徐海嵩，把多鐸，張國輝，袁 璞

(西北農(nóng)林科技大學 水利與建筑工程學院，陜西 楊凌 712100)

梯形明渠是水利工程中一種常見的斷面形式，主要用于農(nóng)田灌排和城市供水等渠道的設計，較其他斷面形式應用更為廣泛[1]。梯形明渠臨界水深是水力計算中的重要參數(shù)之一[1-6],通過臨界水深和正常水深的計算設計渠道的斷面尺寸，從而確定工程量，這將直接影響工程的經(jīng)濟效益。所謂臨界水深是指相應于斷面單位能量最小值的水深[7]，該參數(shù)無法直接求解，而需求解一元高次方程[4-6]。常見的求解方法有試算法、圖解法、迭代法[8]和近似求解法[9]等，其中試算法和圖解法費時費力，而且誤差較大[5,10]。

近年來，一些水利專家致力于梯形明渠臨界水深的研究，相繼提出了幾種直接計算臨界水深的公式，如劉善綜公式[11]，王正中等公式[3,12]等。這些計算公式，往往引入無量綱參數(shù)即單位水面寬度[13-16]，并根據(jù)迭代原理，選取合適的迭代方程和迭代初值，從而可方便、快捷地計算出梯形明渠的臨界水深。但是，這些計算公式從簡捷性、計算精度等方面均存在不足[5]。本研究在前人研究的基礎(chǔ)上，對迭代公式和迭代初值進行細致地分析和推導，提出新的直接計算梯形明渠臨界水深的公式，并對比前人的公式進行了精度和誤差分析，以期為梯形明渠臨界水深的計算提供更為精確的計算方法。

1 臨界水深的計算公式及迭代式

在推求臨界水深時，大都引入無量綱參數(shù)“單位水面寬度”[10]，即臨界水深(h1)所對應的水面寬度與梯形渠道底寬的比值，用λ表示。其中，λ等于1時，過水斷面為矩形斷面；λ等于+∞時，過水斷面為三角形斷面[6]。故梯形斷面單位水面寬度取值范圍為1<λ<+∞，其值反映了梯形明渠斷面過流時過水斷面的相對形狀[5]。

于是有下面的等式：

(1)

由上式可得：

(2)

式中：λ為單位水面寬度；Bk為臨界水深時對應的水面寬度，m；b為梯形渠道底寬，m；m為梯形渠道的邊坡系數(shù)，非等腰梯形斷面時m=(m1+m2)/2，其中m1、m2為梯形斷面兩側(cè)邊坡系數(shù)[11]；hk為梯形渠道的臨界水深，m。

而明渠均勻流臨界水深的計算公式[7]為：

(3)

式中：α為動能修正系數(shù)，取1.0；Q為過流流量，m3/s；g為重力加速度，取9.81 m/s2；Ak為相應于臨界水深時的過水斷面面積，m2。

對于等腰梯形過水斷面[5-6]，有

Ak=(b+mhk)hk，

(4)

Bk=b+2mhk。

(5)

將式(1)、(2)、(4)、(5)代入式(3)并整理得：

(6)

(7)

為了與式(7)的形式相似，式(6)變?yōu)椋?/p>

(8)

將式(8)恒等變形并整理，得：

(9)

然后，根據(jù)迭代原理，式(9)變?yōu)椋?/p>

(10)

式中：λn為第n次求得的單位水面寬度值，λn+1為第n+1次求得的單位水面寬度值。

2 迭代公式的收斂性證明

采用迭代法計算時無法直接求解方程，一般需要進行試算才能求出迭代方程的解。但使用迭代法是有條件的，必須使推求的迭代公式收斂，這樣才能保證計算值逼近所要求解的真值。因此，需首先對式(9)或式(10)進行斂散性判別，而本研究則需要證明式(9)或式(10)在區(qū)間1<λ<+∞是收斂的，證明如下：

對于式(9)，設λ=φ(λ)，則

(11)

φ2(λ)=4kλ1/3+1。

(12)

根據(jù)迭代理論，如果方程x=φ(x)的1個根為a,則迭代公式xn+1=φ(xn)收斂于a的條件是：在a的某一鄰域|x-a|<δ內(nèi)，使|φ′(x)|<1，那么該值域內(nèi)任一點為初值的迭代都收斂于a，因此只要證明上式中的迭代函數(shù)φ(λ)的一階導數(shù)的絕對值小于1，就可以證明該迭代函數(shù)是收斂的[5]。

因此，對式(11)兩邊求導，得：

(13)

將式(11)、(12)代入式(13)中得：

(14)

繼續(xù)對φ′(λ)求二階導數(shù)，可得：

由二階導數(shù)可知，當λ∈(1,+∞)時，φ″(λ)∈(0,0.33)，即二階導數(shù)大于零，迭代函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)。當λ=1時，φ′(λ)=0；當λ=+∞時，φ′(λ)=0.17。因此，根據(jù)夾逼定理，當λ∈(1,+∞)時，φ′(λ)∈(0,0.17)，故|φ′(λ)|<1。

