimation of expected shortfall[J].Journal of Financial Econometrics, 2008, 6(1):87-107.

[15] 劉小茂, 李楚霖.資產(chǎn)組合的CVaR風險的敏感度分析 [J].數(shù)學物理學報, 2004, 24A(4): 442-448.

[16] 劉靜,楊善朝,姚永源.α-混合序列下期望損失ES的兩步核估計[J].應用概率統(tǒng)計,2010,26(5):485-500.

[17] 劉曉倩,周勇.金融風險管理中ES度量的非參數(shù)方法的比較及其應用[J].系統(tǒng)工程理論與實踐, 2011,31(4):631-642.

[18] Li Qi, Racine J S.Nonparametric Econometrics: Theory and Practice[M].New Jersy:Princeton University Press, 2007.

[19] Landsman Z M, Valdez E A.Tail conditional expectations for elliptical distributions[J].North American Actuarial Journal, 2003, 7(4): 55-71.