高航

摘 要：直覺主義邏輯作為一個(gè)哲學(xué)邏輯分支在19世紀(jì)80年代產(chǎn)生。直覺主義邏輯基于數(shù)學(xué)中的直覺主義思想，主張存在即被構(gòu)造，數(shù)學(xué)是邏輯學(xué)的基礎(chǔ)。直覺主義邏輯拒斥排中律和雙重否定原則，認(rèn)為邏輯主義和形式主義都是錯(cuò)誤的。在此，通過對(duì)直覺主義邏輯產(chǎn)生、發(fā)展和基本思想的介紹，指出直覺主義邏輯的重要意義和價(jià)值，以引起國內(nèi)學(xué)界的關(guān)注，深入開展這方面的研究工作。

關(guān)鍵詞：直覺主義邏輯；數(shù)學(xué)；可構(gòu)造性；排中律

中圖分類號(hào)：B815.9 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1002-2589（2014）06-0025-02

一、直覺主義邏輯的緣起

按照海?。℉eyting，A.）的說法，“直覺主義數(shù)學(xué)在于心智的構(gòu)造，而一個(gè)數(shù)學(xué)定理表達(dá)一個(gè)經(jīng)驗(yàn)事實(shí)，即是某種構(gòu)造的結(jié)果”，“在事實(shí)上，從直覺主義觀點(diǎn)看，數(shù)學(xué)是人類心靈的某些職能的一種研究”[1]。在直覺主義者看來，數(shù)學(xué)公式是直覺符號(hào)系列，它們是心智構(gòu)造的結(jié)果，而定理的證明亦是直覺符號(hào)序列可觀察到的排列，因而拒絕間接證明。直覺主義者堅(jiān)持要求構(gòu)造性定義，即是指出產(chǎn)生被定義對(duì)象的方法并且能在有窮步驟內(nèi)確定其是否具有某種性質(zhì)。當(dāng)然，直覺主義者拒絕非構(gòu)造性的存在證明。于是，對(duì)于數(shù)學(xué)來說，唯一來源于直覺，直覺把概念及推理放在我們眼前而是顯得非常直接明白?！斑@個(gè)直覺”不過是一種能力，可以分別處理各種概念以及做出正規(guī)的出現(xiàn)于通常思維之中的那些推理。

數(shù)學(xué)領(lǐng)域直覺主義思潮發(fā)端于19世紀(jì)80年代，它的先驅(qū)者是科倫內(nèi)科（Kronecker，L.），他認(rèn)為整數(shù)在直觀上是清楚的，其他的東西都是人造的，是可疑的。直覺主義邏輯真正奠基人是布勞維爾。在20世紀(jì)初，當(dāng)時(shí)現(xiàn)代邏輯尚處于幼年階段，弗雷格的邏輯主要在數(shù)學(xué)小圈子里流傳，懷特海和羅素的《數(shù)學(xué)原理》尚未出版，布勞維爾關(guān)于邏輯的專門知識(shí)也有限。但是，他提出了使當(dāng)代人震驚的觀點(diǎn)，他主張邏輯不居先于數(shù)學(xué)，相反邏輯依賴與數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)的對(duì)象是心智構(gòu)造，而這些對(duì)象的性質(zhì)又是根據(jù)心智構(gòu)造規(guī)定的。經(jīng)典邏輯是從有窮集合及其子集合的數(shù)學(xué)中抽象出來的，后來人們忘記了這個(gè)有限的來源，錯(cuò)誤地把邏輯當(dāng)作高于一切數(shù)學(xué)的東西，最后又毫無根據(jù)地把它應(yīng)用于無窮的數(shù)學(xué)上去[2]。布勞維爾認(rèn)為對(duì)有窮集合有效的經(jīng)典邏輯原則——排中律，不能用于無窮集合。這條規(guī)律的一般形式是：對(duì)于一個(gè)命題p，或者p或者非p，必有一個(gè)是真的。也就是說，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，每個(gè)特定的數(shù)學(xué)問題都能夠在這樣的含義上得到解決：所提到的問題或者被肯定，或者被否定。讓我們通過一個(gè)例子來說明?？紤]一下哥德巴赫猜想（用G表示）：每個(gè)偶數(shù)都是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和。

