(南京工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院,江蘇 南京 211816)

0 引言

在化工過(guò)程和很多其他工業(yè)應(yīng)用領(lǐng)域中，由于大多數(shù)系統(tǒng)存在機(jī)理復(fù)雜、高度非線(xiàn)性、強(qiáng)耦合、大時(shí)滯等特點(diǎn)，采用單一的軟測(cè)量模型無(wú)法全面地描述復(fù)雜系統(tǒng)的全局特性，并且存在回歸精度低和泛化能力差等問(wèn)題。

為了解決上述問(wèn)題，一種能夠提高系統(tǒng)模型精度和泛化能力的多模型軟測(cè)量建模方法應(yīng)運(yùn)而生[1-3]。仲蔚等[4]提出模糊C均值聚類(lèi)和徑向基核函數(shù)(radial basis function,RBF)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的策略來(lái)進(jìn)行多模型建?！，F(xiàn)場(chǎng)應(yīng)用表明,該方法易于實(shí)現(xiàn)且具有更好的泛化結(jié)果和預(yù)報(bào)精度。周立芳等[5]提出基于K均值聚類(lèi)算法的多模型預(yù)測(cè)控制，試驗(yàn)證明了多模型建模的模型精度和泛化特性。然而，傳統(tǒng)的聚類(lèi)算法如K均值算法、模糊C均值算法等都是建立在凸球形的樣本空間上，當(dāng)樣本空間不為凸球形時(shí)，算法將會(huì)陷入局部最優(yōu)。

針對(duì)傳統(tǒng)聚類(lèi)方法存在的問(wèn)題，本文提出一種基于改進(jìn)譜聚類(lèi)的多模型建模算法。該算法具有識(shí)別非凸分布聚類(lèi)的能力，不會(huì)陷入局部最優(yōu)解，且能避免數(shù)據(jù)的維數(shù)過(guò)高所造成的奇異性問(wèn)題，以便得到更加精確的聚類(lèi)結(jié)果，提高模型精度。樣本聚類(lèi)后，采用最小二乘支持向量機(jī)(least square-support vector machine,LS-SVM)建立各子類(lèi)模型，并采用粒子群(particle swarm optimization,PSO)算法對(duì)多模型權(quán)值進(jìn)行尋優(yōu)，系統(tǒng)軟測(cè)量模型輸出可視作各子模型的加權(quán)組合。本文所研究方法在丙烯精餾塔塔頂丙烯含量軟測(cè)量中進(jìn)行了應(yīng)用研究，結(jié)果表明，該方法具有較高的精度和良好的泛化性能。

1 譜聚類(lèi)算法

1.1 標(biāo)準(zhǔn)譜聚類(lèi)算法

譜聚類(lèi)是建立在圖論中譜圖理論的基礎(chǔ)上[6]，將聚類(lèi)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)無(wú)向圖的最優(yōu)劃分問(wèn)題的過(guò)程，其本質(zhì)是通過(guò)Laplacian Eigenmap實(shí)現(xiàn)降維的過(guò)程。譜聚類(lèi)的思想來(lái)源于譜圖劃分理論，將每個(gè)樣本數(shù)據(jù)看作圖中的頂點(diǎn)V，根據(jù)樣本間的相似度將相應(yīng)頂點(diǎn)之間的連接邊E賦權(quán)重W，從而得到基于樣本相似度的無(wú)向加權(quán)圖G=(V,E,W)。此時(shí)，可以將聚類(lèi)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在圖G上的圖劃分問(wèn)題。根據(jù)圖論的劃分理論來(lái)看，譜聚類(lèi)的本質(zhì)就是使得劃分后的子圖之間相似度最小[7]，子圖內(nèi)部相似度最大。

根據(jù)準(zhǔn)則函數(shù)和譜映射方法的不同，譜聚類(lèi)算法有多種實(shí)現(xiàn)方法。實(shí)現(xiàn)過(guò)程一般分為三步：①定義數(shù)據(jù)樣本點(diǎn)之間的相似性度量，建立數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的相似矩陣；②通過(guò)計(jì)算相似矩陣的前k個(gè)特征值與特征向量，構(gòu)建新的數(shù)據(jù)特征空間；③采用K均值或者其他傳統(tǒng)聚類(lèi)算法對(duì)特征空間中的特征向量進(jìn)行聚類(lèi)。

