李愛(ài)萍， 楊慧

(云南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500)

1 引言

utt+a|ut|m+1ut-Δu=b|u|p+1u為具有非線性阻尼及源項(xiàng)的波動(dòng)方程.文獻(xiàn)[1-2]中，對(duì)a=0時(shí)波動(dòng)方程的Dirichlet初邊值問(wèn)題進(jìn)行了討論，并對(duì)其解在相應(yīng)空間的存在性與爆破性作了闡述.對(duì)方程的Cauchy問(wèn)題,文獻(xiàn)[3-4]就其能量估計(jì)進(jìn)行了深入討論.文獻(xiàn)[5-6]中對(duì)型如utt+δut-φ(x)Δu=λu|u|p-1的非線性波動(dòng)方程的第一類邊值問(wèn)題解的爆破作了深入討論.文獻(xiàn)[7]中利用能量方法和微分、積分不等式技巧，討論半線性波動(dòng)方程具非線性Neumann邊界條件的混合問(wèn)題解的爆破性質(zhì).文獻(xiàn)[8]中討論了當(dāng)a=1、b=1時(shí)齊次Dirichlet初邊值問(wèn)題解的存在與爆破問(wèn)題.本文主要討論a=1、b=1時(shí)，在m和p滿足一定條件情況下，如下初邊值問(wèn)題的波動(dòng)方程解的存在性與爆破：

(1)

本文的主要結(jié)果有：

u(t,x)∈L，ut(t,x)∈L(0,T;L2(Ω))∩Lm+1(0,T;Lm+1(Ω)).

2 定理1的證明

波動(dòng)方程的形式能量如下：

(2)

首先應(yīng)用Faedo-Galerkin方法來(lái)證明問(wèn)題(1)弱解的存在性.

(untt,ws)+(un,1≤s≤n

(3)

滿足初始條件

由非線性方程組解的一般結(jié)果得方程組(3)的初值問(wèn)題的解在區(qū)間[0,tn]上存在.下面的估計(jì)證明了存在與n無(wú)關(guān)的T，解在區(qū)間[0,T]上存在.

其中

(4)

(5)

對(duì)上式中的t從0到t積分得

(6)

即

(7)

所以存在與n無(wú)關(guān)的常數(shù)C*使得

(8)

由此得tn=T.

由引理1可知存在{un}的子序列{uv}使得，當(dāng)v→時(shí)，uv→u在L中弱*收斂，且uvt→ut在L(0，T;L2(Ω))中弱*收斂,|uvt|m-1uvt→|ut|m-1ut在Lm+1(0,T;Lm+1(Ω))中弱收斂.

定理1成立.

3 定理2的證明

H1-α(t)+εF′(t)

記

(9)

這里ε>0,α>0是小參數(shù)，α根據(jù)需要適當(dāng)選取，ε待定.

由能量等式我們得到

(10)

從而H(t)是一個(gè)遞增函數(shù)，注意到條件λQ(u)≤0,所以

(11)

由于

(12)

通過(guò)計(jì)算得

(13)

因此，得到

(14)

上式右邊項(xiàng)可以通過(guò)H?lder不等式并結(jié)合m+1

由Young不等式及m+1

其中C、C1>0為常數(shù).

由(10)式,選擇適當(dāng)?shù)摩潦沟?/p>

(15)

由定理2 的條件E(0)<0,假設(shè)H(0)>1,則有

H-1/(m+1)+1/(p+1)(t)≤H-α(t)≤H-α(0)

因此，我們得到

于是由(14)式并注意到定理2的條件λ[uq(u)-2Q(u)]≤0得到

由(15)式選定α，選取足夠小的ε和H(0)足夠大，即初值足夠大，使得

(16)

從上式我們得到

(17)

(17)式表明H1-α(t)+εF′(t)是一個(gè)遞增函數(shù).因此選擇F′(0)>0,于是對(duì)?t>0得

H1-α(t)+εF′(t)>0

下面我們來(lái)證明

(18)

其中C是一個(gè)正常數(shù)，由(15)式得β=1/(1-α)>1.如果(18)式成立，那么H1-α+εF′在有限時(shí)間內(nèi)爆破，u也在有限時(shí)間內(nèi)爆破.

為了證明(18)式成立，考慮如下兩種情況：

(ⅰ)F′(t)≤0.我們有

(H1-α(t)+εF′(t))1/(1-α)≤H(t)，

所以由(11)式和(17)式，得(18)成立.

(ⅱ)F′(t)>0.由H?lder不等式和Young不等式得

由上述不等式及(17)式，得到(18)式，由此定理2得證.

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