唐文杰，趙宇，張邦民

（南京航空航天大學機電學院，江蘇南京210016）

隨著飛機裝配技術(shù)的發(fā)展，不斷提高裝配柔性化與自動化水平成為大型飛機制造的必然趨勢，而發(fā)展裝配機器人必將推進裝配柔性自動化的進程，促進飛機裝配技術(shù)革命性的變化，為我國的國民經(jīng)濟帶來巨大的經(jīng)濟效益和社會效益，為提升企業(yè)的國際競爭力發(fā)揮重大作用[1-3]。作為柔性裝配系統(tǒng)的一部分，如何獲得一種高精度、高剛度的定位系統(tǒng)對于我國飛機裝配技術(shù)的發(fā)展無疑是至關(guān)重要的。為進行此方面的探索，一種具有3個平移自由度的高剛度三自由度并聯(lián)機構(gòu)Tripod[4]被用來搭建成一套飛機部件定位仿真系統(tǒng)。

1 開發(fā)環(huán)境Qt和OpenGL簡介

整個仿真系統(tǒng)是在集成開發(fā)環(huán)境Qt軟件下編寫的。Qt是一個跨平臺的C++圖形用戶界面應(yīng)用程序框架。它提供的信號與槽機制能夠十分方便的搭建圖形用戶界面，它同Windows平臺上的MFC是同類型的東西。Qt自帶OpenGL庫，只需要重寫內(nèi)置的關(guān)于OpenGL的虛函數(shù)就能夠方便的建立三維模型。OpenGL（全寫Open Graphics Library）是一個跨編程語言、跨平臺的編程接口，它用于三維圖象（二維的亦可）的顯示，是專業(yè)的圖形程序接口，是一個功能強大，調(diào)用方便的底層圖形庫。

2 四元數(shù)球面線性插補算法

由于飛機部件（中央翼盒、左中外翼、右中外翼等）一般是大體積大質(zhì)量物體，在對其進行位姿調(diào)整過程中應(yīng)十分注意運動的平穩(wěn)性。否則不僅嚴重影響調(diào)整的精度，甚至會導致飛機部件外形的變形。而在歐拉空間中，線性插補是非均勻的，并不能滿足平穩(wěn)性要求。為此，可以引入球面線性插補算法[5]，將此算法運用于四元數(shù)，即所謂四元數(shù)球面線性插補算法。對飛機部件的轉(zhuǎn)動采用四元數(shù)球面線性插補可以使其繞某一定軸作勻角速度旋轉(zhuǎn)，意味著在此階段可以實現(xiàn)飛機部件零角加速度的旋轉(zhuǎn)，位姿調(diào)整的平穩(wěn)性要求得到滿足。

2.1 四元數(shù)球面線性插補概述

先用首末矢量q0和q1（分別代表飛機部件的初始和目的姿態(tài)四元數(shù)）定義一個與q0垂直的單位矢量q′1，各矢量之間關(guān)系如圖1所示。

由圖1，導出插補量q（t）的表達式為

圖1 三矢量之間的關(guān)系Fig.1 Relationship among three vectors

q0與q1均相對于全局坐標系?，F(xiàn)以q0表示的姿態(tài)為參考坐標系，則q0，q1此參考坐標系下的四元數(shù)表示為

式中cosφ=cos（θ/2），把式（3）代入至插補公式（2）中，可得：

由式（4）可知，四元數(shù)球面線性插補其實是繞固定軸轉(zhuǎn)動，當t從0到1均勻變化時，飛機部件從初始姿態(tài)q0繞固定軸n勻速旋轉(zhuǎn)θ后到達目的姿態(tài)q1。最后要將q（t）復(fù)原為全局坐標系，只需進行坐標變換：q0?q（t）即可。

2.2 四元數(shù)球面線性插補在程序中的實現(xiàn)

在OpenGL中物體的旋轉(zhuǎn)是采用歐拉角來實現(xiàn)，所以應(yīng)先將飛機部件的歐拉角轉(zhuǎn)化為四元數(shù)形式，進行四元數(shù)球面線性插補，得到四元數(shù)形式的插補量，然后再轉(zhuǎn)化為歐拉角形式，以供OpenGL顯示飛機部件的姿態(tài)。具體流程如圖2所示。