綜上所述，對于任意的λ∈(1,+∞)，迭代公式(9)是收斂的。同理，可以證明式(10)也是收斂的。

3 迭代初值的合理選取和臨界水深的直接計算

對于迭代計算，其收斂速度不僅與迭代公式有關(guān)，而且與迭代初值的選取也有關(guān)[5]，且迭代初值的選取更為重要，選取合理的迭代初值會加速迭代計算的收斂速度。對式(8)作恒等變形，即可得出迭代初值。

由式(8)得：

(15)

由于λ∈(1,+∞)，當λ趨近于正的無窮大時，λ=(4k)0.6，并以此作為迭代函數(shù)的初值，即λ0=(4k)0.6。將λ0代入式(9)，可得

(16)

將式(16)代入式(9)并整理，得：

(17)

為提高計算精度，可將式(17)代入式(9)并整理，得：

(18)

將式(17)或式(18)代入式(2),得：

(19)

或hk=

(20)

通過式(19)或式(20)可直接計算梯形明渠的臨界水深，其中式(20)較式(19)計算的結(jié)果更加精確，然而在一般的工程實際中，式(19)的計算精度已經(jīng)可以滿足工程實際的要求。

4 臨界水深直接計算公式的精度分析

4.1 幾種常見的臨界水深直接計算公式描述

國內(nèi)外計算梯形明渠臨界水深的方法和公式很多，但從準確性和間接性等方面考慮，有4套公式相對較好，分別如下所示。

①王正中等[3,12]公式：

(21)

②廖云鳳[16]公式：

y=kl(1+kl)-0.372。

(22)

③劉善綜[11]公式：

(23)

(24)

④趙延風等[5]公式：

(25)

(26)

⑤本研究公式：

(27)

(28)

4.2 臨界水深直接計算公式的誤差分析

由以上的5個公式中的k值可以看出kw=ks=4k，kl=k，kz=(64k3)2，給出單位水面寬度λ=0.001～100的值，由式(9)求出λ值，進而求出λw、kl、ks、kz，再根據(jù)上述5個公式計算各自的臨界水深及其相對誤差，計算結(jié)果如圖1所示。其中，圖1-a、b為1<λ≤10和10≤λ≤100時，梯形明渠臨界水深5種不同計算公式的相對誤差分析結(jié)果。由于圖1-b中廖云鳳公式計算的相對誤差隨單位水面寬度λ的增加而增大，為了進一步直觀分析，圖1-c為10≤λ≤100時除去廖云鳳[16]公式后所對應的分析結(jié)果，圖1-d為1<λ≤10時劉善綜[11]公式、趙延風等[5]公式和本研究公式所對應的分析結(jié)果。

圖1-a、b、c和d能夠清晰地反映出臨界水深的相對誤差變化，但要確切的分析，還需通過具體的數(shù)據(jù)加以說明。因此，表1給出了梯形明渠臨界水深相對誤差的計算結(jié)果。對表1進行統(tǒng)計和分析，得到梯形明渠臨界水深計算最大和最小相對誤差，結(jié)果如表2所示。

圖 1 梯形明渠臨界水深不同計算公式相對誤差的變化

表 1 利用不同公式計算梯形明渠臨界水深的相對誤差比較

由表2并結(jié)合各種臨界水深的直接計算公式和相對誤差分析結(jié)果(圖1)，從公式的簡捷性、各自適用范圍內(nèi)的誤差大小等方面進行比較，表明王正中等[3,12]公式和廖云鳳[16]公式形式簡單，相對誤差較大；劉善綜[11]公式和趙延風等[5]公式形式比較復雜，但相對誤差較小；而本研究公式形式復雜，但相對誤差最小。由于本研究公式精度較高，因此可用于精度要求較高的臨界水深的計算。

表 2 梯形明渠臨界水深5種公式計算誤差分析結(jié)果(1<λ≤100)

5 結(jié) 論

在前人研究基礎(chǔ)之上，本研究提出了新的梯形明渠臨界水深直接計算公式，并對公式計算結(jié)果的相對誤差進行了分析，發(fā)現(xiàn)在相同單位水面寬度值下，用本研究新建立的公式求得臨界水深的相對誤差均小于其他幾個公式，最大相對誤差僅為0.010%，不但適用范圍廣，而且還能夠應用于精度要求較高的梯形明渠臨界水深的計算。本研究新建立的公式雖然較其他幾個公式復雜，但是借助計算器還是比較易于計算的，可用于工程實際設計中。

[參考文獻]

[1] 李興印,盧軍啟,楊玲霞.梯形斷面明渠臨界水深計算方法新探 [J].科技創(chuàng)新導報,2009,29(3):130-131.

