王小斌,張宇功,范學(xué)良

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理與軟件工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

混沌是非線性系統(tǒng)所獨(dú)有且廣泛存在的一種非周期運(yùn)動(dòng)形式,它作為動(dòng)力學(xué)的一個(gè)分支，廣泛地存在于多個(gè)科學(xué)領(lǐng)域.近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)等的迅速發(fā)展，關(guān)于非線性系統(tǒng)混沌學(xué)的研究引起了大量學(xué)者的關(guān)注[1-13].當(dāng)前混沌理論研究主要從以下幾個(gè)方面展開：產(chǎn)生混沌的機(jī)理和途徑；混沌的判據(jù)和統(tǒng)計(jì)特性；奇怪吸引子和吸引域的幾何結(jié)構(gòu)；各類系統(tǒng)中混沌現(xiàn)象的深入研究；混沌的控制和工程應(yīng)用.

在非線性科學(xué)中，混沌現(xiàn)象指的是一種確定的但不可預(yù)測(cè)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，它是非線性動(dòng)力系統(tǒng)的固有特性，是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象.常見的典型混沌系統(tǒng)有：Lorenz系統(tǒng)，Rossler系統(tǒng)[4]，Chua電路[6]，Duffing振子[11]，Logistic系統(tǒng)，Henon映射[10]等等.本文以上田振子系統(tǒng)為模型，通過(guò)對(duì)其進(jìn)行理論和非線性動(dòng)力學(xué)行為等的分析，運(yùn)用數(shù)值仿真驗(yàn)證了混沌的特性,并用反饋線性化方法控制了該系統(tǒng)的混沌，將其控制到穩(wěn)定的周期軌道，利用數(shù)值模擬驗(yàn)證了它的有效性.

1 上田振子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析

1.1 上田振子系統(tǒng)模型及其混沌吸引子

考慮如下形式的上田振子系統(tǒng)：

選取一組參數(shù)：m=1,k=1,ω=1,c=0.05,當(dāng)F0=7.5時(shí)，取系統(tǒng)初值為(10，10)，利用Matlab求得該系統(tǒng)的2個(gè)Lyapunov指數(shù)為：λ1=0.13,λ2=-0.14.說(shuō)明系統(tǒng)在該組參數(shù)下進(jìn)入了混沌狀態(tài).這組參數(shù)下的混沌吸引子相圖如圖1.

從圖1可以明顯地看到，混沌吸引子具有極其復(fù)雜的圖像，其運(yùn)動(dòng)也是極不穩(wěn)定的，且具有復(fù)雜的折疊和拉伸軌線，吸引性很強(qiáng).

由于該系統(tǒng)是耗散系統(tǒng)，故而我們接下來(lái)考慮它的散度：

1.2 Poincare截面圖及其時(shí)間響應(yīng)圖

顯然，從圖2可以看到，截面上所呈現(xiàn)的是一些成片的具有分形結(jié)構(gòu)的密集點(diǎn)，因此，毫無(wú)疑問(wèn)，此時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)就是混沌. 系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)的時(shí)間響應(yīng)具有非周期性，解的流對(duì)初始條件非常敏感，這是混沌運(yùn)動(dòng)的典型特征. 在該組參數(shù)下系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)圖如圖3所示.

