趙佃立

（上海理工大學理學院，上海 200093）

資產(chǎn)價格過程是金融市場中的一種復雜現(xiàn)象，其中，對資產(chǎn)價格過程的研究是很多學者的主要研究興趣之一.在復雜的問題中，尋找簡單而有效的模型來揭示規(guī)律，是一種有效的嘗試.Fama于1970年提出了有效市場（EMH）的概念，認為證券的價格迅速地反映了所有信息，已經(jīng)不可能從過去的價格趨勢中獲得未來盈利的機會.然而現(xiàn)實中依然存在許多該理論無法解釋的現(xiàn)象，于是通過非有效市場的簡單模型來揭示資產(chǎn)價格的規(guī)律成為有效的方法之一.Sornette，Johansen和Bouchaud［1］建立了資產(chǎn)價格的危機模型，并分析了危機前后資產(chǎn)價格的對數(shù)周期行為，隨后Feigenbaum和Freund［2］通過數(shù)據(jù)驗證了該模型的有效性.方勇和孫紹榮［3］研究了投資者情緒對證券投資的影響.張曉莉和嚴廣樂［4］對滬深股票市場長程記憶相關(guān)性進行了研究.Appleby［5］提出了非有效市場資產(chǎn)價格的趨勢驅(qū)動離散模型，并在確定和不確定情況下討論了資產(chǎn)價格的極限行為.Markov過程是描述和研究資產(chǎn)價格模型的一個重要成分.Appleby與其合作者［6－8］對含有狀態(tài)切換的金融模型進行研究，取得了一些重要的成果，并在文獻［9］中對相關(guān)的方程進行了理論分析.本文基于文獻［5］的工作，假設(shè)股價服從經(jīng)典的Black－Scholes模型，將隨機擾動項推廣為含馬氏驅(qū)動的隨機過程，在給定的適當條件下得到價格的極限.在上述工作的基礎(chǔ)上，考慮每個投資者的投資取向，建立含有馬氏切換的非有效市場資產(chǎn)價格模型；通過考慮投資者價格取向的整體表現(xiàn)，推導出資產(chǎn)價格的波動邊界.

1 模型描述

1.1 模型的建立

Appleby從投資者的角度建立和分析了一類離散趨勢投機模型.假設(shè)資產(chǎn)累計收益

文獻［5－6］討論了上述模型的特例，并分析了資產(chǎn)價格過程在確定性和隨機擾動兩種情況下的極限行為.

本文在上述工作的基礎(chǔ)上，建立趨勢投機者驅(qū)動的馬氏切換資產(chǎn)價格模型.記R（t）為累積平均收益率，定義X（t）＝R（t）－μt，μ為固定收益增長率，則X（t）為資產(chǎn)收益超過固定增長的部分.如果市場存在趨勢投機者，則會利用這一趨勢進行投機行為.演化模型為

式中，υj（t）≤τj（t），j∈｛1，2，3，…，N｝，表示記憶的長度；αj為正實數(shù)，反映了長期和短期之間的比重；N為正整數(shù)，表示投資者個數(shù)；sj和lj為加權(quán)函數(shù)；代表了第j個投資者選取的該資產(chǎn)的短期移動累積收益率；代表了第j個投資者選取的該資產(chǎn)的長期移動累積收益率；Y（t）是隨機擾動項.

由于市場總是或多或少地受到一些不確定因素的影響，而且這些因素所在環(huán)境可能在不斷變換，所以，假設(shè)Y（t）滿足方程

式中，γ（t）是有限狀態(tài)空間S上的馬氏過程；假設(shè)初值X（0）＝x0＞0；B（t）是服從標準正態(tài)分布的隨機擾動項；擾動強度σ：S→R＋，f（x，y，t）∈C（R×R× R＋，R＋）.

主要利用隨機分析知識和Volterra的理論對上述模型進行分析，內(nèi)容包含了該模型的非線性項在有界性、冪函數(shù)、極限限制這3種情形下的波動估計.

