周鵬程，畢 勇，孫敏遠(yuǎn)，亓 巖，張仁栗

(1.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049; 2.中國科學(xué)院 光電研究院，北京 100094)

引言

全息三維顯示能夠完美再現(xiàn)自然界的光波信息，提供人眼全部的深度要素，產(chǎn)生來自于真實(shí)自然場景的立體視覺，因此被公認(rèn)為最具前景的3D顯示技術(shù)[1-2]。全息顯示應(yīng)用領(lǐng)域極其寬廣，涵蓋軍事、醫(yī)療、工業(yè)、商業(yè)、教學(xué)、科研、影視、娛樂等各個領(lǐng)域，一旦全息顯示技術(shù)步入應(yīng)用，將會引發(fā)各行業(yè)的產(chǎn)業(yè)升級，其潛在市場規(guī)模極為巨大。

全息顯示最早是1948年，由D. Gabor在電子顯微鏡的研究中發(fā)現(xiàn)和提出，采用膠片記錄經(jīng)物體衍射未聚焦的光學(xué)波前，得到全息圖，然后以相干光照明全息圖，再現(xiàn)出原物體的放大的光學(xué)像[3]。1967年Lohmann等人提出計(jì)算全息技術(shù)[4-5]，使用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生全息圖，不必進(jìn)行實(shí)際的光學(xué)記錄過程，并可以再現(xiàn)虛擬的物體光學(xué)圖像。近年來隨著光電子器件的發(fā)展，以空間光調(diào)制器(spatial light modulator, SLM)為代表的全息顯示設(shè)備能夠方便快捷地加載計(jì)算全息圖，實(shí)現(xiàn)動態(tài)乃至于實(shí)時的激光全息顯示，因而吸引了國際著名研究機(jī)構(gòu)和跨國公司的廣泛關(guān)注[6]，成為全球研究熱點(diǎn)之一。

基于計(jì)算全息和SLM的動態(tài)全息顯示技術(shù)，通過計(jì)算機(jī)產(chǎn)生計(jì)算全息圖(computer-generated hologram, CGH)，然后將CGH加載到SLM上，并經(jīng)過準(zhǔn)直的激光照射，即可產(chǎn)生預(yù)先設(shè)定好的物體的3D圖像?，F(xiàn)有的SLM種類很多，按光調(diào)制方式分類有振幅型、振幅-位相型和純位相型，其中純位相型由于不阻礙光的傳輸，能量利用率高而被廣泛使用。純位相型SLM需要加載的全息圖為純位相型全息圖，也稱相息圖。純位相型CGH的計(jì)算方式分為解析法[7]和迭代法，其中解析法方便快捷，但是產(chǎn)生的3D圖像像質(zhì)差；而迭代法雖然計(jì)算量大，但能夠產(chǎn)生高清的3D圖像。迭代算法包括模擬退火法，基因算法，GS(Gerchberg-Saxton)算法[8]等等,其中GS算法由于收斂速度快，效果好而被廣泛使用。

圖1 基于計(jì)算全息和SLM的三維全息顯示原理示意圖Fig.1 Schematic diagram of 3D holographic display based on computer holography and SLM

最原始的GS算法僅能再現(xiàn)一個平面，為了獲取3D再現(xiàn)圖像，三維GS算法被提出。在三維GS算法中，一個3D物體先沿縱向被離散成多個平面(層析法)，并計(jì)算得到相應(yīng)的CGH，然后再現(xiàn)出這些物平面，從而實(shí)現(xiàn)3D全息顯示。

SLM能夠準(zhǔn)確、快速、方便地再現(xiàn)出光學(xué)波前，因而被廣泛使用，但是它的光學(xué)結(jié)構(gòu)會產(chǎn)生作為噪聲的多級衍射像，嚴(yán)重影響顯示效果。如圖2(a)，所示，橫向上，SLM由像素和像素間隙構(gòu)成，兩者的組成結(jié)構(gòu)是“柵格”結(jié)構(gòu)，在光學(xué)效果上，會產(chǎn)生二維光柵效應(yīng)，將原來的一個圖像變?yōu)槎嗉壯苌湎?，不僅影響顯示，還降低了能量利用效率。具體的多級衍射像效果如圖2(b)所示，圖中列出了x、y方向±1、±2級的衍射像。