圖2 四元數(shù)球面線性插補流程Fig.2 Quaternions spherical linear interpolation flow chart

3 仿真系統(tǒng)軟件設(shè)計

Tripod機構(gòu)外形比較復(fù)雜，如圖3所示。機構(gòu)中每組桿由主動桿和從動桿構(gòu)成，從動桿跟隨主動桿運動。為方便建模分析，也因其在運動學上與3-UPU并聯(lián)機構(gòu)的相似性，可將其簡化為3-UPU形式，如圖4。整個定位系統(tǒng)與飛機部件的連接方式采用多點陣真空吸盤式柔性工裝[6-7]。

圖3 Tripod模型Fig.3 Tripod model

圖4 運動學等效后的TripodFig.4 Tripod after kinematic equivalence

由于OpenGL自身的建模能力十分有限，用OpenGL自帶的函數(shù)完成建模非常不方便，甚至無法完成。為解決此問題，先用三維軟件Pro/Engineer分別作出各個部件的三維零件圖，保存為OBJ文件格式。再編寫一個數(shù)據(jù)接口類來讀入并顯示OBJ文件，在程序中用各部件之間的幾何約束關(guān)系來規(guī)定各部件的運動方式，實現(xiàn)各部件的有序運動。飛機部件的運動方式是先轉(zhuǎn)動再平移。

3.1 軟件整體流程設(shè)計

軟件采用面向?qū)ο蠛湍K化的編程方式，便于修改和升級。具體流程如圖5所示。

3.2 軟件界面及仿真效果

軟件界面及仿真效果如圖6所示。飛機部件（為清楚顯示其下方的真空吸盤，飛機部件采用線框顯示）下方為3個Tripod（簡化為3-UPU形式）支撐，各Tripod與飛機部件采用真空吸盤連接。

3.3 軌跡分析

在一定范圍內(nèi)任取起止歐拉角進行四元數(shù)球面線性插補，將此過程中飛機部件上一點的運動坐標導入Matlab中，得到其軌跡如圖7所示。此軌跡是一條光滑的空間曲線。

為驗證四元數(shù)插補點在同一平面上，假設(shè)插補點總數(shù)為N，按任意順序兩兩一組分成N/2組。每組兩個點坐標相減，得到N/2個向量。任取兩個向量求得法向量，然后求取此法向量與其它向量的夾角。按此思路編寫Matlab程序并運行得曲線如圖8?？梢姼飨蛄颗c法向量夾角集中在90度附近，最大誤差不超過0.4%?？紤]到浮點數(shù)據(jù)在Matlab運算過程中的舍入誤差，實際誤差會更小，因此可以認為所有插補點均在一個平面內(nèi)。

圖5 軟件流程圖Fig.5 Software flow chart

圖6 軟件界面及仿真效果圖Fig.6 Software interface&simulation effect

圖7 飛機部件上任意點軌跡Fig.7 Arbitrary point trajectory of aircraft component

在所有插補點均在同一平面的基礎(chǔ)上，為驗證所有插補點均在同一圓周，可以先由6個點通過方程組（5）得到圓心。

式中，（ai，bi，ci）為任意的插補點坐標，i=1，2，3，4，5，6，為圓心坐標。

然后求取各點到圓心的距離。按此思路編寫Matlab程序并運行得到曲線圖9?？梢姴逖a點到圓心的距離大約集中在[759.951，759.957]之間，波動幅度僅為0.006，同樣，考慮到誤差的影響此波動幅度應(yīng)更小。由上所述，證明四元數(shù)插補達到了預(yù)期的效果。

圖8 插補點向量與法向量夾角Fig.8 Angle between interpolation points and normal vector

圖9 插補點與圓心距離Fig.9 Distance between interpolation points and circle center

4 結(jié)論

仿真系統(tǒng)利用Qt和OpenGL成功的建立了一個仿真平臺，利用三自由度的Tripod搭建了一個定位系統(tǒng)，采用四元數(shù)球面線性插補算法來實現(xiàn)飛機部件姿態(tài)調(diào)整[8]時的平穩(wěn)運動。著重分析和驗證了此插補算法的實現(xiàn)過程和插補效果。從最后的結(jié)果來看，達到了預(yù)期的仿真目的，為此方面的更深入研究和應(yīng)用提供了依據(jù)。

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