雖然K均值算法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，可以重復(fù)運(yùn)行而不受初始化的影響，但是K均值算法也有一些致命的缺點(diǎn)，如不能處理非球型簇以及不同尺寸和不同密度的簇，對(duì)于含有離群點(diǎn)的聚類(lèi)也不太適應(yīng)。同時(shí)，K均值算法是一種貪心算法，經(jīng)常會(huì)陷入局部最優(yōu)解。然而，譜聚類(lèi)算法只需要數(shù)據(jù)之間的相似度矩陣，不必像K均值算法那樣要求數(shù)據(jù)必須是N維歐氏空間向量。因此，本文采用改進(jìn)譜聚類(lèi)算法來(lái)克服K均值算法的缺點(diǎn)，從而得到準(zhǔn)確的聚類(lèi)結(jié)果，提高模型精度。

1.2 改進(jìn)的譜聚類(lèi)算法

在譜聚類(lèi)算法中，特征值和特征值向量的選擇對(duì)聚類(lèi)結(jié)果影響很大，而特征值和特征向量的選擇以聚類(lèi)分組數(shù)為依據(jù)[8]。因此，本文采用基于特征差值與正交特征向量的改進(jìn)譜聚類(lèi)算法，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)譜聚類(lèi)算法進(jìn)行改進(jìn)，實(shí)現(xiàn)聚類(lèi)數(shù)目的自動(dòng)確定。譜聚類(lèi)算法的基本思想是：先利用樣本數(shù)據(jù)構(gòu)建相似矩陣，然后對(duì)由相似矩陣生成的規(guī)范化相似矩陣進(jìn)行譜分解，從而得到相應(yīng)的特征值和特征向量；隨后對(duì)特征值按降序排列，并用本征間隙來(lái)表述相鄰特征值之間的差，通過(guò)第一個(gè)極大本征間隙出現(xiàn)的位置來(lái)自動(dòng)確定類(lèi)個(gè)數(shù)；最后結(jié)合獲得的類(lèi)個(gè)數(shù)和特征向量之間的夾角實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)分類(lèi)。本文選擇規(guī)范割集劃分準(zhǔn)則來(lái)實(shí)現(xiàn)譜聚類(lèi)算法。

設(shè)輸入數(shù)據(jù)集為S={S1,S2,…,Sn}，且S為Rn空間中待聚類(lèi)的數(shù)據(jù)集；輸出為聚類(lèi)分組數(shù)k和聚類(lèi)結(jié)果。聚類(lèi)算法具體步驟如下。

① 構(gòu)造數(shù)據(jù)集的親和(相似)矩陣Wij，Wij=exp(-‖Si-Sj‖2/2δ2)，i≠j，且Wii=0，其中δ為閾值參數(shù)。

② 構(gòu)造拉普拉斯矩陣L=D-1/2AD1/2，D為對(duì)角矩陣，其對(duì)角元素為Dii=∑Wik。

③ 求解拉普拉斯矩陣L的特征值(λ1,λ2,…,λn)及其對(duì)應(yīng)的特征向量(η1,η2,…,ηn)。

④ 計(jì)算特征值差值g1,g2,…,gn-1，其中g(shù)i=λi-λi+1。

⑥ 構(gòu)造矩陣X=[x1,x2,…,xk]，其中x1,x2,…,xk為拉普拉斯矩陣L的前k個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。

⑦ 對(duì)矩陣X中的每一行進(jìn)行單位化處理，得到矩陣Y。

⑧ 將Y中的每一行看作Rk空間中的一個(gè)點(diǎn)，并對(duì)其使用K均值算法，得到k類(lèi)樣本子集，如果矩陣Y中第i行屬于第j類(lèi)，則Xi也屬于第j類(lèi)。

根據(jù)矩陣的攝動(dòng)理論，當(dāng)?shù)趉和(k+1)個(gè)特征值之間的差值越大時(shí)，所選的k個(gè)特征向量構(gòu)成的子空間就越穩(wěn)定。此時(shí)，以矩陣Y中的每一行作為k維空間中的一個(gè)點(diǎn)，形成k個(gè)聚類(lèi)。它們將彼此正交地分布于k維空間中的單位球上，且在單位球上形成的這k個(gè)聚類(lèi)對(duì)應(yīng)著原來(lái)空間中所有點(diǎn)形成的k個(gè)聚類(lèi)。由此根據(jù)拉普拉斯矩陣的特征值之間的差值來(lái)確定類(lèi)個(gè)數(shù)，其中差值取[0.06,0.1]。

