于海杰

（赤峰學(xué)院 初等教育學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

論連分?jǐn)?shù)的應(yīng)用

于海杰

（赤峰學(xué)院 初等教育學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

實(shí)數(shù)通常用十進(jìn)制數(shù)表示，可寫(xiě)成整數(shù)部分與小數(shù)部分.實(shí)數(shù)也可用連分?jǐn)?shù)表示.本文簡(jiǎn)要介紹連分?jǐn)?shù)的幾點(diǎn)應(yīng)用.

連分?jǐn)?shù)；應(yīng)用

1 連分?jǐn)?shù)的定義

所謂連分?jǐn)?shù)就是一種特殊類(lèi)型的繁分?jǐn)?shù).如

定義 設(shè)a0,a1,a2,……是一個(gè)無(wú)窮實(shí)數(shù)列，ai>0,i≥1.對(duì)于給定的n≥0，我們把表示式

稱(chēng)為有限連分?jǐn)?shù)，通常簡(jiǎn)寫(xiě)為[a0,a1,a2,……,an].

在（1）式中當(dāng)n→∞時(shí)，我們把相應(yīng)的表達(dá)式

稱(chēng)為無(wú)限連分?jǐn)?shù)，通常簡(jiǎn)寫(xiě)為[a0,a1,a2,……,an,…].

2 連分?jǐn)?shù)與實(shí)數(shù)的關(guān)系

定理（1）有限連分?jǐn)?shù)[a0,a1,a2,……,an]是一個(gè)有理數(shù).

（2）任意一個(gè)有理數(shù)都可以表示為有限連分?jǐn)?shù).

（3）任意一個(gè)無(wú)限連分?jǐn)?shù)[a0,a1,a2,……,an,…]是一個(gè)無(wú)理數(shù).

（4）每一無(wú)理數(shù)只有唯一一種方法表示成無(wú)限簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù).

證明略，詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)[1].

3 連分?jǐn)?shù)的截?cái)嘀?/h2>

利用分?jǐn)?shù)的連分?jǐn)?shù)表達(dá)式的逐次截?cái)嘀悼汕蟪鲈摲謹(jǐn)?shù)的近似值.

According to the Japanese guidelines on the gastric cancer treatment issued by JGCA (2011)[13], the algorithm of surgical treatment in patients with GC is as follows (Figure 7).

其截?cái)嘀狄来问牵?/p>

可以發(fā)現(xiàn)以下不等式：a0

這說(shuō)明上述連分?jǐn)?shù)的逐次截?cái)嘀祻淖蟆⒂覂蓚€(gè)方向交叉地逐次逼近真值.可以證明，任意一個(gè)數(shù)的連分?jǐn)?shù)的逐次截?cái)嘀刀加羞@個(gè)漸進(jìn)逼近性[1]，每一個(gè)截?cái)嘀捣Q(chēng)為漸進(jìn)分?jǐn)?shù).

4 簡(jiǎn)單應(yīng)用

4.1 無(wú)理數(shù)化為無(wú)限連分?jǐn)?shù)

4.2 有理數(shù)化為有限連分?jǐn)?shù)

將有理數(shù)化為有限連分?jǐn)?shù)，用輾轉(zhuǎn)相除法即可得到.

4.3 連分?jǐn)?shù)在求解一元二次方程方面的應(yīng)用

例3求x2-3x-1=0的解.

依次得到方程的近似解，而且越往后越精確：3，3.3，L，3.333,3.303L

4.4 利用連分?jǐn)?shù)求最大公約數(shù)[3]

例4求61446與18326的最大公約數(shù).

4.5 連分?jǐn)?shù)在歷法方面的應(yīng)用[4]

閏年，是陰歷中的一種現(xiàn)象，固定在二月，比平年加一天即29天.我們通常所說(shuō)的一年365天，其實(shí)是個(gè)約數(shù)，比較準(zhǔn)確的應(yīng)該是365.2422天.那么一年365天就與實(shí)際一年少0.2422日，這樣四年后就比實(shí)際的四年少了近一天，為了彌補(bǔ)這個(gè)差值，歷法中規(guī)定了四年一潤(rùn)，百年少一潤(rùn).

〔1〕王進(jìn)明.初等數(shù)論[M].北京：人民教育出版社，2007.

〔2〕楊中和.二次無(wú)理數(shù)的連分?jǐn)?shù)[J].西安文理學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008（11）.

〔3〕袁明豪，等.有限簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)的幾個(gè)應(yīng)用[J].黃岡師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2003（23）.

〔4〕徐誠(chéng)浩.連分?jǐn)?shù)與歷法[M].北京：高等教育出版社，2008.

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