(山東煙臺(tái)海軍航空工程學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264001)

0 引言

某型艦空導(dǎo)彈武器為引進(jìn)裝備，自引進(jìn)以來(lái)都是根據(jù)生產(chǎn)方提供的標(biāo)校周期(也稱校準(zhǔn)間隔或校準(zhǔn)周期)進(jìn)行標(biāo)校。但由于工作環(huán)境不同和服役年限的增加，武器的標(biāo)校周期是否符合實(shí)際情況需要進(jìn)行驗(yàn)證。目前，關(guān)于標(biāo)校周期的研究多集中于測(cè)量系統(tǒng)。校準(zhǔn)周期的確定方法一般分為兩類：一類是根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行制定或優(yōu)化，這需要大量的歷史數(shù)據(jù)做支持，如文獻(xiàn)[1]和[2]。另一類是利用灰色預(yù)測(cè)方法，對(duì)于具有小樣本性質(zhì)的校準(zhǔn)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，如文獻(xiàn)[3]～[6]。統(tǒng)計(jì)模型的方法對(duì)于引進(jìn)武器來(lái)說(shuō)，沒(méi)有足夠的數(shù)據(jù)支撐；灰色預(yù)測(cè)模型針對(duì)單調(diào)的序列具有較好的效果，但是對(duì)于具有復(fù)雜變化規(guī)律的武器系統(tǒng)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)效果較差。本文通過(guò)歷史校準(zhǔn)數(shù)據(jù)對(duì)武器系統(tǒng)的標(biāo)校周期進(jìn)行優(yōu)化，分析了歷史校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的特征，并對(duì)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了數(shù)學(xué)描述和預(yù)測(cè)。

1 標(biāo)校的數(shù)據(jù)模型

1.1 標(biāo)校原理

標(biāo)校的主要目的是對(duì)武器的系統(tǒng)誤差進(jìn)行測(cè)量、評(píng)估，確定系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)并采用相應(yīng)的誤差補(bǔ)償方案對(duì)系統(tǒng)誤差進(jìn)行消除。標(biāo)校的基本方法是采用被校準(zhǔn)設(shè)備和高精度的設(shè)備同時(shí)測(cè)量同一目標(biāo)，當(dāng)高精度設(shè)備的精度是被校準(zhǔn)設(shè)備的3倍以上時(shí)，可以以高精度設(shè)備的測(cè)量結(jié)果作為真值，進(jìn)行誤差的分析。標(biāo)校數(shù)據(jù)包括真值和觀測(cè)值，真值與觀測(cè)值的差yi為校準(zhǔn)數(shù)據(jù)，yi含有系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差，其數(shù)學(xué)模型如下：

yi=sri+rri

(1)

式中：yi為總誤差；sri為系統(tǒng)誤差；rri為隨機(jī)誤差。系統(tǒng)誤差反映了儀器設(shè)備隨自身慣性、使用時(shí)間、環(huán)境等因素影響引起的長(zhǎng)期確定性變化趨勢(shì)，隨機(jī)誤差則表明了測(cè)量系統(tǒng)的隨機(jī)波動(dòng)情況。

