俞偉鵬， 葉亞盛

（上海理工大學(xué)理學(xué)院，上海 200093）

使用值分布理論的基本概念和標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)，參見文獻(xiàn)［1］和文獻(xiàn)［2］.設(shè)f（z）和α（z）是兩個(gè)亞純函數(shù)，稱α（z）是f（z）的小函數(shù)，如果T（r，α）＝S（r，f），其中當(dāng)r→∞時(shí)，S（r，f）＝o（T（r，f）），除去一個(gè)有限對(duì)數(shù)測(cè)度集.

在差分理論中，將f′（z）差分模擬定義為Δcf（z）＝f（z＋c）－f（z），以及Δf（z）＝f（qz＋c）－f（z），其中對(duì)于f（k）（z）的差分模擬，定義為以及Δkf（z）＝Δk－1（Δf（z））.經(jīng)過簡(jiǎn)單的計(jì)算，有

Hayman［3］提出了如下猜想：

上述猜想逐漸得到了證明，Hayman［1］證明了n≥3的情形，Mues［4］證明n＝2的情形，Bergweiler等［5］證明了n＝1的情形.

Hayman［3］也證明了如下結(jié)論：

定理2 設(shè)n（≥5）為正整數(shù)，a（≠0），b為兩個(gè)有窮復(fù)數(shù)，f為復(fù)平面上的亞純函數(shù)，如果f′－afn≠b，則f恒為常數(shù).

最近，國(guó)內(nèi)外很多文章聚焦于復(fù)域上的差分方程和Nevanlinna理論的差分模擬［6－11］，并且得到許多相關(guān)的結(jié)論.張繼龍等［12］考慮了定理1的高階差分對(duì)應(yīng)，證明了如下定理：

首先改進(jìn)了定理3：

利用差分的思想，考慮了定理2的高階差分模擬.

還研究了一個(gè)高階差分的唯一性定理：

1 引 理

為了證明本文的結(jié)論，需要如下幾個(gè)引理：

引理1［13］設(shè)f是有窮級(jí)（記為ρ）超越亞純函數(shù)，c∈＼｛0｝，則對(duì)于每個(gè)ε＞0，有

引理2［14］設(shè)f是非常數(shù)零級(jí)超越亞純函數(shù)，q∈＼｛0｝，則

在下對(duì)數(shù)測(cè)度為1的集合上成立.

引理3［14］設(shè)f是非常數(shù)零級(jí)超越亞純函數(shù)，q∈＼｛0｝，則

在下對(duì)數(shù)測(cè)度為1的集合上成立.

引理4［6］設(shè)f是復(fù)平面上的有窮級(jí)亞純函數(shù)，c∈＼｛0｝，n∈N，則對(duì)于f的任意小函數(shù)a（z），有對(duì)所有的r成立，除去一個(gè)有限對(duì)數(shù)測(cè)度集.

引理5［1］設(shè)f是復(fù)平面上的亞純函數(shù)，a1（z），a2（z），a3（z）是f（z）的3個(gè)小函數(shù)，則

引理6［8］設(shè)f是非常數(shù)零級(jí)亞純函數(shù)，q∈＼｛0｝，則在對(duì)數(shù)測(cè)度為1的集合上成立.

引理8［15］設(shè)F和G是兩個(gè)非常值亞純函數(shù)，如果F與G分擔(dān)1CM，則下面3個(gè)結(jié)論必有一個(gè)成立：

2 定理的證明

由于定理4的證明與定理5的類似，只證明定理4.

2.1 定理4的證明

設(shè)F（z）＝fn（z）Δkcf（z），則

再結(jié)合式（1）和式（2）以及引理1、引理5，得

2.2 定理6的證明

另一方面

則由式（3）和式（4）及第一、第二基本定理，得

即（n－k－3）T（r，f）≤S（r，f），這與n≥k＋4矛盾.因此，f恒為常數(shù).

2.3 定理7的證明

假設(shè)f不是常數(shù)，則令

以下考慮兩種情形：

情形1 Δkf（z）≡b.此種情況必有b≠0.