最先用更形式化方法考慮直覺主義邏輯的人是格里文科（Glivenko，V.）和戈?duì)柲Ω曷宸颍↘olmogorov，A.N.）。前者提出直覺主義命題邏輯片段，后者則構(gòu)建直覺主義謂詞邏輯片段。1928年海丁獨(dú)立形式地表述了直覺主義謂詞邏輯和算術(shù)及“集合論”的基礎(chǔ)理論。海丁的形式表述為大膽的邏輯學(xué)家開辟了一個(gè)新領(lǐng)域，但是他并沒有提供一個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)的”或“預(yù)期的”解釋。于是，缺少一種概念解釋的內(nèi)在相干性。海丁后來提出一個(gè)被稱作證明解釋的一種解釋，它的基本思想可追溯到布勞維爾：數(shù)學(xué)陳述的真理性是通過證明建立起來的，因而邏輯連結(jié)詞的意義可借助于證明和構(gòu)造來說明[3]。例如，通過例子來考察一個(gè)邏輯連結(jié)詞“→”：？漬→？鬃的一個(gè)證明是一個(gè)這樣的構(gòu)造，？漬的任何證明都能轉(zhuǎn)化為？鬃的一個(gè)證明。

我們注意到，如果把邏輯看作心智構(gòu)造活動(dòng)，那么就不能要求一個(gè)陳述是二值的，即真的或假的。證明的解釋至少非形式地洞察到直覺主義真理的奧秘。也有些邏輯學(xué)家考察了直覺主義邏輯和拓?fù)涞拈]包運(yùn)算之間的相似性，構(gòu)建被稱作直覺主義邏輯的拓?fù)涞慕忉?。?jiān)欽于1934年構(gòu)建了自然演繹系統(tǒng)和他的相繼式演算，這使直覺主義連結(jié)詞的意義比希爾伯特型的形式化表述更加具體。普拉維茨則推廣了堅(jiān)欽的工作。在20世紀(jì)30年代，哥德爾獨(dú)立于堅(jiān)欽，表述了由經(jīng)典謂詞邏輯到直覺主義謂詞邏輯一個(gè)片段的轉(zhuǎn)換，推廣了格里文科的早期工作。他也建立了模態(tài)邏輯系統(tǒng)S4和直覺主義邏輯之間的聯(lián)系。后來他又表述了論辯的解釋，它屬于解釋的算法類型。論辯的解釋和克林的可實(shí)現(xiàn)性的解釋對(duì)于證明論的目標(biāo)來說是極富有成果的。

二、直覺主義邏輯的基本思想

三、結(jié)語

一方面，邏輯哲學(xué)中的直覺主義學(xué)派高度認(rèn)可直覺和個(gè)人的創(chuàng)造性思維在科學(xué)實(shí)踐中的作用，這具有積極的意義。同時(shí)，他們對(duì)排中律原則、雙重否定原則和德摩根律有效性的質(zhì)疑，揭示了經(jīng)典邏輯真理性只是相對(duì)的而不是絕對(duì)的。另一方面，直覺主義邏輯學(xué)家們倡導(dǎo)的構(gòu)造性證明的能行性的研究方法，促進(jìn)了人工智能和計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]Heyting， A. Intuitionism An Introduction[M]. North. Holland Publishing Company 1956：8-10.

[2][美]S.C.克林著.元數(shù)學(xué)導(dǎo)論：上[M].莫紹揆，譯.北京：科學(xué)出版社，1984：48.

