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        三角網(wǎng)格頂點(diǎn)重要度的自適應(yīng)Loop細(xì)分算法

        2014-03-29 02:00:54王艷艷惠麗峰羅曉鋒張榮國

        王艷艷,惠麗峰,羅曉鋒,張榮國

        1.內(nèi)蒙古科技大學(xué)高等職業(yè)技術(shù)學(xué)院,內(nèi)蒙古包頭014010

        2.內(nèi)蒙古科技大學(xué)礦業(yè)工程學(xué)院,內(nèi)蒙古包頭014010

        3.太原科技大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院,太原030024

        1 引言

        在CG、幾何造型等領(lǐng)域中,物體表面通常是用三角形網(wǎng)格模型來描述的。在多數(shù)情況下,需要使用三維激光掃描儀對(duì)大物體、寬場(chǎng)景進(jìn)行數(shù)據(jù)采集。為了適應(yīng)計(jì)算機(jī)對(duì)這些數(shù)據(jù)的實(shí)時(shí)顯示、傳輸、分析、編輯、重建、存儲(chǔ)等要求,必須對(duì)這類模型數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。一類是簡(jiǎn)化網(wǎng)格模型:在保持物體特征和視覺效果的前提下,減少該模型的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、三角面片數(shù);另一類是自適應(yīng)細(xì)分:通過控制誤差來局部細(xì)分網(wǎng)格,力求以較少的網(wǎng)格來獲得性能良好的曲面。對(duì)三角網(wǎng)格進(jìn)行簡(jiǎn)化和細(xì)分是CG研究領(lǐng)域的兩大熱點(diǎn)。

        經(jīng)過多年的發(fā)展,細(xì)分算法已經(jīng)成為圖形學(xué)領(lǐng)域的一種標(biāo)準(zhǔn)造型技術(shù)。現(xiàn)有的細(xì)分模式有:Loop[1]、Catmull、Clark[2]、3[3]、混合細(xì)分[4]模式等,文獻(xiàn)[5]提出了一種廣泛的Loop細(xì)分方法。自適應(yīng)細(xì)分算法是傳統(tǒng)細(xì)分算法的一種改進(jìn),它主要研究如何確定自適應(yīng)細(xì)分準(zhǔn)則,消除裂縫以及修正頂點(diǎn)幾何屬性等。對(duì)于這些問題的解決,國外Ashish Am resh等人對(duì)三角網(wǎng)格自適應(yīng)細(xì)分[6]作了探索,文獻(xiàn)[7]提出了一種增量自適應(yīng)細(xì)分,該方法可以根據(jù)用戶的需求只對(duì)選定的區(qū)域進(jìn)行細(xì)分;國內(nèi)有華中科技大學(xué)的胡等對(duì)四邊形的自適應(yīng)細(xì)分[8]作了研究;另外,文獻(xiàn)[9-11]也在自適應(yīng)細(xì)分方面作了大量的研究。

        到目前為止,很多三角形網(wǎng)格的自適應(yīng)細(xì)分方法[5,10-14]已被提出,但這些算法都不可避免會(huì)產(chǎn)生一些退化三角形,使得部分面片處于不同層,破壞了整體細(xì)分曲面的連續(xù)性。本文將域平均平面的距離[15]作為尺度,并根據(jù)文獻(xiàn)[16]求平均平面網(wǎng)格簡(jiǎn)化方法中常用到的頂點(diǎn)重要度作為判斷頂點(diǎn)是否參與細(xì)分的標(biāo)準(zhǔn),用頂點(diǎn)到其1-鄰的方法對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)。經(jīng)過大量的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),該方法計(jì)算簡(jiǎn)單,處理速度快,其時(shí)間性能優(yōu)于其他算法。

        2 Loop細(xì)分模式

        它是一種基于三角網(wǎng)格1-4面分裂的、逼近的細(xì)分模式,生成的曲面是盒式樣條曲面的推廣,在正則曲面上是C2連續(xù),在奇異點(diǎn)處是C1連續(xù)。

        此細(xì)分模式的各種頂點(diǎn)細(xì)分模板如圖1所示。

        圖1 Loop細(xì)分模板示意圖

        (1)內(nèi)部奇頂點(diǎn)的計(jì)算公式為:

        (2)內(nèi)部偶頂點(diǎn)的計(jì)算公式為:

        設(shè)V0,V1,…,Vk-1是頂點(diǎn)V的1-鄰接頂,k為頂點(diǎn)V的價(jià),β的定義如下:

        (3)邊界奇、偶頂點(diǎn),可分別用圖1(c)、(d)的模板來計(jì)算。

        3 新的自適應(yīng)細(xì)分算法

        經(jīng)過大量實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),對(duì)空間網(wǎng)格形狀影響越大的頂點(diǎn)越容易被細(xì)分,對(duì)網(wǎng)格形狀影響越小的頂點(diǎn)就越不容易被細(xì)分。本文以頂點(diǎn)到其平均平面的距離作為細(xì)分準(zhǔn)則,這樣頂點(diǎn)細(xì)分就轉(zhuǎn)換為判斷頂點(diǎn)重要度的問題了。

