喻　曉，饒賢清

(上饒師范學(xué)院，江西 上饒 334001)

引言及主要結(jié)論

1975年，Coifman和Meyer在[1]中首次引入了多線性C-Z理論。2002年，Grafakos和Torres在[2]中系統(tǒng)地研究了如下形式的多線性奇異積分算子：

定義1[3]如果一個(gè)局部可積函數(shù)ω(x)滿足如下不等式:

其中1

另一方面，Morrey于1938年在[5]中引入了以其姓氏命名的Morrey空間Mp,λ，其定義為

1　本文主要引理

在給出定理1的證明之前，我們先給出一些證明過程中需要的引理。

如果一個(gè)函數(shù)ω滿足ω(2B)≤Cω(B)，其中B為任一方體，C為和ω以及B無關(guān)的常數(shù)，則我們稱ω滿足倍測度條件，簡記為ω∈△2。

引理1.1.[8]如果ω∈Ap(1

引理1.2.[8]如果ω∈△2，則存在大于1的常數(shù)C,使得ω(2B)≥Cω(B)。

引理1.3.[9]如果ωi∈Ar,r為大于1的實(shí)數(shù)，則對任意的B?Rn，我們有

這里C為一個(gè)和B無關(guān)的常數(shù)。

根據(jù)引理1.3，我們注意到如果ωi∈Ar(r>1)，則我們有

(1.1)

2　定理1的證明

引理2.3.假設(shè)0

其中C是一個(gè)和f無關(guān)的常數(shù)。

∶=I1(x)+I2(x).

這里Σ′代表其通項(xiàng)中至少有一個(gè)α1不等于0。

首先我們給出I1(x)的估計(jì)。根據(jù)引理2.2，引理1.1以及 (1.1)，我們有

接下來我們估計(jì)I2(x)，首先我們考慮α1=α2=…=αm=∞這一情形。則對任意的x∈B=B(x0,R)以及B?3D，我們有

并且根據(jù)引理1.1以及1.2，有如下不等式：

于是根據(jù)(1.1)，可得

故有

(2.1)

最后只需討論的情形為：αi=αi+1=…=αj=∞,{αi,αi+1,…,αj}?{1,2,…,m}。不失一般性，我們僅僅考慮α1=∞,α2=α3=…=αm這種情形，因?yàn)槠溆嗟那樾魏瓦@種情形類似。綜合前面兩種情況的估計(jì)過程，我們有

于是根據(jù)Holder不等式以及(1.1)，有

(3.2)

定理1的證明：最后，我們將給出定理1的證明。由于ωi∈Ar，我們有

至此我們完成了定理1的證明。

參考文獻(xiàn)：

[1] Coifman R.，Meyer Y., On commutators of singular integrals and bilinear singular integrals[J]. Trans. Amer. Math. Soc., 1975,212:315-331.

[2] Grafakos L., Classical and Modern Fourier Analysis[M].Prentice Hall (2004).

[3] Muckenhoupt B., Weighted norm inequalities for the Hardy maximal function[J]. Trans. Amer. Math. Soc.1972,165:207-226.

[4] Lerner A.K., Ombrosi S., Perez C. et al., New maximal functions and multiple weights for the multilinear Calderon-Zygmund theory[J]. Adv. Math., 2009,220:1222-1264.

[5] Morrey C.B., On the solutions of quasi-linear elliptic partial differential euqations[J]. Tran. Amer. Math. Soc., 1938,43:126-166.

[6] Komori Y.,Shirai S., Weighted Morrey spaces and a singular integral operator[J]. Math. Nachr., 2009, 282:219-231.

[7] Wang H.,Yi W.T., Multilinear singular and fractional integral operators on weighted Morrey spaces[J].Funct. Spaces Appl., 2013, Article ID 735795.

[8] Grafakos L., Torres R.H., Multilinear Calderon-Zygmund theory[J].Adv. Math.2002,165:124-164.

[9] Xue Q.Y., Yan J.Q., Multilinear version of reversed Holder inequality and its applications to multilinear Calderon-Zygmund operators[J]. Math. Soc. Japan,2012, 64:1053-1069.