張 鵬，田 邊

( 武漢科技大學(xué)管理學(xué)院，湖北 武漢，430081)

投資組合是分散投資風(fēng)險的有效途徑。20世紀50年代，Markowitz[1]使用方差來度量投資風(fēng)險，提出了均值-方差單階段投資組合理論，奠定了現(xiàn)代金融學(xué)的基礎(chǔ)。但在實際的金融市場中，投資是一個持續(xù)不斷、貫穿多階段的過程。相對單階段投資組合而言，多階段投資組合是一個隨機非線性的動態(tài)復(fù)雜系統(tǒng)，其優(yōu)化求解要復(fù)雜得多。

目前，研究者運用了多種方法求解收益-風(fēng)險型多階段投資組合模型。Li等[2]提出終期財富最大化的多階段安全首要模型，將該模型轉(zhuǎn)化為目標函數(shù)可分離的動態(tài)規(guī)劃問題，并運用動態(tài)規(guī)劃的遞推關(guān)系式求解；在文獻[2]的基礎(chǔ)上，Li等[3]又提出了多階段均值-方差投資組合模型；Zhu等[4]提出具有破產(chǎn)風(fēng)險控制的多階段均值-方差投資組合模型；Wei等[5]提出假設(shè)資產(chǎn)收益率為Markov鏈且具有破產(chǎn)風(fēng)險控制的多階段均值-方差投資組合模型；?elikyurt等[6]提出假設(shè)資產(chǎn)收益率為Markov鏈的多階段均值-方差二次效用函數(shù)和安全首要模型，將該模型轉(zhuǎn)化為目標函數(shù)可分離的動態(tài)規(guī)劃問題，并運用動態(tài)規(guī)劃方法求解。上述研究主要考慮終期財富最大化的模型，并且采用動態(tài)規(guī)劃方法求解，但該方法存在“維數(shù)災(zāi)”和高階非線性問題，對于解決大規(guī)模問題非常困難。Brandt等[7]運用擴大狀態(tài)空間方法和模擬回歸方法求解投資組合模型，并認為這種近似方法極大地減少了工作量，但隨著時期數(shù)目的增加，該方法的誤差也在增大；Yan[8]運用混合遺傳算法求解多階段均值-半方差投資組合模型；張鵬[9-10]采用自創(chuàng)算法——離散近似迭代法求解多階段均值-方差和均值-半方差投資組合問題，并分析了該算法的收斂性和復(fù)雜性。

在上述研究的基礎(chǔ)上，本文分別給出含有無風(fēng)險資產(chǎn)且借貸利率相同和不同兩種條件下的多階段均值-半絕對偏差(M-SAD)投資組合模型，并運用離散近似迭代法進行求解。

1 多階段M-SAD投資組合模型

f(xt)表示第t期投資組合的方差，其表達式為：

(1)

U(rpt,f(xt))表示第t期投資者的效用函數(shù)，其表達式為：

U(rpt,f(xt))=βt[(1-ω)rpt-ωf(xt)]

(2)

式中：βt(0<βt≤1)為效用折扣因子；ω(0≤ω≤1)為風(fēng)險偏好系數(shù)。βt=1表示一個效用單位在各個時期相同，ω=0表示投資者偏愛收益率最大而不管風(fēng)險的大小,ω=1表示投資者極度厭惡風(fēng)險。

一般情況下，可假設(shè)效用函數(shù)滿足下式：

(3)

(4)

式(3)表示投資者的效用函數(shù)隨著投資組合期望收益率的增加而增加；式(4)表示投資者是風(fēng)險厭惡者，即隨著投資組合期望收益率的增加，效用函數(shù)的增幅在減少。

借貸利率相同的多階段M-SAD投資組合模型如下：

maxU(rpt,f(xt))

(5)

式中：r(w)=rbt=rlt；lt≤0；S0=1。

狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程可以改寫為：

(6)