[3]Brouwer，J.Historical Background，Principles and Methods of Intuitionism[M]. South African Journal of Science，1952：59.endprint

摘 要：直覺主義邏輯作為一個(gè)哲學(xué)邏輯分支在19世紀(jì)80年代產(chǎn)生。直覺主義邏輯基于數(shù)學(xué)中的直覺主義思想，主張存在即被構(gòu)造，數(shù)學(xué)是邏輯學(xué)的基礎(chǔ)。直覺主義邏輯拒斥排中律和雙重否定原則，認(rèn)為邏輯主義和形式主義都是錯(cuò)誤的。在此，通過對(duì)直覺主義邏輯產(chǎn)生、發(fā)展和基本思想的介紹，指出直覺主義邏輯的重要意義和價(jià)值，以引起國內(nèi)學(xué)界的關(guān)注，深入開展這方面的研究工作。

關(guān)鍵詞：直覺主義邏輯；數(shù)學(xué)；可構(gòu)造性；排中律

中圖分類號(hào)：B815.9 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1002-2589（2014）06-0025-02

一、直覺主義邏輯的緣起

按照海?。℉eyting，A.）的說法，“直覺主義數(shù)學(xué)在于心智的構(gòu)造，而一個(gè)數(shù)學(xué)定理表達(dá)一個(gè)經(jīng)驗(yàn)事實(shí)，即是某種構(gòu)造的結(jié)果”，“在事實(shí)上，從直覺主義觀點(diǎn)看，數(shù)學(xué)是人類心靈的某些職能的一種研究”[1]。在直覺主義者看來，數(shù)學(xué)公式是直覺符號(hào)系列，它們是心智構(gòu)造的結(jié)果，而定理的證明亦是直覺符號(hào)序列可觀察到的排列，因而拒絕間接證明。直覺主義者堅(jiān)持要求構(gòu)造性定義，即是指出產(chǎn)生被定義對(duì)象的方法并且能在有窮步驟內(nèi)確定其是否具有某種性質(zhì)。當(dāng)然，直覺主義者拒絕非構(gòu)造性的存在證明。于是，對(duì)于數(shù)學(xué)來說，唯一來源于直覺，直覺把概念及推理放在我們眼前而是顯得非常直接明白?！斑@個(gè)直覺”不過是一種能力，可以分別處理各種概念以及做出正規(guī)的出現(xiàn)于通常思維之中的那些推理。

數(shù)學(xué)領(lǐng)域直覺主義思潮發(fā)端于19世紀(jì)80年代，它的先驅(qū)者是科倫內(nèi)科（Kronecker，L.），他認(rèn)為整數(shù)在直觀上是清楚的，其他的東西都是人造的，是可疑的。直覺主義邏輯真正奠基人是布勞維爾。在20世紀(jì)初，當(dāng)時(shí)現(xiàn)代邏輯尚處于幼年階段，弗雷格的邏輯主要在數(shù)學(xué)小圈子里流傳，懷特海和羅素的《數(shù)學(xué)原理》尚未出版，布勞維爾關(guān)于邏輯的專門知識(shí)也有限。但是，他提出了使當(dāng)代人震驚的觀點(diǎn)，他主張邏輯不居先于數(shù)學(xué)，相反邏輯依賴與數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)的對(duì)象是心智構(gòu)造，而這些對(duì)象的性質(zhì)又是根據(jù)心智構(gòu)造規(guī)定的。經(jīng)典邏輯是從有窮集合及其子集合的數(shù)學(xué)中抽象出來的，后來人們忘記了這個(gè)有限的來源，錯(cuò)誤地把邏輯當(dāng)作高于一切數(shù)學(xué)的東西，最后又毫無根據(jù)地把它應(yīng)用于無窮的數(shù)學(xué)上去[2]。布勞維爾認(rèn)為對(duì)有窮集合有效的經(jīng)典邏輯原則——排中律，不能用于無窮集合。這條規(guī)律的一般形式是：對(duì)于一個(gè)命題p，或者p或者非p，必有一個(gè)是真的。也就是說，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，每個(gè)特定的數(shù)學(xué)問題都能夠在這樣的含義上得到解決：所提到的問題或者被肯定，或者被否定。讓我們通過一個(gè)例子來說明?？紤]一下哥德巴赫猜想（用G表示）：每個(gè)偶數(shù)都是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和。

