嚴(yán)捷冰， 楊會杰

（上海理工大學(xué)管理學(xué)院，上海 200093）

行走取決于非常復(fù)雜的控制機(jī)制，它是由運(yùn)動系統(tǒng)執(zhí)行的復(fù)雜的、有節(jié)奏的任務(wù).跨步時(shí)間變異性（stride duration variability）被視為步態(tài)平衡的標(biāo)志，大多數(shù)研究都集中在自發(fā)步行速度的跨步時(shí)間變異性上.目前主要的研究方法有兩種：統(tǒng)計(jì)學(xué)方法和復(fù)雜性理論.前者主要考察序列漲落的量級，有研究表明，較大的標(biāo)準(zhǔn)差（SD）和變異系數(shù)（CV）與步伐不穩(wěn)定［1－2］和容易摔倒［3－6］有關(guān).后者主要研究漲落的動力學(xué)特性，其中，通過計(jì)算序列的分形指數(shù)考察序列的長程相關(guān)性質(zhì)是重要的復(fù)雜數(shù)學(xué)方法之一.

Hausdorff等［7］在1999年發(fā)表了一篇研究兒童步態(tài)成熟的文章，研究了50個(gè)3～14歲孩子的行走序列，用多種方法論證了他們的觀點(diǎn)，即對于3～14歲的孩子來說，他們的步態(tài)有隨年齡的增長趨于更加穩(wěn)定的趨勢.文獻(xiàn)［7］應(yīng)用二階去趨勢漲落分析法（DFA－2）選取觀察窗口的范圍為10≤n≤20，計(jì)算每一組數(shù)據(jù)的分形指數(shù)，并指出11～14歲孩子的行走序列的分形指數(shù)比3～4歲和6～7歲孩子的行走序列的分形指數(shù)小得多.Bollens等［8］基于不同的實(shí)驗(yàn)樣本，對不同年齡段的人，用重標(biāo)極差法（R／S分析法）分析了他們的行走序列（長度為512步）的分形指數(shù).研究結(jié)果表明，行走序列的分形指數(shù)與人的年齡并沒有必然的關(guān)系.然而，Pacheco等［9］的研究結(jié)果表明，在序列長度達(dá)到215時(shí)，像去趨勢漲落分析（DFA）這樣基于方差的方法能給出偏差較小（偏差小于0.05）的赫斯特指數(shù)，對于長度小于215的序列來說，基于方差的方法的計(jì)算結(jié)果的偏差較大（偏差大于0.05）；而R／S分析法在序列長度為26～216范圍內(nèi)始終有較大的偏差（偏差大于0.05）.鑒于行走序列屬于短序列（29），而上述兩種方法在處理這種長度的序列時(shí)都有較大的偏差，且基于不同方法得出的結(jié)果互相矛盾.因此，使用更為可靠的、適合分析短序列的方法重新評估這50個(gè)3～14歲孩子的行走序列的分形指數(shù)是十分必要的.為了能有效地計(jì)算短序列的分形指數(shù)，文獻(xiàn)［10］提出了擴(kuò)散熵的平衡估計(jì)（BEDE），從現(xiàn)有的研究結(jié)果來看，該方法能在較高的精度下計(jì)算出102的短序列的分形指數(shù)［10－11］.

本文應(yīng)用DFA－2在更大的尺度上計(jì)算了每一個(gè)序列的分形指數(shù)，以考察在較大的尺度上DFA－2的計(jì)算結(jié)果是否與文獻(xiàn)［7］中的計(jì)算結(jié)果相吻合.然后，應(yīng)用BEDE重新計(jì)算出了每個(gè)樣本序列的分形指數(shù)，并將其與DFA－2的結(jié)果進(jìn)行了對比.在上述兩個(gè)計(jì)算結(jié)果中，均沒有發(fā)現(xiàn)Hausdorff等在文獻(xiàn)［7］提到的現(xiàn)象，計(jì)算結(jié)果顯示，行走序列的分形指數(shù)與實(shí)驗(yàn)對象的年齡無明顯關(guān)系，這與Bollens等［8］的最新研究結(jié)果相類似.

Scafetta等［12］在提出擴(kuò)散熵分析（DEA）的文章中推導(dǎo)出了DEA的標(biāo)度參數(shù)δ與基于方差的方法的指數(shù)H，在序列具有分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動特征的時(shí)候滿足δ－H，而當(dāng)序列具有Levy行走特征時(shí)滿足δ本文在上述研究的基礎(chǔ)上，又對這50個(gè)樣本序列是否具有分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動或Levy行走的特征進(jìn)行討論.從計(jì)算結(jié)果中可以看到，在“年輕”年齡組中只有1個(gè)樣本具有Levy行走的特征.在“中等”和“年長”年齡組中一共有10個(gè)樣本具有分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的特征，在這2個(gè)年齡組中也有10個(gè)樣本具有Levy行走的特征，其中，又有7個(gè)樣本數(shù)據(jù)同時(shí)具有分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動和Levy行走的特征.

1 材料與方法

1.1 數(shù)據(jù)的來源與處理

本文沿用了Hausdorff等在文獻(xiàn)［7］中使用的數(shù)據(jù)，并且按照文獻(xiàn)［7］中敘述的辦法對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，除去了一些可能的異常值.