1.2 基本概念與引理

假設(shè)B（t）是概率空間（Ω，F(xiàn)，（F（t））t≥0，P）的標準布朗運動，其中，域流F（t）＝σ（B（s），γ（s）：0≤s≤t）.γ（t）是有限狀態(tài)空間S＝｛1，2，3，…，K｝上的馬氏鏈，Δt時間間隔上的生成算子Γ＝（rij）N×N由

給出，rij≥0是從狀態(tài)i到狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移概率，滿足.假設(shè)有唯一穩(wěn)態(tài)分布π＝（π1，π2，π3，…，πN）.記Mi（n＋1）＝inf｛t＞Mi（n）：γ（t）≠i｝－Ti（n），Ti（n＋1）＝inf｛t＞Ti（n）＋Mi（n＋1）：γ（t）＝i｝，Li（n＋1）＝Ti（n＋1）－Ti（n）.那么，Li（n）對n＝1，2，…獨立同分布，均值為ri，方差為；Mi（n）對n＝1，2，…也是獨立同分布，均值為mi，方差為.

引理1［7］假設(shè)u，v：R＋→R＋，而且那么

引理2［8］假設(shè)S是一個有限不可約狀態(tài)空間，γ是一個平穩(wěn)跳過程，而且σ：S→R，那么

而且

引理3［8］假設(shè)Y是式（2）的唯一連續(xù)適應(yīng)解，初值Y（0）＝Y(jié)0.如果存在常數(shù)c＞0，使得對任意（x，y，t）∈R＋×S×R＋有

那么

而且

式中，σ＊為標準差.

2 資產(chǎn)價格的波動估計

引理4和引理5給出了該模型解的表達式及其非負性質(zhì)，其證明省略.

引理4 假設(shè)φ（t），y（t）滿足方程

那么，方程（4）的解可以寫成X（t）＝φ（t）y（t）.

引理5 假設(shè)函數(shù)g（·，·）和k（·）為非負連續(xù)函數(shù)，X是方程（4）的解，那么，X（0）＞0（或X（0）≥0）可以依概率1推出X（t）＞0（或X（t）≥0）.

2.1 有界函數(shù)約束情形的波動估計

假設(shè)存在常數(shù)α1，α2＞0，使得

定理1 假設(shè)X是方程（4）具有初值X（0）＝x0＞0的唯一連續(xù)適應(yīng)解，a＞0，k（t）＞0是［0，∞）上的連續(xù)函數(shù)，且存在常數(shù)β∈（0，1）和正數(shù)b，c使得

如果式（3）和式（5）成立，那么

證明 對應(yīng)αi（i＝1，2）分別做輔助函數(shù)Zi滿足

初值Zi（0）＝X（0）.由引理4知方程（7）的解為

由k（t），φ（t）和X（0）的非負性及式（5）可得

當i＝2時，由式（8）得

結(jié)合引理1和引理3推得

當t充分大時，由式（9）可得

兩邊取上極限，可得

現(xiàn)在證明反向不等式.由引理4推得

由引理2和引理3，在T1＞0，使得當t＞T1時，有和成立，于是，有

又由式（6）推得

結(jié)合式（12）和式（13），有

綜上，由式（8）、式（11）和式（14）可得定理1成立.

推論1 假設(shè)X是方程（4）具有初值X（0）＝x0＞0的唯一連續(xù)適應(yīng)解.k（t）＞0是［0，∞）上的連續(xù)可積函數(shù).如果式（3）和式（5）成立，那么

推論2 假設(shè)X是方程（4）具有初值X（0）＝x0＞0的唯一連續(xù)適應(yīng)解，k（t）＞0是［0，∞）上的連續(xù)函數(shù)，式（3）和式（5）成立.

比較式（15）和式（16）可知，結(jié)論與

矛盾，所以，a得證.

而且

由上述結(jié)論可知，如果k（t）可積，那么，李雅譜諾夫指數(shù)為0，即非指數(shù)增長.定理2給出了更精確的增長邊界估計.

定理2 假設(shè)X是方程（4）具有初值X（0）＝x0＞0的唯一連續(xù)適應(yīng)解，k（t）＞0是［0，∞）上的連續(xù)可積函數(shù).如果式（3）和式（5）成立，那么，有

而且

成立.