最先用更形式化方法考慮直覺主義邏輯的人是格里文科（Glivenko，V.）和戈?duì)柲Ω曷宸颍↘olmogorov，A.N.）。前者提出直覺主義命題邏輯片段，后者則構(gòu)建直覺主義謂詞邏輯片段。1928年海丁獨(dú)立形式地表述了直覺主義謂詞邏輯和算術(shù)及“集合論”的基礎(chǔ)理論。海丁的形式表述為大膽的邏輯學(xué)家開辟了一個(gè)新領(lǐng)域，但是他并沒有提供一個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)的”或“預(yù)期的”解釋。于是，缺少一種概念解釋的內(nèi)在相干性。海丁后來提出一個(gè)被稱作證明解釋的一種解釋，它的基本思想可追溯到布勞維爾：數(shù)學(xué)陳述的真理性是通過證明建立起來的，因而邏輯連結(jié)詞的意義可借助于證明和構(gòu)造來說明[3]。例如，通過例子來考察一個(gè)邏輯連結(jié)詞“→”：？漬→？鬃的一個(gè)證明是一個(gè)這樣的構(gòu)造，？漬的任何證明都能轉(zhuǎn)化為？鬃的一個(gè)證明。

我們注意到，如果把邏輯看作心智構(gòu)造活動(dòng)，那么就不能要求一個(gè)陳述是二值的，即真的或假的。證明的解釋至少非形式地洞察到直覺主義真理的奧秘。也有些邏輯學(xué)家考察了直覺主義邏輯和拓?fù)涞拈]包運(yùn)算之間的相似性，構(gòu)建被稱作直覺主義邏輯的拓?fù)涞慕忉尅?jiān)欽于1934年構(gòu)建了自然演繹系統(tǒng)和他的相繼式演算，這使直覺主義連結(jié)詞的意義比希爾伯特型的形式化表述更加具體。普拉維茨則推廣了堅(jiān)欽的工作。在20世紀(jì)30年代，哥德爾獨(dú)立于堅(jiān)欽，表述了由經(jīng)典謂詞邏輯到直覺主義謂詞邏輯一個(gè)片段的轉(zhuǎn)換，推廣了格里文科的早期工作。他也建立了模態(tài)邏輯系統(tǒng)S4和直覺主義邏輯之間的聯(lián)系。后來他又表述了論辯的解釋，它屬于解釋的算法類型。論辯的解釋和克林的可實(shí)現(xiàn)性的解釋對(duì)于證明論的目標(biāo)來說是極富有成果的。

二、直覺主義邏輯的基本思想

三、結(jié)語

一方面，邏輯哲學(xué)中的直覺主義學(xué)派高度認(rèn)可直覺和個(gè)人的創(chuàng)造性思維在科學(xué)實(shí)踐中的作用，這具有積極的意義。同時(shí)，他們對(duì)排中律原則、雙重否定原則和德摩根律有效性的質(zhì)疑，揭示了經(jīng)典邏輯真理性只是相對(duì)的而不是絕對(duì)的。另一方面，直覺主義邏輯學(xué)家們倡導(dǎo)的構(gòu)造性證明的能行性的研究方法，促進(jìn)了人工智能和計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]Heyting， A. Intuitionism An Introduction[M]. North. Holland Publishing Company 1956：8-10.

[2][美]S.C.克林著.元數(shù)學(xué)導(dǎo)論：上[M].莫紹揆，譯.北京：科學(xué)出版社，1984：48.