        定義1 (頂點(diǎn)的星型域)在空間三角形網(wǎng)格中,把頂點(diǎn)V(內(nèi)點(diǎn))和其1-鄰域上的頂點(diǎn)構(gòu)成的封閉區(qū)域稱為V的星型鄰域,記為Star(V)。對(duì)于點(diǎn)V為邊界點(diǎn)的情況,稱由V,V1,V2,…,Vi組成的三角形區(qū)域?yàn)辄c(diǎn)V的半星型鄰域Starhalf(V),將V的星型鄰域和半星型鄰域統(tǒng)稱為Star(V)。

        定義2 (平均平面)對(duì)于頂點(diǎn)V的星型鄰域,必存在一個(gè)平面,使得點(diǎn)V的所有鄰域點(diǎn)Vi到此平面的距離和最小,則稱它為Star(V)的平均平面,記為SStar(V)。

        3.1 頂點(diǎn)重要度的改進(jìn)

        根據(jù)定義可知,頂點(diǎn)V的平均平面是存在的,但要將這個(gè)平面表示出來是非常困難的。鑒于此,計(jì)算頂點(diǎn)到其平均平面的距離時(shí),用與此頂點(diǎn)相連較長(zhǎng)三條邊的端點(diǎn)構(gòu)成的平面來代替平均平面,因而頂點(diǎn)的重要度得以改進(jìn)。

        3.1.1 平均平面

        設(shè)(x0,y0,z0)為頂點(diǎn)V的坐標(biāo),(xi,yi,zi)為頂點(diǎn)V的1-鄰域上所有點(diǎn)的坐標(biāo)。利用公式(4)求出三條最長(zhǎng)邊的端點(diǎn)Vi、Vj、Vk,已知它們坐標(biāo)(xi,yi,zi),(xj,yj,zj),(xk,yk,zk),利用這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可得平面的三點(diǎn)式方程:

        將公式(5)轉(zhuǎn)化為平面的一般方程為:Amx+Bmy+Cmz+Dm=0,即為平均平面方程。

        3.1.2 頂點(diǎn)的重要度

        網(wǎng)格模型上的點(diǎn)可分為內(nèi)部頂點(diǎn)和邊界頂點(diǎn),它們的重要度與該點(diǎn)在空間網(wǎng)格上的曲率相對(duì)應(yīng),曲率越大,對(duì)空間網(wǎng)格形狀的保持就越重要,這樣的頂點(diǎn)也就越容易細(xì)分;否則,反之。

        內(nèi)部點(diǎn)的重要度可定義為頂點(diǎn)V(x0,y0,z0)到平均平面Amx+Bmy+Cmz+Dm=0的距離,如圖2所示。記為Degree(V),當(dāng)頂點(diǎn)V的星型鄰域上點(diǎn)確定時(shí),DVS的值越大,相應(yīng)頂點(diǎn)V處的曲率變化也越大。

        圖2 內(nèi)部頂點(diǎn)V的重要度

        由于邊界頂點(diǎn)位置決定了邊界的形狀,因此其重要度不僅與邊界頂點(diǎn)處的曲率有關(guān),還與其所在的邊界曲線的曲率有關(guān)。設(shè)V1、Vi為邊界頂點(diǎn)V的半星型鄰域上的兩個(gè)邊界頂點(diǎn),V2、V3、V4,為這個(gè)鄰域上的內(nèi)部頂點(diǎn)。V點(diǎn)周圍頂點(diǎn)所確定的平均平面為SStar(V),DVS為點(diǎn)V到平面SStar(V)的距離,DVE為點(diǎn)V到邊界線V1Vi的距離,如圖3所示。

        圖3 邊界頂點(diǎn)V的重要度

        邊界線V1Vi直線方程為:

        那么頂點(diǎn)V(x0,y0,z0)到此直線的距離[17]為:

        其中ni=(Ai,Bi,Ci),i∈n,M=A1x0+B1y0+C1z0+D1,N=Aix0+Biy0+Ciz0+Di。根據(jù)公式(6)、(7),邊界頂點(diǎn)的重要度就為:

        上述的改進(jìn)方法會(huì)造成一定程度的誤差,但誤差可限制在為數(shù)不多的三角形范圍內(nèi)。對(duì)數(shù)據(jù)源密度非常高的網(wǎng)格模型來說,對(duì)應(yīng)的三角面片非常小。本文的細(xì)分方法可以在一定程度上減少對(duì)最終顯示效果影響不大的冗余計(jì)算,重點(diǎn)突顯三維圖形的主要特征和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),適宜對(duì)顯示速度有較高要求的情景。