現(xiàn)證另一個不等式.當t充分大時，由式（12）

2.2 冪函數(shù)約束情形的波動估計

由引理4，將g x，（t）＝xρ代入解的表達式，可得

定理3 假設(shè)X是方程（4）具有初值X（0）＝x0＞0的唯一連續(xù)適應(yīng)解，k（t）＞0是［0，∞）上的連續(xù)函數(shù)，g （x，t）＝xρ，ρ＞0.如果式（3）成立，那么，有

證明 由y（t）的定義可知，y（t）單調(diào)遞增而且

結(jié)合φ（t）的定義和式（18）推得

由引理2和引理3，當t充分大時，有

整理可得

取下極限，推得

現(xiàn)證明關(guān)于上極限的不等式.結(jié)合引理2、引理3和式（18），推得

在式（18）兩邊取極限

由于對任意t＞0，有

又由式（19）推得

由定理3可知b成立.

2.3 極限限制情形的波動估計

假設(shè)存在正數(shù)β和ρ∈（0，1），使得

定理4 假設(shè)X是方程（4）具有初值X（0）＝x0＞0的唯一連續(xù)適應(yīng)解，k（t）＞0是［0，∞）上的連續(xù)函數(shù)，a＞0，式（3）和式（20）成立，則有以下結(jié)論：

證明 先證明關(guān)于下極限的情形.由式（20），對任意ε∈（0，β），存在K＝K（ε）＞0，使得當x＞K時，而且有又由方程的解非負可知，對任意t＞0，存在L＝L（ε）＞0，使得g x，（t）＜由引理4推得，X（t）＝φ（t）y（t），而且

由定理3的證明易得

于是，由推論3可知以下關(guān)系成立：

現(xiàn)證明關(guān)于上極限的結(jié)論.由y（t）的單調(diào)性推得

由引理2和引理3推得，當t充分大時，有

和

同時，由式（22）推得

結(jié)合

比較可得

于是

于是

3 結(jié) 論

構(gòu)造了具有馬氏調(diào)制的非有效市場趨勢驅(qū)動的資產(chǎn)價格模型.利用隨機分析和Volterra方程的有關(guān)理論，對該模型在多種情況下的波動范圍進行估計.在給定的條件下，資產(chǎn)價格的增長的邊界估計依賴于反映投資者投資趨勢的取向函數(shù)，馬氏切換的引入打破了原有的價格增長邊界.本文的理論結(jié)果推廣了已有文獻的有關(guān)結(jié)論.

［1］ Sornette D，Johansen A，Bouchaud J.Stock market crashes，precursors and replicas［J］.J Phys I（France），1996（6）：167－175.

［2］ Feigenbaum J A，F(xiàn)reund P.Discrete scale invariance in stock markets before crashes［J］.Int J Modern Phys B，1996（10）：3737－3745.

［3］ 方勇，孫紹榮.影響證券投資者情緒的因素分析［J］.上海理工大學學報，2008，30（2）：157－161.

［4］ 張曉莉，嚴廣樂.滬深股票市場長程記憶相關(guān)性研究［J］.上海理工大學學報，2006，28（3）：237－241.

［5］ Appleby J A D，Rodkina A，Swords C.Fat tails and bubbles in a discrete time model of an inefficient financial market［C］∥Proceedings of the 5th International Conference on Dynamic Systems and Applications.Atlanta：DYNAMIC PUBLISHERS INC，2007.

［6］ Appleby J A D，Swords C.Asymptotic behaviour of a nonlinear stochastic difference equation modelling an inefficient financial market［J］.Adv Stud Pure Math，2009（53）：23－33.

［7］ Appleby J A D，Wu H.Solutions of stochastic differential equations obeying the law of the iterated logarithm with applications to financial markets［J］.Electron J Probabil，2009（14）：912－959.

［8］ Appleby J A D，Lynch T，Mao X，et al.The size of the largest fluctuations in a market model with Markovian switching［J］.Communications in Applied Analysis，2009（13）：135－166.

［9］ Appleby J A D，Reynolds D W.On the non－exponential convergence of asymptotically stable solutions of linear scalar Volterra integro－differential equations［J］.J Integral Equ Appl，2002，14（2）：109－118.