圖2 SLM的“柵格”結(jié)構(gòu)和基于SLM的3D顯示中的多級衍射像噪聲Fig.2 Grid-structure of SLM and noise of multi-order diffraction images in 3D display based on SLM

1 基于GS迭代算法的多平面三維全息顯示

1.1 GS算法原理

GS算法是迭代算法，它與解析方法計(jì)算全息圖的區(qū)別在于，解析法通過衍射公式直接計(jì)算物體發(fā)射的光在全息圖平面的光波波前，而GS算法在物體平面和全息圖平面之間構(gòu)建了迭代循環(huán)，并在循環(huán)中通過振幅替換不斷優(yōu)化全息圖，獲得能夠再現(xiàn)出更接近目標(biāo)圖像的全息圖。其流程圖如圖3所示。光的傳播使用傅里葉變換來模擬，振幅替換過程中用目標(biāo)圖像的振幅分布T來取代計(jì)算得到的振幅分布F。

但是傳統(tǒng)的二維GS算法只能輸出一個平面，對于多平面物體，需要用到三維GS算法。如圖4所示，三維GS中，物光的傳播使用菲涅爾衍射公式來模擬，而不是二維GS算法中的傅里葉變換，當(dāng)循環(huán)來到某個平面時，振幅替換被執(zhí)行。

迭代過程涉及的光傳播可通過菲涅爾公式模擬：

(1)

式中：U0和Ud分別是近場和遠(yuǎn)場的復(fù)振幅，反映在圖4中，分別代表全息面和物平面的復(fù)振幅。而在計(jì)算機(jī)中，這一公式可轉(zhuǎn)換為傅里葉變換形式，并可使用快速傅里葉變換算法來加速計(jì)算[9]：

(2)

以2個平面構(gòu)成的物體為例，具體的三維GS的算法程序如下：

1) 開始。全息圖平面，全息面的位相是隨機(jī)位相，振幅為全平面，等于1。

2) 傳播。全息面→平面1，使用菲涅爾衍射公式計(jì)算平面1的復(fù)振幅。

3) 平面1的振幅替換。步驟2)計(jì)算得到的復(fù)振幅中，保留相位，其振幅被其目標(biāo)振幅T1替換。

4) 逆?zhèn)鞑?。平?→全息面，使用菲涅爾衍射公式的逆形式，計(jì)算全息面的復(fù)振幅。

5) 全息面的振幅替換。保留計(jì)算得到的位相，將振幅設(shè)為全平面，等于1。

6) 傳播。全息面→平面2，使用菲涅爾衍射公式計(jì)算平面2的復(fù)振幅。

7) 平面2的振幅替換。程序步驟4) 中計(jì)算得到的復(fù)振幅中，保留相位，其振幅被其目標(biāo)振幅T2替換。

圖3 二維GS算法流程圖Fig.3 Flow chart of 2D GS algorithm

圖4 三維GS算法原理示意圖Fig.4 Schematic diagram of 3D GS algorithm

8) 逆?zhèn)鞑ァＦ矫?→全息面，使用菲涅爾衍射公式的逆形式，計(jì)算全息面的復(fù)振幅。

9) 全息面的振幅替換。保留計(jì)算得到的位相，將振幅設(shè)為全平面，等于1。

10) 重復(fù)步驟2)～9)。

循環(huán)可以通過設(shè)定循環(huán)數(shù)來控制何時停止，也可以設(shè)定如圖3所示的條件來控制何時停止。當(dāng)循環(huán)停止后，將所得全息面的位相值經(jīng)過求余后，得到灰度值，編寫成一個全息圖，作為SLM的輸入信號。求余操作如下：

