劉 希

(華南理工大學(xué) 廣州學(xué)院 電氣工程學(xué)院，廣東 廣州510800)

引言

二次光學(xué)設(shè)計(jì)是非成像光學(xué)[1]領(lǐng)域的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，尤其體現(xiàn)在燈具設(shè)計(jì)和照明應(yīng)用上。對光源進(jìn)行二次光學(xué)設(shè)計(jì)(也稱二次配光設(shè)計(jì))的方法大致分為兩種：試錯(cuò)法和直接法。

傳統(tǒng)的光學(xué)自由曲面設(shè)計(jì)，是已知光學(xué)面型和光學(xué)特性后計(jì)算像面質(zhì)量，或?qū)崪y指定照明面上的光強(qiáng)分布，再經(jīng)過反復(fù)優(yōu)化得到所需要的光學(xué)面型，這種方法被稱為試錯(cuò)法[2-3]。這種方法在很大程度上依賴于工程師的經(jīng)驗(yàn)，耗時(shí)長，設(shè)計(jì)效率低。

直接法是一種能夠直接根據(jù)光源特性和目標(biāo)出光分布得到所需要光學(xué)面型的方法。它相對傳統(tǒng)的試錯(cuò)法具有更高的設(shè)計(jì)效率，適用范圍更廣。目前直接法主要是通過數(shù)值分析方法求解微分方程組來構(gòu)造光學(xué)自由曲面，微分方程組的建立和求解過程都比較復(fù)雜，由于求解步驟繁多帶來的累進(jìn)誤差較大，因此一定制度上限制了微分方程組直接法的應(yīng)用。

本文針對旋轉(zhuǎn)對稱反射器的設(shè)計(jì)，應(yīng)用環(huán)帶法的原理，避開微分方程組求解的復(fù)雜性，建立簡單的二元一次方程組求解反射曲線，實(shí)現(xiàn)了對光源的精確二次配光[4]。此方法操作簡單、實(shí)用、適用范圍廣而且效果明顯。

1 前提假設(shè)

方法介紹之前須作以下兩點(diǎn)前提假設(shè)：

1) 簡化實(shí)際光源。

為了最大程度地向?qū)嶋H問題靠攏，又不增加設(shè)計(jì)工作的復(fù)雜性，有必要也有可能對實(shí)際光源進(jìn)行簡化，簡化后的這種光源的配光分布與實(shí)際光源相同，不考慮體積大小，即從體積上為點(diǎn)光源。另外，本環(huán)帶法適用的光源配光曲線必須為旋轉(zhuǎn)對稱型。

2) 獲取目標(biāo)配光曲線。

應(yīng)用環(huán)帶法計(jì)算所需要光學(xué)面型，必須已知光源特性和目標(biāo)出光分布。這里的目標(biāo)出光分布指由具有確定相對位置關(guān)系的光源和反射器組成的燈具光學(xué)組件(以下簡稱燈具光學(xué)組件)出射光的光強(qiáng)分布，也稱配光曲線。

2 設(shè)計(jì)原理

將光源的對稱軸線與反射器旋轉(zhuǎn)對稱軸(以下都稱為光軸)重合放置組成燈具光學(xué)組件，由于光源自身的出光分布具有旋轉(zhuǎn)對稱性，于是燈具光學(xué)組件的出光分布也具有旋轉(zhuǎn)對稱性。燈具光學(xué)組件的出光分布由光源直接出射和光源光線經(jīng)過反射器反射兩部分光線疊加而成。應(yīng)用環(huán)帶法的思路，將光源的出光分布和燈具光學(xué)組件的出光分布分別按一定的角度間隔平均劃分為不同的環(huán)帶區(qū)間，根據(jù)兩者不同環(huán)帶區(qū)的光通量值差異進(jìn)行一系列的對比分析，可以確定θ～α(θ)的對應(yīng)關(guān)系，如圖1所示，也即確定以θ角入射到反射器的光線應(yīng)反射到多大的α角中去。