在模型(5)中，第一個約束條件表示第t期投資組合期望收益率；第二個約束條件表示第t-1期和第t期末財富變化的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程；第三個約束條件表示無風(fēng)險資產(chǎn)的借款比例不能超過預(yù)先給定的某個值；第四個約束條件表示第i種資產(chǎn)不允許賣空。模型(5)的經(jīng)濟含義是指，在滿足上述四個約束條件的前提下，投資者應(yīng)如何分配各種資產(chǎn)，使投資組合的總期望效用最大。

借貸利率不同的多階段M-SAD投資組合模型如下：

maxU(rpt,f(xt))

(7)

模型(7)的第一個約束條件是非光滑的，可轉(zhuǎn)化為如下兩個光滑的線性規(guī)劃問題。

maxU(rpt,f(xt))

(8)

和

maxU(rpt,f(xt))

(9)

2 多階段 M-SAD投資組合優(yōu)化

本文運用自創(chuàng)算法——離散近似迭代法求解多階段M-SAD投資組合模型，并研究該算法的收斂性和復(fù)雜性。算法的具體步驟如下。

(1)將狀態(tài)變量按照從小到大離散成4等份，即形成5個值[9-10]。

每階段狀態(tài)變量的最小值Stmin和最大值Stmax分別按照下面方法確定。

當(dāng)投資者只考慮風(fēng)險最小時，投資組合期望收益率也最小，此時第t階段財富(狀態(tài)變量)也最小。

minf(xt)

(10)

運用線性規(guī)劃的旋轉(zhuǎn)算法[11-12]可以計算出模型(10)的最優(yōu)解，也可以計算出期望收益率的最小值，同時也得到了第t階段狀態(tài)變量的最小值。

當(dāng)投資者只考慮投資組合期望收益率最大時，則第t階段財富(狀態(tài)變量)也最大。

maxrpt

(11)

運用線性規(guī)劃的旋轉(zhuǎn)算法可以計算出模型(11)的最優(yōu)解，也可以計算出期望收益率的最大值，同時也得到了第t階段狀態(tài)變量的最大值。

(2)運用線性規(guī)劃的旋轉(zhuǎn)算法求出各狀態(tài)值所對應(yīng)的目標函數(shù)值，并構(gòu)造多階段有向賦權(quán)圖。

(4)在上述最長路的基礎(chǔ)上繼續(xù)迭代。將第k+1次最長路的每階段狀態(tài)值與該階段狀態(tài)值的最小值和最大值分別等分成二等份并轉(zhuǎn)(2)。

定理1離散近似迭代法是線性收斂的。

定理2設(shè)各階段狀態(tài)變量值離散成5個值，經(jīng)過L次迭代可以逼近模型的最優(yōu)解，則模型的復(fù)雜性為：需要L×(T-1)×52(3n+3)2(3n+2)+2(T-1)×52次加法，需要1/3L×(T-1)×52(3n+3)3次乘法，需要2×(T-1)×5(5-1)次比較。

證明：運用旋轉(zhuǎn)算法求解線性規(guī)劃問題(5)、(8)和(9)，需要(3n+3)2(3n+2)次加法，需要1/3 (3n+3)3次乘法[15]。每次將各階段狀態(tài)變量離散成5個值，則T個階段有向賦權(quán)圖需要計算(T-1)×52個線性規(guī)劃問題，如果經(jīng)過L次迭代可以逼近模型的最優(yōu)解，那么模型需要計算L×(T-1)×52個線性規(guī)劃問題。T個矩陣βU1?β2U2?βTUT相乘需要2×52次加法；需要2×5(5-1)次比較。如果經(jīng)過L次迭代，則需要2×(T-1)×52次加法，需要2×(T-1)×5(5-1)次比較。

因此，模型的復(fù)雜性為：需要L×(T-1)×52(3n+3)2(3n+2)+2(T-1)×52次加法，需要1/3L×(T-1)×52(3n+3)3次乘法，需要2×(T-1)×5(5-1)次比較。證畢。

3 算例

從上證50中選擇6只權(quán)重股票，分別為股票1(武鋼股份，600005)、股票2(浦發(fā)銀行，600000)、股票3(中信證券，600030)、股票4(振華重工，600320)、股票5(中國平安，601318)、股票6(馳宏鋅鍺，600497)，以2006年1月至2009年6 月(共14個季度)每一季度末收益率為樣本數(shù)據(jù)，如表1所示(數(shù)據(jù)來源于廣發(fā)證券至強版基本資料數(shù)據(jù)庫)。