當(dāng)q≠1時(shí)，Δkf（z）＝Δ（Δk－1f（z））＝Δk－1f（qz＋c）－Δk－1f（z），則是Δkf（z）的零點(diǎn)，這與Δkf（z）≡b≠0矛盾；

當(dāng)q＝1時(shí)，f（z）不存在極點(diǎn)，否則若存在，記為z0，那么z0＋c，z0＋2c，…，z0＋kc中至少有一個(gè)是f（z）的極點(diǎn)，從而f的級(jí)至少是1，這又和條件矛盾，所以f（z）是零級(jí)超越整函數(shù)，于是Δkf（z）－afn（z）≡b－afn（z）也是零級(jí)超越整函數(shù)，則Δkf（z）－afn（z）取每個(gè)有窮復(fù)數(shù)無窮多次，這與條件矛盾.

這種情形與定理6的證明類似，此處省略.因此f恒為常數(shù).

2.4 定理8的證明

4 T（r，f）＋4 T（r，g）＋S（r，f）＋S（r，g），即（n－5）T（r，f）≤4T（r，g）＋S（r，f）＋S（r，g），同理（n－5）T（r，g）≤4T（r，f）＋S（r，f）＋S（r，g）.

兩式相加，并整理，有

（n－9）（T（r，f）＋T（r，g））≤S（r，f）＋S（r，g）這與n≥10矛盾.因此，由引理8有F＝G或FG＝1.

如果F·G＝1，則fn（z）Δkf（z）gn（z）·Δkg（z）＝d2.由于g是整函數(shù)，則零級(jí)超越整函數(shù)f與Δkf（z）沒有零點(diǎn)，于是f（z）與Δkf（z）是非零常數(shù).而由f是非零常數(shù)可知，Δkf（z）恒為零，矛盾.所以F＝G，即fn（z）Δkf（z）＝gn（z）Δkg（z）.

［1］ Hayman W K.Meromorphic functions［M］.Oxford：Clarendon Press，1964.

［2］ 楊樂.值分布理論及其新研究［M］.北京：科學(xué)出版社，1995.

［3］ Hayman W K.Picard values of meromorphic functions and their derivatives［J］.Ann Math，1959，70（1）：9－42.

［4］ Mues E.über ein problem von Hayman［J］.Math Z，1979，164（3）：239－259.

［5］ Bergweiler W，Eremenko A.On the singularities of the inverse to a meromorphic function of finite order［J］.Rev Mat Iberoamericana，1995，11（2）：355－373.

［6］ Halburd R G，Korhonen R J.Nevanlinna theory for the difference operator［J］.Ann Acad Sci Fenn，2006，31（2）：463－478.

［7］ Halburd R G，Korhonen R J.Difference analogue of the lemma on the logarithmic derivative with applications to difference equations［J］.J Math Anal Appl，2006，314（2）：477－487.

［8］ Barnett D C，Halburd R G，Korhonen R J，et al.Nevanlinna theory for the q－difference operator and meromorphic solutions of q－difference equations［J］.Proc Math Roy Soc Edinb，Sect A，2007，137（3）：457－474.

［9］ Bergweiler W，Langley J K.Zeros of differences of meromorphic functions［J］.Math Proc Camb Philos Soc，2007，142（1）：133－147.

［10］ Chen Z X，Shon K H.Estimates for the zeros of differences of meromorphic functions［J］.Sci China Ser A，2009，52（11）：2447－2458.

［11］ Chen Z X，Huang Z B，Zheng X M.On properties of difference polynomials［J］.Acta Math Sinica Engl Ser，2011，31（2）：627－633.

［12］ Zhang J L，Gao Z S，Li S.Distribution of zeros and shared values of difference operators［J］.Ann Polo Math，2011，102（3）：213－221.

［13］ Chiang Y M，F(xiàn)eng S J.On the Nevanlinna characteristic of f（z＋η）and difference equations in the complex plane［J］.Ramanujan J，2008，16（1）：105－129.

［14］ Xu J F，Zhang X B.The zeros of q－shift difference polynomial of meromorphic functions［J］.Adva in Diff Equa，2012，2012（1）：200.

［15］ Yang C C，Hua X H.Uniqueness and value sharing of meromorphic functions［J］.Ann Acad Sci Fenn Math，1997，22（2）：395－406.