與標(biāo)準(zhǔn)譜聚類(lèi)算法相比，改進(jìn)后的譜聚類(lèi)算法可以自動(dòng)確定聚類(lèi)個(gè)數(shù)[9]，對(duì)樣本數(shù)據(jù)建立規(guī)范化相似矩陣并進(jìn)行譜分解;利用本征間隙自動(dòng)確定樣本數(shù)據(jù)的類(lèi)個(gè)數(shù)；根據(jù)確定的類(lèi)個(gè)數(shù)和譜分解后的特征向量間的夾角，實(shí)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)的分類(lèi)。

2 基于LS-SVM的子模型建模

支持向量機(jī)是一種小樣本學(xué)習(xí)理論，它的基本思想是采用結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則構(gòu)造最優(yōu)決策函數(shù)[10]，解決樣本空間中高度非線(xiàn)性回歸問(wèn)題。最小二乘支持向量機(jī)(LS-SVM)是一種改進(jìn)的支持向量機(jī)，它將求解二次規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解線(xiàn)性方程組[11]，解決了一般標(biāo)準(zhǔn)支持向量機(jī)求解凸二次規(guī)劃問(wèn)題所帶來(lái)的復(fù)雜度的問(wèn)題，提高了學(xué)習(xí)速度。LS-SVM算法的優(yōu)化問(wèn)題描述如下。

(1)

式中：φ(xi)為核空間映射函數(shù)；ω為權(quán)矢量；ei為誤差變量；b為偏差量；γ為正則化參數(shù)。

為了求解上述優(yōu)化問(wèn)題，需要把有約束優(yōu)化問(wèn)題變?yōu)闊o(wú)約束優(yōu)化[14]。為此建立相應(yīng)的Lagrange函數(shù)：

(2)

根據(jù)KKT(Karush-Kuhn-Tucher)最優(yōu)條件，得到如下線(xiàn)性方程組：

(3)

式中：y=y(y1,y2,…,yl)；e=[1,1,…,1]T；α=(α1,α2,…,αl)T為拉格朗日乘子；Ωij=φT(xi)φ(xj)=K(xi,xj)為核函數(shù)(核函數(shù)采用徑向基核函數(shù))。

因此，LS-SVM算法的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解線(xiàn)性方程組(3)，最終可得到LS-SVM的模型表達(dá)式為：

(4)

3 軟測(cè)量多模型建模

本文軟測(cè)量多模型建立步驟如下。首先，采用改進(jìn)譜聚類(lèi)算法對(duì)訓(xùn)練樣本集X1聚類(lèi)，得到n個(gè)類(lèi)別，對(duì)各類(lèi)建立LS-SVM子模型；然后，根據(jù)歐氏距離將測(cè)試樣本集X2中的測(cè)試樣本點(diǎn)劃分到相應(yīng)的子模型中，得到相應(yīng)的子模型輸出yi(i=1,…,n)；最后，將各子模型按照“加權(quán)方式”進(jìn)行組合，得到系統(tǒng)模型輸出Y，完成多模型的建立?；诟倪M(jìn)譜聚類(lèi)算法的軟測(cè)量多模型結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 多模型軟測(cè)量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

在辨識(shí)出系統(tǒng)各個(gè)子模型的基礎(chǔ)上，按照“加權(quán)方式”進(jìn)行組合，得到系統(tǒng)的軟測(cè)量模型輸出。描述如下：

(5)

粒子群算法是一種適應(yīng)性較強(qiáng)的全局優(yōu)化算法，能夠快速找到合適的權(quán)向量[12]。本文采用粒子群算法對(duì)多模型權(quán)值進(jìn)行尋優(yōu)，算法步驟如下。

① 初始化粒子種群及參數(shù)，設(shè)定多模型中加權(quán)系數(shù)個(gè)數(shù)n、粒子數(shù)目c；對(duì)于第i個(gè)粒子，將每個(gè)加權(quán)系數(shù)作為粒子i的位置編碼；計(jì)算各粒子的適應(yīng)度，設(shè)置粒子i的初始速度為0。反復(fù)進(jìn)行，生成m個(gè)粒子。

② 由初始化粒子群得到粒子的個(gè)體最優(yōu)位置Pid(i)和全局最優(yōu)位置Pgd。

③ 更新初始化粒子的速度和位置，慣性因子ξ按式(6)計(jì)算：

(6)

式中：D為當(dāng)前迭代次數(shù)；Dmax為最大迭代次數(shù)；ξmax=1，ξmin=0。

④ 對(duì)于每一個(gè)粒子i，比較它們的適應(yīng)度函數(shù)和經(jīng)歷過(guò)的最好位置的適應(yīng)度值Pid(i),若更好，則更新Pid(i)。