H(m,n)=mod[φ0(m,n),2π]

(3)

式中：φ0為全息面位相，-M/2≤m≤M/2-1,-N/2≤n≤N/2-1；M、N分別為全息圖在x、y方向上的像素總數(shù)。

1.2 光學(xué)仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了獲得3D圖像，我們進(jìn)行了Matlab平臺上的光學(xué)仿真，和基于SLM的光學(xué)實(shí)驗(yàn)。光學(xué)仿真中，為了將問題簡單化，使用了2個平面構(gòu)成的3D物體，但足以說明所有的基本問題。全息面到平面1距離d1為200 mm，平面1到平面2距離d2為60 mm，工作波長為532 nm。平面1和平面2所要再現(xiàn)的目標(biāo)圖像如圖5所示，分辨率都為1 920像素×1 080像素。全息面和2個物平面的取樣點(diǎn)數(shù)都為1 920×1 080，但是取樣間距不同，全息面取樣間距為8 μm×8 μm，2個物平面的取樣間距需要進(jìn)行計(jì)算。由于我們使用了(2)式所示的菲涅爾公式的傅里葉解析形式，物平面取樣間距可計(jì)算如下[11]：

圖5 目標(biāo)圖像Fig.5 Target images

(4)

式中：Δx0、Δy0為全息面x、y方向取樣間距；Δxd、Δyd是距離全息面為d的物面的取樣間距；M、N是x、y方向的取樣數(shù)。光學(xué)實(shí)驗(yàn)所用的SLM型號為Holoeye公司PLUTO純相位SLM，分辨率1 920像素×1 080像素，像元尺寸8 μm×8 μm，開口率為87%，用到的激光波長為532 nm。仿真模擬結(jié)果和光學(xué)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6和圖7所示。

圖6 數(shù)值模擬的再現(xiàn)結(jié)果Fig.6 Reconstruction results of numerical simulation

圖7 光學(xué)實(shí)驗(yàn)的再現(xiàn)結(jié)果Fig.7 Reconstruction results in optical experiment

本文對灰度圖像進(jìn)行再現(xiàn)，而不是使用如圖2(b)那樣的黑白圖像。這具有很大的困難。因?yàn)榛叶葓D像的信息量大，再現(xiàn)難度高，國內(nèi)外研究者絕大多數(shù)都使用黑白圖像。而本文中，灰度圖像的數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果都很清晰，這解決了灰度圖像的再現(xiàn)難題。這一結(jié)果歸功于GS算法的高精度，它能夠獲得解析算法難以達(dá)到的再現(xiàn)清晰度。

值得注意的是，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值結(jié)果相比，圖像縱橫比發(fā)生了變化，這與物平面的非均勻取樣有關(guān)。由(3)式得到圖像縱橫比與其在x、y方向取樣間距密切相關(guān)：

(5)

反比于全息面取樣間距之比，本文中Lx∶Ly=1,所以實(shí)驗(yàn)結(jié)果中圖像為正方形。

除了以上的二平面物體，我們還構(gòu)建了由100個平面構(gòu)成的立方體，并完成了其全息顯示，光學(xué)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8所示。本文中，圖7和圖8的3D圖像都是實(shí)像，由屏幕承接而得，這樣方便記錄。

圖8 100個平面構(gòu)成的立方體的再現(xiàn)圖像Fig.8 Reconstruction image of a cubic made of 100 planes

對于實(shí)際的3D顯示，我們可以使用虛像，具體的做法是對計(jì)算得到的全息面復(fù)振幅取共軛，這樣得到的3D圖像立體感更強(qiáng)。

2 平移位相函數(shù)消除多級衍射像噪聲

2.1 柵格效應(yīng)對再現(xiàn)像的影響

在圖7和圖8中，觀察到的不是單獨(dú)的3D圖像，而是許多重復(fù)的、亮度強(qiáng)弱不一的圖像，其產(chǎn)生原因是由于LCOS的柵格結(jié)構(gòu)構(gòu)成了二維光柵，使入射光發(fā)生了光柵衍射效應(yīng)，產(chǎn)生了多級衍射光[10]。