根據(jù)幾何光學(xué)知識(shí)，θ～α(θ)的對應(yīng)關(guān)系完全可由反射面入射點(diǎn)處的曲率和斜率來決定。具體到旋轉(zhuǎn)對稱反射器的設(shè)計(jì)，則可以簡化為二維曲線的計(jì)算，反射曲線的一階導(dǎo)數(shù)則對應(yīng)曲線的斜率，這就意味著反射曲線的線形可以通過求解由斜率構(gòu)成的二元一次方程組得到。

圖1 反射器設(shè)計(jì)原理示意圖Fig.1 Schematic diagram of reflector design principle

3 詳細(xì)設(shè)計(jì)步驟

根據(jù)上述環(huán)帶法的原理，應(yīng)用環(huán)帶法設(shè)計(jì)反射器的詳細(xì)設(shè)計(jì)步驟分為以下3步。

1) 第一步，確定θ～α(θ)的對應(yīng)關(guān)系。

如圖1所示，以光源點(diǎn)為原點(diǎn)O，燈具光學(xué)組件光軸為x軸，從原點(diǎn)出發(fā)向反射器開口方向?yàn)閤軸正方向，光源的光強(qiáng)分布為Is(θ)，θ表示從光源出射的光線與x軸的夾角；燈具光學(xué)組件的光強(qiáng)分布為Io(α)，α表示由燈具光學(xué)組件出射的光線與x軸的夾角。詳細(xì)步驟如下：

φo(αi-1,αi)=Io(αi-1+Δα/2)·Ωi

(1)

式中：α0=0；Io(αi-1+Δα/2)表示第i環(huán)帶內(nèi)中值角度上的光強(qiáng)；Ωi表示第i環(huán)帶的環(huán)帶常數(shù)，也即αi-1～αi環(huán)帶所對應(yīng)的立體角。Ωi可用(2)式表示：

Ωi=2π·(cosαi-1-cosαi)

(2)

(2) 選擇一個(gè)合適的燈具效率值η，于是所需光源的光通量為Φn=Φo/η。

查找選擇具有旋轉(zhuǎn)對稱光強(qiáng)分布且光通量與Φn接近的實(shí)際光源型號(hào)，同時(shí)根據(jù)所選光源類型的光效可大概估算所需光源的功率P，最終確定光源的實(shí)際光通量Φs必須滿足Φs>Φn。光源的光強(qiáng)分布可通過光源廠商提供的光源說明書或使用分布光度計(jì)實(shí)際測量得到，針對光源的光強(qiáng)分布Is(θ)，作步驟1)一樣的處理，劃分的角度間隔Δθ與Δα相等，得到光源各環(huán)帶內(nèi)的光通量φs(θi-1,θi)。

(3) 對比Is(θ)和Io(α)對應(yīng)環(huán)帶上的光通量，確定一個(gè)分界角度值θc。

光源從0～θc區(qū)域內(nèi)直接出射的光線都是燈具光學(xué)組件所需有用的光線，這部分光線的光通量Φsd由此區(qū)域所包括的所有環(huán)帶的光通量相加得到，而其余部分的光線必須通過反射器反射后再出射，這部分光線的光通量為Φs-Φsd。若反射器表面反射率為ρ，光學(xué)部件阻擋引起的光損為δ，實(shí)際能從反射器中反射出來的光通量為

Φsr=(Φs-Φsd)·ρ·(1-δ)

這樣實(shí)際可利用的光源光通量為Φsu=Φsd+Φsr。必須確保光源的光通量有一定的設(shè)計(jì)余量，即要滿足Φsu>Φo，這說明了采用此光源是可行的，否則須選擇更高光通量的光源。

(3)

其中φsr(θi-1,θi)則由對應(yīng)環(huán)帶的φs(θi-1,θi)乘以ρ·(1-δ)得到。

(4) 將θc～θ(或θ～180°)范圍內(nèi)所包含的所有環(huán)帶的光通量值φsr(θi-1,θi)進(jìn)行求和得Φr(θ)，如下式：

Φr(θ)=∑φsr(θi-1,θi)

(4)

(5)