⑤ 對(duì)于每個(gè)粒子i，比較它們的適應(yīng)度值和群體所經(jīng)歷的最好位置Pgd的適應(yīng)度值,若更好，則更新Pgd。

⑥ 檢查終止條件(是否到達(dá)設(shè)定迭代次數(shù))。若條件滿(mǎn)足，迭代終止，輸出全局最優(yōu)加權(quán)解，否則返回步驟③。

4 仿真實(shí)例

丙烯是重要的石油化工基礎(chǔ)原料，用于生產(chǎn)聚丙烯、苯酚、丙酮等。丙烯精餾塔中丙烯濃度是重要的質(zhì)量指標(biāo)，人工采樣離線(xiàn)分析的方法存在長(zhǎng)時(shí)間滯后問(wèn)題，不利于生產(chǎn)過(guò)程的在線(xiàn)檢測(cè)與控制。因此，本文將基于改進(jìn)譜聚類(lèi)的多模型軟測(cè)量建模方法應(yīng)用于丙烯生產(chǎn)過(guò)程中質(zhì)量指標(biāo)的預(yù)測(cè)。

根據(jù)丙烯生產(chǎn)工藝，選擇塔頂溫度、進(jìn)料量溫度、回流溫度、進(jìn)料壓力、塔釜壓力、回流量、塔釜液位以及回流罐液位作為輸入變量，丙烯含量作為輸出變量。將現(xiàn)場(chǎng)采集的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行異常樣本數(shù)據(jù)的剔除，對(duì)輸入變量的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，得到150組樣本數(shù)據(jù)，其中100組用于訓(xùn)練模型，50組作為測(cè)試。采用改進(jìn)譜聚類(lèi)算法進(jìn)行聚類(lèi)的步驟如下。

首先，用改進(jìn)譜聚類(lèi)算法對(duì)訓(xùn)練樣本聚類(lèi)，樣本數(shù)據(jù)被自動(dòng)聚為3類(lèi)，分別建立子模型；然后根據(jù)歐氏距離將測(cè)試樣本歸類(lèi)，用相應(yīng)的子模型預(yù)測(cè)輸出；最后，根據(jù)粒子群算法求解多模型權(quán)值，將建立的子模型按照“加權(quán)方式”組合，得到丙烯質(zhì)量指標(biāo)的軟測(cè)量模型。

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，分別采用基于K均值-LS-SVM多模型建模(分類(lèi)參數(shù)取為2)和基于LS-SVM單模型建模，然后與本文方法進(jìn)行比較。同時(shí)，采用均方根誤差(root-mean-square error,RMSE)和最大絕對(duì)誤差(maximum absolute error,MAXE)來(lái)評(píng)價(jià)模型預(yù)測(cè)性能。

(7)

(8)

式中：f(xi)和y(xi)分別為模型的輸出值和真實(shí)值；n為樣本個(gè)數(shù)。

根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，3種方法的模型測(cè)試誤差比較結(jié)果如表1所示。

表1 模型預(yù)測(cè)誤差

精餾塔塔頂丙烯質(zhì)量指標(biāo)的3種方法模型預(yù)測(cè)結(jié)果如圖2～圖4所示。

圖2 單一LS-SVM模型預(yù)測(cè)

圖3 K均值LS-SVM多模型預(yù)測(cè)

圖4 改進(jìn)譜聚類(lèi)LS-SVM多模型預(yù)測(cè)

由表1可以看出，采用本文提出的方法得到的模型均方根誤差(RMSE)和最大絕大值誤差(MAXE)均體現(xiàn)了該方法的優(yōu)勢(shì)。

比較圖2、圖3和圖4的預(yù)測(cè)結(jié)果可知，本文方法建立的模型較其他建模方法具有更好的跟蹤效果，說(shuō)明了本文方法的有效性。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出的基于SC-LS-SVM多模型建模方法，通過(guò)改進(jìn)譜聚類(lèi)算法對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類(lèi)，對(duì)各子類(lèi)樣本建立LS-SVM子模型，采用粒子群算法對(duì)多模型權(quán)值進(jìn)行尋優(yōu)，并將子模型按照“加權(quán)方式”進(jìn)行組合，得到系統(tǒng)軟測(cè)量模型。將該方法應(yīng)用于丙烯精餾塔塔頂丙烯含量的軟測(cè)量建模中，通過(guò)仿真試驗(yàn)對(duì)比，本文方法可以較好地跟蹤丙烯質(zhì)量指標(biāo)的變化，具有更好的模型預(yù)測(cè)精度。

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