由(2)式可以得到無柵格效應(yīng)前的再現(xiàn)像為

U(x,y)=P1·F{U0(x0，y0)·P2}

(6)

P1和P2對應(yīng)著(2)式中的復(fù)振幅項(xiàng)。引入柵格效應(yīng)后，又引入一個復(fù)振幅項(xiàng)P3，則再現(xiàn)像為

Ug(x,y)=P1·F{U0(x0,y0)·P2·P3}=

P1·F{U0(x0,y0)·P2}?F(P3)=

U(x,y)?F(P3)

(7)

式中：?表示卷積；P3是光柵的透過率函數(shù)，這里不考慮光柵口徑的影響，于是有：

(8)

式中：a是光柵周期，對于SLM等于像素尺寸；a0是開口大?。籥0/a是SLM的開口率，則有：

(9)

圖9 SLM再現(xiàn)像強(qiáng)度分布Fig.9 Intensity distribution of reconstruction image

2.2 多級衍射像的削弱

在光學(xué)再現(xiàn)像中，雖然有多級衍射再現(xiàn)像，但是±1級衍射像能量占據(jù)了絕大多數(shù)，其他級次能量微不足道。但是±1圖像分散成了4個圖像，能量分散了，而且也不利于顯示。如果對再現(xiàn)像位置進(jìn)行平移，使之占據(jù)零級干涉極大，能量將集中于中央位置，以提高能量利用率。平移后強(qiáng)度分布如圖9(b)所示。

要在像空間產(chǎn)生平移，根據(jù)傅里葉變換位移定律，只需全息面進(jìn)行相移[11]即可：

(10)

(11)

因此，全息面的相移量為

φs(m,n)=πm+πn

(12)

則全息面上的位相分布為

H(m,n)=mod[φ0(m,n)+φs(m,n),2π]=mod[φ0(m,n)+π(m+n),2π]

(13)

在圖8立方體對應(yīng)的全息圖中附加相移函數(shù)，產(chǎn)生新的全息圖，并加載于SLM上，光學(xué)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖10所示。

圖10 多級衍射像噪聲的削弱Fig.10 Elimination of multi-order diffraction images

再現(xiàn)圖像由原來的4個較亮的圖像變?yōu)橐粋€非常亮的圖像，圖像的亮度大為提高，能量效率大幅度提高。具體的x、y都施加平移時，平移前后光強(qiáng)之比為

(14)

式中a0/a是SLM的開口率，對于Holoeye PLUTO SLM,該值為87%，則前后光強(qiáng)比為0.263 6∶1，平移后零級能量是之前1級像能量的379%。

3 結(jié)論

動態(tài)激光全息三維顯示技術(shù)具備全視差，完全再現(xiàn)自然光波信息的優(yōu)點(diǎn)，相對于市場上其他3D顯示技術(shù)而言，全息3D顯示技術(shù)在基本物理原理上具備無可比擬的優(yōu)越性，是最有發(fā)展前景的3D技術(shù)。本文基于層析法和GS算法，計(jì)算了多平面物體的全息圖，獲得了灰度圖像的清晰再現(xiàn)像，產(chǎn)生了由100個平面構(gòu)成的立方體的3D圖像。在此基礎(chǔ)上，本文使用位相平移函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了再現(xiàn)像平面的圖像平移，將多個級次的衍射像變?yōu)閱蝹€零級衍射像，能量利用率提升到原來的379 %，多級衍射像噪聲被大幅度削弱。接下來，我們將對基于GS算法的全息圖計(jì)算的加速開展研究，以期獲得高速動態(tài)全息顯示。

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