表1 6只股票的季度收益率(單位：%)Table 1 Quarter return rate of six stocks

采用移動平均法估計出6只股票未來四階段的收益率。假設(shè)lt=-1，rlt=0.015，rbt=0.02，β=1，ω=0.8。

當(dāng)ω=0.8、投資組合中含有無風(fēng)險資產(chǎn)且借貸利率相同時，運用離散近似迭代法可以計算出五階段投資組合最優(yōu)投資策略和總效用函數(shù)如表2所示。

根據(jù)表2可知，當(dāng)ω=0.8時，五階段投資組合中第一階段最優(yōu)投資策略為：投資者借款無風(fēng)險資產(chǎn)100%，分別購買第1只、第5只和第6只股票161.28%、0.10%和38.62%，不購買其它股票。同樣可知其它階段的最優(yōu)投資策略。

表2 含有無風(fēng)險資產(chǎn)且借貸利率相同的五階段投資組合最優(yōu)投資策略Table 2 Optimal investment strategy of multiperiod portfolio selection with risk-free asset and the same borrowing and lending rates

當(dāng)ω=0.8、投資組合中含有無風(fēng)險資產(chǎn)且借貸利率不同時，運用離散近似迭代法可以計算出五階段投資組合最優(yōu)投資策略和總效用函數(shù)如表3所示。

表3 含有無風(fēng)險資產(chǎn)且借貸利率不同的五階段投資組合最優(yōu)投資策略Table 3 Optimal investment strategy of multiperiod portfolio selection with risk-free asset and different borrowing and lending rates

根據(jù)表3可知，當(dāng)w=0.8時，五階段投資組合中第一階段最優(yōu)投資策略為：投資者借款無風(fēng)險資產(chǎn)100%，分別購買第1只、第5只和第6只股票161.17%、0.22%和38.61%，不購買其它股票。同樣可知其它階段的最優(yōu)投資策略。

對比表2和表3可見，當(dāng)投資組合含有無風(fēng)險資產(chǎn)且借貸利率不同時，投資組合的最優(yōu)投資策略、期望收益率和效用函數(shù)會發(fā)生變化。在實際市場中，借款利率大于貸款利率，因此，研究借貸利率不相同的情況是非常必要的。從表2和表3還可以看出，多階段投資組合最優(yōu)策略對于每種資產(chǎn)的期望收益率非常敏感，即當(dāng)資產(chǎn)的期望收益率發(fā)生微小變化時，投資組合的最優(yōu)投資策略發(fā)生了很大變化。因此，如何較正確地預(yù)測資產(chǎn)的期望收益率是非常重要的，也是今后需要重點研究的內(nèi)容。

4 結(jié)語

本文綜合考慮金融市場的實際情況，提出借款具有限制且借貸利率相同和不同兩種情況下的多階段M-SAD投資組合模型，并運用自創(chuàng)算法——離散近似迭代法求解，文中還證明了該算法的線性收斂性和復(fù)雜性，為求解多階段投資組合模型提出了一種新的思路。最后，以一個具體的實例驗證了算法的有效性，并得出以下結(jié)論：①當(dāng)投資組合含有無風(fēng)險資產(chǎn)且借貸利率相同和不同時，投資組合的最優(yōu)投資策略、期望收益率和效用函數(shù)會發(fā)生變化；②多階段投資組合最優(yōu)策略對于每種資產(chǎn)的期望收益率非常敏感，即當(dāng)資產(chǎn)的期望收益率發(fā)生微小變化時，投資組合的最優(yōu)投資策略發(fā)生了很大變化。

筆者認為，以下三點值得進一步研究：①根據(jù)市場的實際情況，研究其它風(fēng)險度量方法的多階段投資組合決策；②研究交易成本和交易量限制等情況下的多階段投資組合決策：③多階段投資組合中每種資產(chǎn)期望收益率的預(yù)測方法。

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