1.2 數(shù)據(jù)特點(diǎn)及建模思想

由式(1)可知，校準(zhǔn)數(shù)據(jù)由趨勢(shì)項(xiàng)和隨機(jī)波動(dòng)兩部分組成。某武器系統(tǒng)的引進(jìn)時(shí)間較短且數(shù)量較少，測(cè)量設(shè)備的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，使得誤差特性復(fù)雜，因此校準(zhǔn)數(shù)據(jù)具有小樣本、非線性的特點(diǎn)。校準(zhǔn)周期確定的難點(diǎn)是如何根據(jù)歷史的小樣本數(shù)據(jù)建立合適的預(yù)測(cè)模型，來(lái)預(yù)測(cè)下幾個(gè)校準(zhǔn)時(shí)刻的誤差，從而優(yōu)化校準(zhǔn)周期，使武器系統(tǒng)的測(cè)量設(shè)備發(fā)揮其最優(yōu)性能。如果預(yù)測(cè)得到的校準(zhǔn)參數(shù)在規(guī)定的精度要求之內(nèi), 表明武器系統(tǒng)的這項(xiàng)參數(shù)狀態(tài)良好,可以適當(dāng)延長(zhǎng)標(biāo)校周期；否則，認(rèn)為武器系統(tǒng)在標(biāo)校周期內(nèi)的誤差可能超出正常范圍，應(yīng)適當(dāng)縮短標(biāo)校周期。為了保證預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的可靠性，一般僅預(yù)測(cè)現(xiàn)有時(shí)刻以后的1～2個(gè)參數(shù)。針對(duì)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，本文提出基于EMD-SVM-GM的組合預(yù)測(cè)方法，從而發(fā)揮各自預(yù)測(cè)方法的優(yōu)勢(shì)，使預(yù)測(cè)結(jié)果更加準(zhǔn)確，為標(biāo)校周期的優(yōu)化提供較好的理論支撐。

2 EMD-SVM-GM模型

2.1 組合預(yù)測(cè)模型

根據(jù)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)特點(diǎn)，趨勢(shì)項(xiàng)一般為單調(diào)或周期函數(shù)，而隨機(jī)波動(dòng)項(xiàng)符合統(tǒng)計(jì)特性，但是樣本數(shù)量較少，無(wú)法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)估計(jì)。如果直接對(duì)誤差進(jìn)行建模并估計(jì)，可能因?yàn)樾颖竞头蔷€性等特性，使得預(yù)測(cè)的誤差偏離正常值，所以本文嘗試首先將非線性數(shù)據(jù)用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(empirical mode decomposition,EMD)方法進(jìn)行處理，然后再進(jìn)行預(yù)測(cè)。EMD方法是一種新的非線性數(shù)據(jù)處理方法，它可以將非線性非平穩(wěn)序列分解為一系列固有模態(tài)函數(shù)(intrinsic mode function, IMF)分量和殘余分量。IMF分量可以認(rèn)為是隨機(jī)波動(dòng)項(xiàng)，選用針對(duì)小樣本估計(jì)的最佳理論——支持向量機(jī)(support vector machine,SVM)方法對(duì)其處理；分離所得的殘余量往往符合單調(diào)特性，適合用單調(diào)序列的預(yù)測(cè)方法，本文選用GM(1，1)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。組合預(yù)測(cè)的模型如圖1所示。

圖1 組合預(yù)測(cè)模型圖

假設(shè)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)為m個(gè)，組成的時(shí)間序列為x={x1,x2,…，xm}，其經(jīng)過(guò)EMD分解得相應(yīng)分量。對(duì)每個(gè)IMF分量進(jìn)行SVM預(yù)測(cè)，為每個(gè)IMF分量建立SVM模型并進(jìn)行一步預(yù)測(cè)，對(duì)于每個(gè)imfi預(yù)測(cè)的隨機(jī)成分為SVM_prei；對(duì)于rn采用GM(1，1)模型進(jìn)行處理，得到預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)為GM_p。綜合兩種預(yù)測(cè)結(jié)果，得到一步預(yù)測(cè)結(jié)果為：

(2)

式中：n為IMF分量個(gè)數(shù)；m為校準(zhǔn)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。

為比較模型的預(yù)測(cè)能力，采用均方差(mean square error,MSE)進(jìn)行評(píng)價(jià)，其表達(dá)式如下：

(3)