在文獻(xiàn)［7］中，Hausdorff等在400m的跑道上采集了50名3～14歲的健康兒童時(shí)長為8min的自發(fā)步行速度下的行走序列.在獲取數(shù)據(jù)之后按以下3個(gè)步驟去除數(shù)據(jù)中的一些異常值：

第1步 去除前60s以及最后5s的數(shù)據(jù)，以消除啟動和結(jié)束時(shí)可能存在的干擾；

第2步 去除“暫?！保创笥?s的步幅間隔）以及暫停前后各5s的數(shù)據(jù)；

第3步 去除較大的步幅間隔以及其它異常值，其方法是排除原始數(shù)據(jù)中最大和最小的5%的數(shù)據(jù)，計(jì)算剩余數(shù)據(jù)的均值和方差，去除原始數(shù)據(jù)中與該均值相差4倍方差以上的數(shù)據(jù)點(diǎn).

1.2 去趨勢波動分析法

去趨勢波動分析法是Peng等［13］在1994年提出的，其具體步驟如下：給定一個(gè)有界時(shí)間序列xt，t∈?，首先，計(jì)算它的累積離差〈xi〉）；接著，將Xt分割成窗口長度為L的序列Yj，對Yj應(yīng)用最小二乘法求出使其平方誤差最小的擬合函數(shù)；然后，計(jì)算出Yj－的均方根誤差F最后，對不同的窗口大小L重復(fù)上述過程，可得到如下式所示的關(guān)系

式中，指數(shù)α是在雙對數(shù)坐標(biāo)下應(yīng)用最小二乘法求得的L對F（L）作線性擬合后的斜率.

1.3 擴(kuò)散熵

為了能有效地計(jì)算短序列的分形指數(shù)，Scafetta等［12］在香農(nóng)熵的基礎(chǔ)上提出了擴(kuò)散熵，擴(kuò)散熵能有效地區(qū)分出復(fù)雜系統(tǒng)中Levy行走序列和分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動序列.在此，對擴(kuò)散熵作簡單的推導(dǎo).

對一維穩(wěn)態(tài)時(shí)間序列｛x1，x2，…，xN｝作相空間重構(gòu)

式中，N為個(gè)數(shù).

從擴(kuò)散的角度出發(fā)，可以將上述N－s＋1個(gè)序列視為一個(gè)從原點(diǎn)出發(fā)走了s步的粒子運(yùn)動軌跡的N－s＋1次抽樣，則第k次抽樣的位移

式中，k指第k次抽樣.

將Yk（s）的分布范圍劃分成M（s）等分并統(tǒng)計(jì)落在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)的位移個(gè)數(shù)n（k，s），k＝1，2，…，M（s）.可用下式來估計(jì)位移的概率分布函數(shù)

上述擴(kuò)散過程的熵估計(jì)可表示為

式中，SDE（s）為擴(kuò)散熵.

如果擴(kuò)散過程具有自相似結(jié)構(gòu)，則有

式中，A是一個(gè)常數(shù).

1.4 擴(kuò)散熵的平衡估計(jì)法

將修正由序列長度是“有限的”所帶來的誤差視為一個(gè)最優(yōu)化問題，因此，定義

則擴(kuò)散熵可表示為

這里，概率p（j，s）∈［0，1］，n（j，s）∈｛0，1，2，…，N－s＋1｝.取平均誤差在整個(gè)p（j，s）∈［0，1］范圍內(nèi)的最小值

式中，w［p（j，s）］是一個(gè)由具體問題所決定的權(quán)重函數(shù)，為簡便起見，可設(shè)w［p（j，s）］＝1.

因此，可得平均誤差

式中，Pn（j，s）［p（j，s）］是二項(xiàng)分布.

要得到最小的平均誤差，就是要求下述偏導(dǎo)數(shù)都等于零.

經(jīng)計(jì)算可得

由此可得擴(kuò)散熵的平衡估計(jì)為

2 結(jié) 果

2.1 分形指數(shù)的計(jì)算

仿照文獻(xiàn)［7］，按照兒童的年齡將這50個(gè)樣本數(shù)據(jù)分成“年輕”、“中等”和“年長”這3組，即3～4歲（編號：1～11），6～7歲（編號：15～34）和11～14歲（編號：39～50）.此外，還有幾個(gè)過渡年齡段的樣本數(shù)據(jù)：5歲（編號：12～14），8歲（編號：35）和10歲（編號36～38）.圖1～4分別顯示了“年輕”年齡組（3～4歲）、過渡年齡段、“中等”年齡組（6～7歲）以及“年長”年齡組（11～14歲）這幾組兒童行走序列樣本在BEDE下分形指數(shù)的擬合結(jié)果.

