宋祖平

中考數(shù)學的復習具有復習時間緊、內(nèi)容多、任務重等特點。如何在中考前這一段寶貴的時間里高效地做好復習工作是廣大師生和家長都非常關(guān)心的問題。作為教師，在復習中，一方面要把課本中所涉及的概念、公式、公理、定理、法則等重要知識點進行必要的梳理和歸納，讓學生理解各知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，在其頭腦中形成完整的知識網(wǎng)絡；另一方面筆者認為中考復習要重抓典型例題的解析，提升學生學習能力。在典型例題解析的過程中讓學生拓寬解題思路，學會一題多解，不僅要對每一種方法的實質(zhì)及它所適應的題型，包括解題步驟應熟練掌握，還要學會選擇最優(yōu)解法。同時重視對數(shù)學思想的理解及運用，養(yǎng)成良好的解題習慣，努力做到讓學生懂一題，知一類。

一、典型例題解析

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中點.求證：CE⊥BE

圖1 圖2 圖3

分析：本題要證明CE⊥BE，實質(zhì)上要證明∠CEB=90°。雖然是要求得∠CEB=90°，但題目已知給的是梯形三邊的長。故本題的證明思路應從“邊”出發(fā)，而不應從“角”出發(fā)。

思路一：用勾股定理的逆定理。

若能證出CE2+BE2=BC2，則此題得證。問題轉(zhuǎn)為求線段CE和BE的長，線段CE和BE的長分別在Rt△CDE與Rt△BAE中，用勾股定理求，那么必須求得線段AD的長，自然想到做如圖1的輔助線CF，從而在Rt△CFB中求得CF長，由AD=CF，即可解決問題。

證明：如圖1，過C做CF⊥AB交AB于F點，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，

則AD=CF，AF=CD=1，由AB=2有BF=AB-AF=1；

∴CE2+BE2=BC2；∴∠CEB=90°；∴CE⊥BE

思路二：用等腰三角形三線合一性質(zhì)。

考慮到在梯形ABCD中，AB∥CD，E是AD中點，所以可做如圖2的輔助線：延長CE交BA延長線于F點。易證得△CDE≌△FAE，得到CE=FE，F(xiàn)A=CD=1，由BF=BC和等腰三角形三線合一性質(zhì)易證CE⊥BE。

證明：如圖2，延長CE交BA延長線于F點。在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠D=90°，

∵E是AD中點，∴DE=AE，∠AEF=∠CED，∴△CDE≌△FAE，∴CE=FE，F(xiàn)A=CD=1，BF=FA+AB=1+2=3=BC

∴BE⊥CF，即CE⊥BE。

思路三：用直角三角形斜邊中線性質(zhì)的逆定理來證明。

可做如圖3的輔助線：取BC中點F點，連接EF。考慮到在梯形ABCD中，AB∥CD，E是AD中點，也可這樣做輔助線：過E點做EF∥AB交CB于F點。由梯形中位線定理易到EF=2.5=CF=BF，由直角三角形斜邊中線性質(zhì)的逆定理易證△CEB為Rt△且∠CEB=90°，可證CE⊥BE。

證明：如圖3，取BC中點F點，連接EF。則FB=FC=BC÷2=2.5

在梯形ABCD中，AB∥CD，E是AD中點，

∴EF是梯形ABCD的中位線，∴EF=（CD+AB）÷2=（1+2）÷2=2.5，EF=FB=FC

∴△CEB為Rt△且∠CEB=90°，∴CE⊥BE

二、典型例題變換

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，CE平分∠BCD，BE平分∠ABC.

問法一：求證：CE⊥BE；

問法二：求證：DE=AE；

問法三：求證：E點是AB的中點。

圖a

分析：雖然題目已知給的是梯形的角和相關(guān)的角平分線。但本題的證明思路，不論是上述的哪一種問法，我們都可通過：即可從“邊”出發(fā)，也可從“角”出發(fā)，來達到解題目的。

如問法一：由梯形AB∥CD，易知∠ABC+∠BCD=1800，由CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，易知∠EBC+∠BCE=900可得到∠CBE=900，即證得：CE⊥BE；

如問法二：如圖a，過點E作EF⊥BC，垂足為F，因為CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理，可得ED=EF=EA。顯然，問法三，也可如此解得。

總之，中考數(shù)學的復習中，要讓學生明白數(shù)學其實是不難的，只是理論性較強，不要害怕數(shù)學，更不要太緊張。讓學生了解數(shù)學學科的特點，熟記公式，多思考，多挖掘多做題。在學習的過程中通過知識的積累和方法的頓悟達到數(shù)學綜合素養(yǎng)的提高，每個學生的基礎(chǔ)不同，學習態(tài)度也不同，所以要采用的方法也就不同。教師要根據(jù)自己的特點找到適合自己的復習方法，制訂科學合理的復習策略，提升學生的學習能力。

編輯 王愛芳