2.2 EMD方法

1998年，美國(guó)宇航局的N.E.Huang等在瞬時(shí)頻率概念的基礎(chǔ)上提出了一種新的信號(hào)處理方法——基于EMD的時(shí)頻分析方法。它可以處理非線性和非平穩(wěn)信號(hào)，在分解時(shí)基函數(shù)不確定，只依賴于數(shù)據(jù)本身，具有良好的自適應(yīng)特點(diǎn)。EMD方法將數(shù)據(jù)看作是由一個(gè)或多個(gè)固有模態(tài)函數(shù)組成。由于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法的這些優(yōu)點(diǎn)，使得它在生物、海洋、地球科學(xué)、天文學(xué)和工程技術(shù)等領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用。校準(zhǔn)數(shù)據(jù)往往具有非線性的特點(diǎn)，EMD為處理這些復(fù)雜多變的數(shù)據(jù)提供了一種新的方法。

經(jīng)過(guò)EMD方法分解得到的IMF具有如下特性。

① 在整個(gè)信號(hào)上，極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)和過(guò)零點(diǎn)數(shù)目相等或最多相差一個(gè)；

② 局部均值為零，即由局部極大值構(gòu)成的上包絡(luò)線和由局部極小值構(gòu)成的下包絡(luò)線的平均值為零。

針對(duì)EMD方法的分解步驟，可參閱文獻(xiàn)[7]，在此不予贅述。本文采用法國(guó)學(xué)者Riling的分解準(zhǔn)則[8]。原數(shù)據(jù)x(t)經(jīng)過(guò)EMD方法分解得到：

(4)

式中：imfi為分解得到的IMF分量；rn為殘余分量。

2.3 支持向量機(jī)理論

2.3.1 最小二乘支持向量機(jī)回歸原理

SVM是一種建立在統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論和VC(Vapnik Chervonenkis)維理論基礎(chǔ)上，運(yùn)用結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則的機(jī)器學(xué)習(xí)方法[9]。針對(duì)小樣本情況，它有效地克服了局部極小點(diǎn)、維數(shù)災(zāi)難以及過(guò)擬合等傳統(tǒng)算法所不可避免的問(wèn)題。最小二乘支持向量機(jī)(least square support vector machine,LSSVM)將SVM的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求線性方程組的問(wèn)題，具有比標(biāo)準(zhǔn)SVM更快的訓(xùn)練速度。

設(shè)樣本的訓(xùn)練集為{(xi,yi)|i=1,...,l}，其中xi∈Rn為輸入向量(n為空間維數(shù))，yi∈R為輸出，利用非線性映射φ(·)將輸入向量從原空間映射到高維特征空間，在高維特征空間中構(gòu)造最優(yōu)線性回歸函數(shù)：

f(x)=wTφ(x)+b

(5)

最小二乘支持向量機(jī)回歸算法就是求解如下優(yōu)化問(wèn)題：

(6)

式中：ei為回歸函數(shù)值與實(shí)際值的誤差；γ為常數(shù)。

引入拉格朗日函數(shù)，將上述約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，在對(duì)偶空間可以得到下式：

(7)

式中：αi∈R為拉格朗日乘子。

根據(jù)最優(yōu)化理論中的KKT(Karush-Kuhn-Tucker)條件，可得如下等式約束：

(8)

對(duì)式(8)消去w和ei，得到如下線性方程組：

(9)

式中：E=[1,…,1]T；α=[α1,…,αl]；y=[y1,…,yl]T；I為l×l階單位陣；Ω為l×l階矩陣，且Ωij=φ(xi)Tφ(xj)。

根據(jù)Mercer條件，定義如下核函數(shù)：

K(xi,xj)=φT(xi)φ(xj)

(10)

則式(9)變?yōu)?