[3]Brouwer，J.Historical Background，Principles and Methods of Intuitionism[M]. South African Journal of Science，1952：59.endprint

摘 要：直覺主義邏輯作為一個(gè)哲學(xué)邏輯分支在19世紀(jì)80年代產(chǎn)生。直覺主義邏輯基于數(shù)學(xué)中的直覺主義思想，主張存在即被構(gòu)造，數(shù)學(xué)是邏輯學(xué)的基礎(chǔ)。直覺主義邏輯拒斥排中律和雙重否定原則，認(rèn)為邏輯主義和形式主義都是錯(cuò)誤的。在此，通過對(duì)直覺主義邏輯產(chǎn)生、發(fā)展和基本思想的介紹，指出直覺主義邏輯的重要意義和價(jià)值，以引起國內(nèi)學(xué)界的關(guān)注，深入開展這方面的研究工作。

關(guān)鍵詞：直覺主義邏輯；數(shù)學(xué)；可構(gòu)造性；排中律

中圖分類號(hào)：B815.9 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1002-2589（2014）06-0025-02

一、直覺主義邏輯的緣起

按照海?。℉eyting，A.）的說法，“直覺主義數(shù)學(xué)在于心智的構(gòu)造，而一個(gè)數(shù)學(xué)定理表達(dá)一個(gè)經(jīng)驗(yàn)事實(shí)，即是某種構(gòu)造的結(jié)果”，“在事實(shí)上，從直覺主義觀點(diǎn)看，數(shù)學(xué)是人類心靈的某些職能的一種研究”[1]。在直覺主義者看來，數(shù)學(xué)公式是直覺符號(hào)系列，它們是心智構(gòu)造的結(jié)果，而定理的證明亦是直覺符號(hào)序列可觀察到的排列，因而拒絕間接證明。直覺主義者堅(jiān)持要求構(gòu)造性定義，即是指出產(chǎn)生被定義對(duì)象的方法并且能在有窮步驟內(nèi)確定其是否具有某種性質(zhì)。當(dāng)然，直覺主義者拒絕非構(gòu)造性的存在證明。于是，對(duì)于數(shù)學(xué)來說，唯一來源于直覺，直覺把概念及推理放在我們眼前而是顯得非常直接明白?！斑@個(gè)直覺”不過是一種能力，可以分別處理各種概念以及做出正規(guī)的出現(xiàn)于通常思維之中的那些推理。

數(shù)學(xué)領(lǐng)域直覺主義思潮發(fā)端于19世紀(jì)80年代，它的先驅(qū)者是科倫內(nèi)科（Kronecker，L.），他認(rèn)為整數(shù)在直觀上是清楚的，其他的東西都是人造的，是可疑的。直覺主義邏輯真正奠基人是布勞維爾。在20世紀(jì)初，當(dāng)時(shí)現(xiàn)代邏輯尚處于幼年階段，弗雷格的邏輯主要在數(shù)學(xué)小圈子里流傳，懷特海和羅素的《數(shù)學(xué)原理》尚未出版，布勞維爾關(guān)于邏輯的專門知識(shí)也有限。但是，他提出了使當(dāng)代人震驚的觀點(diǎn)，他主張邏輯不居先于數(shù)學(xué)，相反邏輯依賴與數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)的對(duì)象是心智構(gòu)造，而這些對(duì)象的性質(zhì)又是根據(jù)心智構(gòu)造規(guī)定的。經(jīng)典邏輯是從有窮集合及其子集合的數(shù)學(xué)中抽象出來的，后來人們忘記了這個(gè)有限的來源，錯(cuò)誤地把邏輯當(dāng)作高于一切數(shù)學(xué)的東西，最后又毫無根據(jù)地把它應(yīng)用于無窮的數(shù)學(xué)上去[2]。布勞維爾認(rèn)為對(duì)有窮集合有效的經(jīng)典邏輯原則——排中律，不能用于無窮集合。這條規(guī)律的一般形式是：對(duì)于一個(gè)命題p，或者p或者非p，必有一個(gè)是真的。也就是說，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，每個(gè)特定的數(shù)學(xué)問題都能夠在這樣的含義上得到解決：所提到的問題或者被肯定，或者被否定。讓我們通過一個(gè)例子來說明?？紤]一下哥德巴赫猜想（用G表示）：每個(gè)偶數(shù)都是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和。

