賀宣軍,宋文靜, 夏子倫，鄭鐘志，段 鵬

(云南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500)

Sobolev空間理論的建立，使相關(guān)的其他學(xué)科(如泛函分析，實變函數(shù)，調(diào)和分析等)的知識恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用到當(dāng)代偏微分方程理論研究之中.當(dāng)代偏微分方程解的研究總會在合適的泛函空間中考慮其弱解的性質(zhì)，而Sobolev空間的引進(jìn)(參看文獻(xiàn)[1-2])則為這一研究提供了有效的方法.借助Sobolev空間，可以在更廣泛的函數(shù)類中尋求方程的解，使得可解性變得容易，而這種解被稱為“弱解”或“廣義解”.本文給出了二階雙曲型方程

(1)

在一定假設(shè)條件下弱解正則性的研究.關(guān)于二階雙曲型方程弱解的正則性問題，很多學(xué)者已經(jīng)作出了廣泛的研究，如文獻(xiàn)[2-4]的研究是在偏微分算子L的系數(shù)aij,bi,c光滑并且與時間t無關(guān)的條件下進(jìn)行的.本文對系數(shù)的要求范圍進(jìn)行拓寬，使系數(shù)關(guān)于x光滑的同時與時間t有關(guān)，只要對系數(shù)稍加限制便可獲得與文獻(xiàn)[2]同樣的結(jié)論.

1 準(zhǔn)備知識

也就是說，與時間有關(guān)的偏微分算子L是滿足上述已知條件的橢圓型算子，且L具有散度形式：

(2)

(3)

則得到(1)的弱解,這種求解方法叫做“Galerkin逼近法”.

(4)

(5)

(6)

2 主要結(jié)果

定理1 ①設(shè)算子L系數(shù)滿足aij(x,·),b(x,·),c(x,·)∈C1([0,T])，且假設(shè)函數(shù)

且

常數(shù)C與U,T及算子L的系數(shù)有關(guān).

② 此外，如果

則有

u″∈L∞(0,T;L2(U))，u″∈L2(0,T;H-1(U))，

且

常數(shù)C與U，T及算子L的系數(shù)有關(guān).

證明

(7)

由aij=aji(i,j=1,2,…,n)，可得

(8)

由式(8)可得

(9)

同時有

綜合以上不等式得：

(10)

又根據(jù)雙曲型算子的條件可得A[u,u;t]的正定性,即

(11)

該不等式結(jié)合(10)式可得

(12)

可得

(13)

(14)

由(13)，(14)式得

(15)

現(xiàn)在記

(16)

把(16)式代人到(12)式得η′(t)≤C1η(t)+C2ζ(t)，a.e.0≤t≤T，根據(jù)Graonwall's不等式得

(17)

根據(jù)(4)，(5)，(15)式及A[u,v;t]的有界性可得

(18)

因此可由(16)～(18)式推出

因為0≤t≤T時t具有任意性，可由(11)式和上式推得

(19)

取極限(m=ml→∞時)，可得到①的結(jié)論.

(20)

(21)

特別有

由本步驟中上述幾個不等式可推得

(22)

這里的雙線型A[·,·;·]和前文定義的相同.

(23)

因為Δum=0， ?x∈?U所以B[um,-Δum]=(Lum,-Δum),接下來引用不等式:

(24)

可推得

(25)

(26)

把(25)式應(yīng)用于(26)式，根據(jù)Gronwall′s不等式可得

(27)

其中第2個不等式用到(6)式，第3個不等式用到(19)式和估計式[2]

取極限m=ml→∞時,可以得到u同樣的有界性.

所以有

由定義可得

對上式關(guān)于t在區(qū)間[0,T]上積分并結(jié)合(27)式得

取極限m=ml→∞時，可得u?∈L2(0,T;H-1(U))及和②的結(jié)論一樣的關(guān)于u?的估計式.

參考文獻(xiàn):

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