設(shè)Q=Ω+γ-1I，由于Q是一個(gè)對(duì)稱半正定矩陣，Q-1存在，應(yīng)用最小二乘法求解上式，可得如下解：

(11)

α=Q-1(y-bE)

(12)

則最小二乘支持向量機(jī)回歸函數(shù)可表示為：

(13)

2.3.2 預(yù)測(cè)原理

對(duì)前n個(gè)訓(xùn)練樣本進(jìn)行相空間重構(gòu)，確定輸入輸出樣本對(duì)和嵌入維數(shù)m，建立自相關(guān)輸入xn={xn-m,xn-m+1,…,xn-1}與輸出yn={xn}之間的映射關(guān)系，即f:Rm→R，得到的學(xué)習(xí)樣本如下：

對(duì)支持向量機(jī)進(jìn)行訓(xùn)練，得到最小二乘支持向量機(jī)回歸函數(shù)：

(14)

由于xn-m+1=[xn-m+1,…,xn],因此可以得到一步預(yù)測(cè)模型為：

(15)

(16)

2.4 灰色預(yù)測(cè)模型GM(1，1)

單變量一階線性灰色模型GM (1, 1) 在實(shí)際中是應(yīng)用最多的模型[3]。假設(shè)原始數(shù)列為x(0)=[x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)]，x(0)的1次累加(1-AGO)序列為：x(1)=[x(1)(1),x(1)(2),…，x(1)(n)]，其中：

(17)

x(1)的緊鄰均值生成序列為z(1)=[z(1)(1),z(1)(2),…,z(1)(n)]，其中：

(18)

(19)

模型GM(1，1)的預(yù)測(cè)序列為：

(20)

原序列的預(yù)測(cè)值為：

(21)

3 實(shí)例驗(yàn)證

3.1 測(cè)量?jī)x器標(biāo)校周期優(yōu)化

當(dāng)標(biāo)稱值為10 V 時(shí)，要求實(shí)際測(cè)量不確定度小于0.01%，校準(zhǔn)數(shù)據(jù)如表1 所示。

表1 校準(zhǔn)數(shù)據(jù)

仿真取前10個(gè)數(shù)據(jù)用于模型的建模，后兩個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，各個(gè)方法的均方差如表2所示，其預(yù)測(cè)的圖形如圖2所示。

表2 預(yù)測(cè)均方差

圖2 各種預(yù)測(cè)方法比較圖

3.2 某武器系統(tǒng)標(biāo)校周期優(yōu)化

某武器系統(tǒng)由于引進(jìn)的時(shí)間較短，所采集的校準(zhǔn)數(shù)據(jù)較少。根據(jù)標(biāo)校規(guī)程，每三個(gè)月對(duì)其測(cè)量設(shè)備的距離參數(shù)進(jìn)行一次靜態(tài)標(biāo)校，其測(cè)量目標(biāo)的最大允許誤差為6 m，得到符合要求的歷史校準(zhǔn)數(shù)據(jù)。對(duì)這些數(shù)據(jù)采用本文方法進(jìn)行建模和預(yù)測(cè)。經(jīng)過(guò)處理，建模的誤差為0.038 74，建模精度較高；其一步預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù)為5.485 m，在最大誤差范圍內(nèi)，不需要縮短標(biāo)校周期。但是，校準(zhǔn)誤差呈增大的趨勢(shì)，因此在以后標(biāo)校過(guò)程中要密切關(guān)注誤差的變化情況。

4 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)武器系統(tǒng)進(jìn)行標(biāo)校是武器在使用過(guò)程中的重要環(huán)節(jié)，由于武器使用的狀況和環(huán)境不同，標(biāo)校周期的確定是應(yīng)該引起重視的重要問(wèn)題。校準(zhǔn)數(shù)據(jù)序列可以用一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型描述，建立歷史校準(zhǔn)數(shù)據(jù)序列仿真模型，預(yù)測(cè)武器系統(tǒng)的性能變化趨勢(shì)，從而確定下次標(biāo)校時(shí)間。本文將EMD、SVM和GM方法恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用于標(biāo)校數(shù)據(jù)的處理中，發(fā)揮了各種方法的優(yōu)勢(shì)，從而取得了較好的預(yù)測(cè)效果，保證了輔助決策的質(zhì)量，有助于部隊(duì)保障能力的提升。

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