最先用更形式化方法考慮直覺主義邏輯的人是格里文科（Glivenko，V.）和戈?duì)柲Ω曷宸颍↘olmogorov，A.N.）。前者提出直覺主義命題邏輯片段，后者則構(gòu)建直覺主義謂詞邏輯片段。1928年海丁獨(dú)立形式地表述了直覺主義謂詞邏輯和算術(shù)及“集合論”的基礎(chǔ)理論。海丁的形式表述為大膽的邏輯學(xué)家開辟了一個(gè)新領(lǐng)域，但是他并沒有提供一個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)的”或“預(yù)期的”解釋。于是，缺少一種概念解釋的內(nèi)在相干性。海丁后來提出一個(gè)被稱作證明解釋的一種解釋，它的基本思想可追溯到布勞維爾：數(shù)學(xué)陳述的真理性是通過證明建立起來的，因而邏輯連結(jié)詞的意義可借助于證明和構(gòu)造來說明[3]。例如，通過例子來考察一個(gè)邏輯連結(jié)詞“→”：？漬→？鬃的一個(gè)證明是一個(gè)這樣的構(gòu)造，？漬的任何證明都能轉(zhuǎn)化為？鬃的一個(gè)證明。

我們注意到，如果把邏輯看作心智構(gòu)造活動(dòng)，那么就不能要求一個(gè)陳述是二值的，即真的或假的。證明的解釋至少非形式地洞察到直覺主義真理的奧秘。也有些邏輯學(xué)家考察了直覺主義邏輯和拓?fù)涞拈]包運(yùn)算之間的相似性，構(gòu)建被稱作直覺主義邏輯的拓?fù)涞慕忉尅?jiān)欽于1934年構(gòu)建了自然演繹系統(tǒng)和他的相繼式演算，這使直覺主義連結(jié)詞的意義比希爾伯特型的形式化表述更加具體。普拉維茨則推廣了堅(jiān)欽的工作。在20世紀(jì)30年代，哥德爾獨(dú)立于堅(jiān)欽，表述了由經(jīng)典謂詞邏輯到直覺主義謂詞邏輯一個(gè)片段的轉(zhuǎn)換，推廣了格里文科的早期工作。他也建立了模態(tài)邏輯系統(tǒng)S4和直覺主義邏輯之間的聯(lián)系。后來他又表述了論辯的解釋，它屬于解釋的算法類型。論辯的解釋和克林的可實(shí)現(xiàn)性的解釋對(duì)于證明論的目標(biāo)來說是極富有成果的。

二、直覺主義邏輯的基本思想

三、結(jié)語

一方面，邏輯哲學(xué)中的直覺主義學(xué)派高度認(rèn)可直覺和個(gè)人的創(chuàng)造性思維在科學(xué)實(shí)踐中的作用，這具有積極的意義。同時(shí)，他們對(duì)排中律原則、雙重否定原則和德摩根律有效性的質(zhì)疑，揭示了經(jīng)典邏輯真理性只是相對(duì)的而不是絕對(duì)的。另一方面，直覺主義邏輯學(xué)家們倡導(dǎo)的構(gòu)造性證明的能行性的研究方法，促進(jìn)了人工智能和計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]Heyting， A. Intuitionism An Introduction[M]. North. Holland Publishing Company 1956：8-10.

[2][美]S.C.克林著.元數(shù)學(xué)導(dǎo)論：上[M].莫紹揆，譯.北京：科學(xué)出版社，1984：48.

[3]Brouwer，J.Historical Background，Principles and Methods of Intuitionism[M]. South African Journal of Science，1952：59.endprint