        3.2 算法步驟

        為了清晰地說明本文算法,先來定義三對(duì)名詞。假設(shè)三角網(wǎng)格中的某個(gè)頂點(diǎn)的重要度小于給定的閾值,則此點(diǎn)為死點(diǎn),反之為活點(diǎn);只有當(dāng)三角形一條邊上的兩個(gè)點(diǎn)都為死點(diǎn)時(shí),該邊才為死邊,其余均為活邊;當(dāng)一個(gè)三角形至少有兩條死邊時(shí),這個(gè)三角形為死面,其余為活面。本文算法的具體步驟為:

        (1)遍歷全部頂點(diǎn),計(jì)算各個(gè)頂點(diǎn)的價(jià)。

        (2)依據(jù)公式(6)或公式(8)計(jì)算出每個(gè)頂點(diǎn)的重要度,如果Degree(V)小于給定的閾值ε,則記為死點(diǎn)。

        (3)由三角形所含死點(diǎn)的個(gè)數(shù),確定三角形的邊的類型和面的類型。

        (4)新(奇)點(diǎn)的生成。在活邊上按照Loop細(xì)分模式插入新點(diǎn),采用Loop細(xì)分模板計(jì)算其插入位置。死邊上就不需要插入新點(diǎn)。

        (5)新面的生成。對(duì)死面不進(jìn)行分裂生成新面?;蠲娴姆至逊绞接址譃閮煞N:

        ①當(dāng)三條邊都為活邊時(shí),將該面分裂成4個(gè)小三角形;

        ②當(dāng)只有一條死邊時(shí),死邊上不插入新點(diǎn)。另外兩條邊頂點(diǎn)處重要度決定了新的三角形生成方式。

        (6)采用Loop細(xì)分模板更新所有偶點(diǎn)的位置。

        (7)判斷是否進(jìn)行下次細(xì)分,直到滿足需求。

        4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和分析

        為了驗(yàn)證本文算法的有效性,利用C++和OPENGL圖形函數(shù)庫,在VC++6.0環(huán)境編程實(shí)現(xiàn)了相應(yīng)算法,對(duì)原始面片數(shù)為914的汽車模型、面片數(shù)為3 121的人體模型及面片數(shù)為8 516地形模型進(jìn)行了三次細(xì)分,如圖4~6所示。

        圖4 汽車模型自適應(yīng)細(xì)分結(jié)果圖

        從圖4~6可以看出,本文算法主要集中在對(duì)高曲率部分進(jìn)行細(xì)分,汽車模型中,特別是對(duì)車輪和車體具有棱邊、棱角等具有尖銳特征的部位細(xì)分得最多;車窗、車頂和車門等平坦的部位細(xì)分較少。人體模型中,對(duì)脖頸截面、雙乳及肚臍部分細(xì)分較多,其他部分較少;地形模型中,對(duì)山脊部分細(xì)分多,而平地部分細(xì)分少。將本文算法和文獻(xiàn)[8]中的算法進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)比較,表1在給定同一閾值的情況下對(duì)這兩種方法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果作了統(tǒng)計(jì)。

        圖5 人體模型自適應(yīng)細(xì)分結(jié)果圖

        圖6 地形模型自適應(yīng)細(xì)分結(jié)果圖

        表1 兩種方法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

        通過表1可以看出,本文算法在三次細(xì)分過程中產(chǎn)生的三角面片數(shù)都要多于文獻(xiàn)[8]中的算法,但是隨著細(xì)分次數(shù)增多,三角面片數(shù)的增加,本文算法的時(shí)效性就越發(fā)地顯現(xiàn)出來,這是因?yàn)楸疚乃惴ㄍㄟ^距離來判定頂點(diǎn)是否參與細(xì)分,省去了反復(fù)計(jì)算頂點(diǎn)法矢的過程,加快了對(duì)數(shù)據(jù)量非常龐大的模型進(jìn)行處理,時(shí)間效率比較高。

        5 結(jié)論

        以與頂點(diǎn)相連較長(zhǎng)三條邊的端點(diǎn)構(gòu)成的平面近似為該頂點(diǎn)的平均平面,這與用網(wǎng)格面積法向加權(quán)求得的平均平面相比,前者就存在著很大的誤差。但目前三角網(wǎng)格模型的數(shù)據(jù)量都越來越龐大,精度也越來越高,在這樣的網(wǎng)格模型中,三角形的面積非常小,密度高且各三角形的形狀也比較接近,因此該方法產(chǎn)生的誤差可被限制在一定數(shù)量的三角形之內(nèi),對(duì)最終簡(jiǎn)化結(jié)果的視覺影響不大,是可以采用的。以距離作為細(xì)分尺度,省去了反復(fù)計(jì)算三角形法矢量和面積的過程,大大減少了龐大數(shù)據(jù)模型的計(jì)算量,時(shí)間優(yōu)越性能很高,但是細(xì)分后的三角面片數(shù)較多,這是本文算法的不足之處。以后的主要工作將集中在保持良好的細(xì)分效果情況下,既有高的時(shí)效性,又能最大化減少三角面片數(shù)。

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