1.3 分岔圖及其Lyapunov指數(shù)圖

Lyapunov指數(shù)反映的是初值狀態(tài)的敏感性，它所表示的數(shù)學(xué)特征為相空間中鄰近軌跡的平均指數(shù)發(fā)散率. 若系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生改變，則系統(tǒng)平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性必定發(fā)生改變，從而導(dǎo)致系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化，利用系統(tǒng)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)圖可以直觀明了地觀察系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化情況. 因此，分岔圖和Lyapunov指數(shù)圖是研究系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的一種最有力且必不可少的工具. 圖4為在該組參數(shù)下時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)圖，圖5為其時(shí)域波形圖，它反映了隨時(shí)間的變化系統(tǒng)相應(yīng)運(yùn)動(dòng)的變化.圖6給出了系統(tǒng)隨參數(shù)F變化時(shí)的分岔圖，圖7為隨參數(shù)F變化的Lyapunov指數(shù)圖.圖8、9分別為系統(tǒng)在參數(shù)c變化時(shí)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)圖。從這些圖我們可以看到：當(dāng)Lyapunov指數(shù)大于0時(shí)，必將產(chǎn)生混沌區(qū)域.當(dāng)Lyapunov指數(shù)從正值到0再到負(fù)值時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生切分岔現(xiàn)象.當(dāng)Lyapunov指數(shù)由負(fù)值到0再到負(fù)值時(shí)，則發(fā)生倍周期分岔. 當(dāng)其從負(fù)值到0再到正值時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)恰好從周期運(yùn)動(dòng)過(guò)度到混沌運(yùn)動(dòng). 由圖4～9可知該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為特點(diǎn).

2 控制上田振子系統(tǒng)中的混沌

下面將這一理論運(yùn)用于上田振子系統(tǒng)

式中m,c和k分別為系統(tǒng)的參數(shù)，F(xiàn)0和ω分別為外加周期激勵(lì)信號(hào)的振幅和頻率，x為系統(tǒng)t時(shí)刻的狀態(tài). 并且當(dāng)m=1,k=1,ω=1,c=0.05時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).

下面對(duì)系統(tǒng)施加控制，輸入控制信號(hào)u，相應(yīng)系統(tǒng)變形為：

其對(duì)應(yīng)的矢量場(chǎng)f和g(其中f，g為定義域D?Rn上的光滑向量場(chǎng))分別為：

z1=x1；

由于該系統(tǒng)是2階的，由文獻(xiàn)[4]可得相應(yīng)輸入變換：

通過(guò)以上變換，可得

3 仿真分析

為了驗(yàn)證上述反饋線性化控制方法的可行性，以不穩(wěn)定平衡點(diǎn)x=(0,0)為例，假設(shè)外部輸入v=-6z1-8z2，取初值為(-1,0.5)，對(duì)系統(tǒng)的混沌進(jìn)行控制，圖10和11為上田振子系統(tǒng)控制前后的相圖，由仿真結(jié)果可知，通過(guò)反饋線性化方法將上田振子混沌系統(tǒng)控制到了不穩(wěn)定平衡點(diǎn)(0,0).

當(dāng)參數(shù)m=1,k=1,ω=1,c=0.05,F0=7.5時(shí)，上田振子系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，接著選擇反饋控制器q1=0,q2=px1. 分別加到上田振子系統(tǒng)的2個(gè)方程上，得到受控系統(tǒng)為：

圖12、13是受控系統(tǒng)的反饋增益系數(shù)p關(guān)于x的分岔圖及其對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)圖.

由圖12、13可知，當(dāng)取反饋增益p=1.0時(shí)，系統(tǒng)由混沌狀態(tài)變?yōu)橹芷诮? 與圖1相比，受控系統(tǒng)的相平面如圖14所示.

仿真結(jié)果表明設(shè)計(jì)的控制器可以將這一混沌系統(tǒng)控制到穩(wěn)定的周期軌道.

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)Poincare截面圖、時(shí)間響應(yīng)圖、隨系統(tǒng)單個(gè)參數(shù)變化的分岔圖和Lyapunov指數(shù)圖對(duì)上田振子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了分析，得到了該系統(tǒng)參數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，最后通過(guò)非線性系統(tǒng)的反饋線性化方法，將混動(dòng)系統(tǒng)化為線性系統(tǒng)，成功地控制了該混沌系統(tǒng)，并將其控制到一個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)(0,0). 接著又通過(guò)設(shè)計(jì)線性反饋控制器，進(jìn)一步將混沌控制到穩(wěn)定的周期軌道，仿真結(jié)果驗(yàn)證了它們的有效性.

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