在確定θ～α(θ)關(guān)系時(shí)，須留意以下事項(xiàng)：同一個(gè)光源采用4種不同的反射器模式有可能得到相同的出光分布效果，如圖2所示。設(shè)計(jì)者可根據(jù)具體的設(shè)計(jì)需求選擇不同的反射器模式。

圖2 4種不同反射器模式Fig.2 Four kinds of reflective patterns

2) 第二步，利用θ～α(θ)的關(guān)系和簡單的解析幾何知識(shí)列出二元一次方程組，求解方程組得出反射面母線線形。

詳細(xì)的求解過程如下：

(1) 獲得反射面母線在各環(huán)帶與光軸夾角β。

由圖2中可以看出，對于一組確定的θ～α(θ)關(guān)系，對應(yīng)兩種反射器模式，如圖2(a)、圖2(c)或圖2(b)、圖2(d)所示兩種反射器。對于光源投向反射器的光線和反射回的光線，前者居反射軸線兩側(cè)，后者卻居同側(cè)，它們在尺寸大小上有很大的差別。

從圖2(a)中，列出式(6)：

β+α+(180-θ-α)/2=90

(6)

從圖2(c)中，列出式(7)：

β-α+(180-θ+α)/2=90

(7)

簡化(6)式和(7)式，得(8)式：

(8)

圖2(c)模式在實(shí)際應(yīng)用時(shí)有可能無解，因此不能生成光滑的曲線，所以一般情況下選擇圖2(a)模式。

(2) 列二元一次方程組，求解方程組。

任一環(huán)帶對應(yīng)的反射面母線的折線斜率為tanβj，根據(jù)解析幾何知識(shí)，任一環(huán)帶間兩點(diǎn)(xj-1,yj-1)和(xj,yj)的坐標(biāo)可用方程組(9)表示：

(9)

其中(9)式上式表示反射面母線的第i段折線的直線方程，(9)式下式表示從光源發(fā)出的第j個(gè)間隔角度光線的直線方程。

解方程組(9)，得xj、yj：

(10)

設(shè)定反射面母線的邊界起點(diǎn)為PO(xO、yO)，由第一步的設(shè)計(jì)過程可知xO、yO必須滿足以下關(guān)系式：

yO/xO=tanθc

(11)

將(xO、yO)代入(10)式中的(xj-1、yj-1)，便得到反射面母線下一點(diǎn)的坐標(biāo)(x1、y1)。其他各點(diǎn)坐標(biāo)

均可依次求出，不同的是將x1、y1的值作為xO、yO來處理，βj與θj另取新值。重復(fù)上述過程就可得到組成所需要反射面母線的一系列坐標(biāo)點(diǎn)。

說明一下，對θ和α的劃分越密，計(jì)算越精確。其次，若從設(shè)定的xO、yO算出的xN、yN與原點(diǎn)位置過近以至無法安放光源或光源離反射面過分靠近的話，必須另選xO、yO重新計(jì)算，直到符合要求。

3) 第三步，構(gòu)建模型，模擬仿真，計(jì)算設(shè)計(jì)吻合程度系數(shù)R。

把第二步計(jì)算得到的坐標(biāo)數(shù)據(jù)導(dǎo)入3D結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)軟件(例如ProE)中生成反射面母線，將反射面母線繞對稱軸旋轉(zhuǎn)一周構(gòu)成反射面進(jìn)而構(gòu)建反射器實(shí)體；將反射器實(shí)體文件再導(dǎo)入光學(xué)仿真軟件(例如TracePro、Lightools)并添加構(gòu)建光源模型，模擬仿真得出模擬配光曲線。

設(shè)計(jì)吻合程度系數(shù)R值越大，說明效果越優(yōu)，設(shè)計(jì)與要求的吻合程度越高。R由(12)式定義：

R=1-S

(12)

其中S為標(biāo)準(zhǔn)差，用(13)式表示：

(13)