圖1 3～4歲年齡組的線性擬合Fig.1 Linear data fitting for the group of 3～4－year－olds

如圖1～4所示，k′為斜率.就這50個(gè)樣本數(shù)據(jù)而言，一共有12個(gè)樣本在較大的尺度上不能用一條直線來擬合，它們分別是3，4，6，8，12，13，15，35，38，43，44，47號樣本，不能用直線擬合的數(shù)據(jù)中，在“年輕”組中占的比例最高，在“中等”組中占的比例最小.在這12個(gè)樣本中，8，12，13，15，35，38這6個(gè)樣本與二次或三次多項(xiàng)式符合得非常好，且這6個(gè)數(shù)據(jù)都不屬于“年長”組.此外，7，21，22，30，36，40，49號樣本似乎具有離散分形結(jié)構(gòu)，其中，以7和22這2個(gè)樣本最為明顯.其余的樣本數(shù)據(jù)都在相對較大的尺度范圍內(nèi)可以用一條直線來擬合.

圖2 5，8，10歲樣本的線性擬合Fig.2 Linear data fiting for the group of 5，8and 10－year－olds

2.2 分形指數(shù)的分布

首先應(yīng)用BEDE計(jì)算處理完的數(shù)據(jù)的分形指數(shù)，并與DFA－2的結(jié)果進(jìn)行對比.圖5（a）顯示了BEDE的分形指數(shù)的分布情況，從圖示的結(jié)果來看，沒有看出3個(gè)年齡段之間有什么明顯的區(qū)別，這與DFA－2的結(jié)果相類似，如圖5（b）所示.然而，將窗口范圍限定在10≤n≤20之后，應(yīng)用DFA－2計(jì)算出來的分形指數(shù)則顯示出了如Hausdorff等在文獻(xiàn)［7］中所提到的結(jié)果，即2個(gè)較小年齡組的分形指數(shù)相類似，而最大年齡組的分形指數(shù)明顯小于前2組的，如圖5（c）所示.y為年齡，α為DFA－2的分形指數(shù)，σ為BEDE的分形指數(shù).

圖3 6～7歲年齡組的線性擬合Fig.3 Linear data fiting for the qroup of 6～7－year－olds

圖4 11～14歲年齡組的線性擬合Fig.4 Linear data fiting for the group of 11～14－year－olds

2.3 序列的動力學(xué)特征

Scafetta在提出DEA的同時(shí)，還對基于不同方法計(jì)算出的指數(shù)進(jìn)行了詳細(xì)的對比［12］，研究表明，當(dāng)序列具有分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動特征時(shí)，基于方差的方法的分形指數(shù)與DEA計(jì)算出來的分形指數(shù)是等價(jià)的，即H＝δ.而當(dāng)序列具有Levy行走特征時(shí)，上述兩種方法計(jì)算出來的分形指數(shù)滿足關(guān)系

圖5 行走序列的分形指數(shù)Fig.5 Fractal scaling index of walking series

表1同時(shí)給出了這兩種方法計(jì)算出的所有樣本數(shù)據(jù)的分形指數(shù)，并且對樣本數(shù)據(jù)是否具有分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動或Levy行走的特征作出了判斷.

表1 分形指數(shù)間的關(guān)系Tab.1 Relationship between fractal scaling indices

從表1中可以看到，在“年輕”年齡組中只有1號樣本能被視為Levy行走序列.在“中等”和“年長”年齡組中一共有10個(gè)樣本可以被視為分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動，它們分別是16，17，19，24，30，31，33，39，42，46.在“中等”和“年長”年齡組中也有10個(gè)樣本可以被視為Levy行走，它們分別是16，19，24，30，31，39，40，42，48，50.在這中間，16，19，24，30，31，39，42這7組數(shù)據(jù)同時(shí)滿足分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動和Levy行走.

3 結(jié) 論

研究行走序列對于認(rèn)識人是如何控制行走步態(tài)，以及理解由于某些疾病或者衰老導(dǎo)致的走路不穩(wěn)和摔倒，具有重要的意義.由于行走序列屬于短序列，而現(xiàn)有的研究方法在研究短序列時(shí)的偏差都相對較大，得不到一個(gè)較為可靠的結(jié)果，因此，尋找新的能夠用來分析短序列的可靠方法是十分迫切的需求.

本文應(yīng)用DFA－2重復(fù)了前人的工作，并使用BEDE這一能夠較為精確地計(jì)算出短序列分形指數(shù)的方法研究了50個(gè)兒童行走序列，得到了一些較為有趣的現(xiàn)象.一方面，從本文的計(jì)算結(jié)果來看，并未發(fā)現(xiàn)行走序列的分形指數(shù)與實(shí)驗(yàn)對象的年齡之間存在某種關(guān)系；另一方面，本文的研究結(jié)果顯示，6～7歲和11～14歲年齡組中的部分兒童的行走序列體現(xiàn)出了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動或者Levy行走特征，而這一現(xiàn)象在3～4歲年齡組里則較為罕見.然而，正因?yàn)樵谂袛鄻颖拘蛄惺欠袷欠謹(jǐn)?shù)布朗運(yùn)動或者Levy行走時(shí)應(yīng)用了DFA－2的計(jì)算結(jié)果，對于短序列來說，該結(jié)果的計(jì)算結(jié)果偏差相對較大，因此，嚴(yán)格來說，該結(jié)論還需要在今后進(jìn)一步的研究中加以證實(shí).

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