4 應(yīng)用實(shí)例

已知針對朗伯型LED光源，設(shè)計(jì)一個(gè)具有圖3所示配光曲線的反射器，出光角度全角為60°。

圖3 需要得到的燈具配光曲線Fig.3 Target light distribution of luminaire

按照第3節(jié)所闡述的詳細(xì)設(shè)計(jì)過程，一些關(guān)鍵參數(shù)的設(shè)定如下：

1) 選取Δα=5°進(jìn)行環(huán)帶劃分，燈具光學(xué)組件出射的總光通量Φo=75.7 lm。

2) 設(shè)定燈具效率值η=80%，所需光源光通量Φn=75.5/0.8=94.6 lm，選取1 W的LED光源，其光通量Φs=100 lm，其光強(qiáng)分布選擇理想朗伯型分布I=I0·cosθ，如圖4所示。同樣取Δθ=5°進(jìn)行環(huán)帶劃分。

圖4 光源的配光曲線Fig.4 Light distribution of lighting source

3) 通過對比Is(θ)和Io(α)對應(yīng)環(huán)帶上的光通量不難確定分界角度值θc=35°，從光源直接出射的光線的光通量Φsd=32.7 lm。設(shè)反射器表面反射率為ρ=85%，光損率δ=0，實(shí)際上從反射器中反射出來的光通量為Φsr=(100-32.7)×0.85×(1-0)=57.2 lm。實(shí)際可利用的光源光通量為Φsu=32.7+57.2=89.9 lm；Φsu>Φo，此光源可行。修正系數(shù)κ=89.9/75.7=1.19。

圖5 θ～α關(guān)系曲線Fig.5 Relationship curve of θ～α

5) 取PO(36，25.2)，計(jì)算反射面母線坐標(biāo)點(diǎn)，將其導(dǎo)入ProE，生成的反射器外觀如圖6(a)所示。用Lightools構(gòu)建整個(gè)燈具光學(xué)組件的光學(xué)模型的光線追跡示意圖如圖6(b)所示，模擬輸出配光曲線如圖7所示。

圖6 反射器外觀圖及其光線追跡示意圖Fig.6 Appearance graph of reflector model and schematic diagram of ray tracing

圖7 反射器模擬輸出配光曲線Fig.7 Simulative output light distribution of reflector model

5 結(jié)果分析

將圖3和圖7畫在同一個(gè)坐標(biāo)系下，如圖8所示。從圖8可出看出，模擬輸出的配光曲線與要求的配光曲線吻合得很好，兩者的一致性程度很高。利用(12)式計(jì)算得到設(shè)計(jì)吻合系數(shù)為98.4%，很好地達(dá)到了設(shè)計(jì)要求。

圖8 不同光源尺寸情況下的模擬配光曲線Fig.8 Comparison of light distribution curves of different light source sizes

應(yīng)用實(shí)例中使用的光源都默認(rèn)為簡化后的點(diǎn)光源，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)一般光源都不可能是理想的點(diǎn)光源。圖8中給出不同尺寸光源情況下(其他條件都與應(yīng)用實(shí)例保持一致)的歸一化模擬輸出配光曲線，計(jì)算得到的R值列于表1。由表1可見，LED光源的出現(xiàn)，使環(huán)帶法的優(yōu)越性得到了充分發(fā)揮，因?yàn)長ED光源相對于傳統(tǒng)光源，在尺寸上可以做得非常小，都能較好地滿足環(huán)帶法的使用條件。目前常規(guī)LED光源的發(fā)光面一般都在2 mm～5 mm之間，由表1可知最差的情況下R值都能達(dá)95%以上。

表1 不同光源尺寸對應(yīng)的R值Table 1 Values of R of different light source sizes

另外，LED光源相比傳統(tǒng)光源，其出光角度范圍大，為0≤θ≤90°，LED與反射器組合后LED自身基本不會(huì)造成擋光，這也是為什么在應(yīng)用實(shí)例中可以取δ=0的原因。再者，即使針對較大尺寸的傳統(tǒng)光源進(jìn)行反射器設(shè)計(jì)時(shí)，合理的選擇δ值，本文提到的環(huán)帶法的設(shè)計(jì)思路和原理性分析都具有一定的借鑒意義。

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