Li X Y,Lu J Q,Yang L X.New study on the calculation method of critical depth of open channel with trapezoidal section [J].Science and Technology Innovation Herald,2009,29(3):130-131.(in Chinese)

[2] 蘇魯平.梯形明渠臨界水深解法述評 [J].人民長江,1995,26(5):39-41.

Su L P.Commentary on solutions for critical depth in a trapezoidal channel [J].Yangtze River,1995,26(5):39-41.(in Chinese)

[3] 王正中,袁 駟,武成烈.再論梯形明渠臨界水深計算方法 [J].水利學報,1999(4):14-17.

Wang Z Z,Yuan S,Wu C L.Again discussion on calculation method of critical depth for trapezoidal open channel [J].Journal of Hydraulic Engineering,1999(4):14-17.(in Chinese)

[4] 王正中,陳 濤,萬 斌,等.明渠臨界水深計算方法總論 [J].西北農(nóng)林科技大學學報:自然科學版,2006,34(1):155-161.

Wang Z Z,Chen T,Wan B,et al.Calculation method on critical depth of open channel with trapezoidal cross section [J].Journal of Northwest A&F University:Natural Science Edition，2006,34(1):155-161.(in Chinese)

[5] 趙延風,王正中,張寬地.梯形明渠臨界水深的直接計算方法 [J].山東大學學報:工學版,2007,37(6):99-105.

Zhao Y F,Wang Z Z,Zhang K D.Direct calculation method for the critical d epth of an open trapezoidal channel [J].Journal of Shandong University:Engineering Science,2007,37(6):99-105.(in Chinese)

[6] 趙延風,祝晗英,宋松柏,等.論梯形明渠臨界水深的精確計算公式 [J].長江科學院學報,2009,26(4):18-21.

Zhao Y F,Zhu H Y,Song S B,et al.Discussion on the precise calculation formula of critical depth for trapezoidal [J].Journal of Yangtze River Scientific Research Institute,2009,26(4):18-21.(in Chinese)

[7] 吳持恭.水力學上冊 [M].4版.北京:高等教育出版社,2008:221-224.

Wu C G.Hydraulics part 1 [M].4th edition.Beijing:Higher Education Press,2008:221-224.(in Chinese)

[8] 葛節(jié)忠,陳雪峰,黃建平.用迭代法計算明渠均勻流水深和臨界水深 [J].水利水電技術(shù),2006,37(1)：75-78.

Ge J Z,Chen X F,Huang J P.Calculation on uniform flow depth and critical depth of open channel with iterative method [J].Water Resources and Hydropower Engineering,2006,37(1)：75-78.(in Chinese)

[9] 袁鎰吾.明渠梯形斷面臨界水深的近似計算公式 [J].應用力學學報,1992,9(2):149-152.

Yuan Y W.An approximate formula for calculation critical depth of open channel flow in trapezoidal cross-Section [J].Chinese Journal of Applied Mechanics,1992,9(2):149-152.(in Chinese)

[10] 王正中,馮家濤,胡彥華.梯形明渠臨界水深計算公式的改進 [J].水利學報,1996(1):85-87.

Wang Z Z,Feng J T,Hu Y H. A method for calculating critical water depth of open channel with trapezoid section [J].Journal of Hydraulic Engineering,1996(1):85-87.(in Chinese)

[11] 劉善綜.梯形渠道臨界水深的計算及討論 [J].水利學報,1995(6):83-85.

Lu S Z.Calculation and discussion of critical depth of trapezoidal channel [J].Journal of Hydraulic Engineering,1995(6):83-85.(in Chinese)

[12] 王正中.梯形明渠臨界水深計算公式探討 [J].長江科學院院報,1995,12(2):78-80.

Wang Z Z.Study on the formula of calculating critical water depth of trapezoidal channel [J].Journal of Yangtze River Scientific Research Institute,1995,12(2):78-80.(in Chinese)

[13] 徐煥文,孫慕群.梯形明渠臨界水深的計算解法 [J].中國農(nóng)村水利水電,2002(12):57-58.

Xu H W,Sun M Q.Calculation method of critical depth of open trapezoidal channel [J].China Rural Water and Hydropower,2002(12):57-58.(in Chinese)

[14] 劉計良,王正中,蘇德慧,等.典型斷面渠道臨界水深計算 [J].排灌機械工程學報,2012,30(2):181-187.

Liu J L,Wang Z Z,Su D H,et al. Calculation of water critical depth in channels with common shapes [J].Journal of Drainage Irrigation Machinery Engineering,2012,30(2):181-187.(in Chinese)

[15] 王正中,蘆 琴,冷暢儉,等.復式梯形斷面臨界水深計算公式 [J].長江科學院院報,2003,23(5):58-60.

Wang Z Z,Lu Q,Leng C J,et al.Formulaf or calculating critical depth of duplex trapezoidal open channel [J].Journal of Yangtze River Scientific Research Institute,2003,23(5):58-60.(in Chinese)

[16] 廖云鳳.梯形渠道斷面臨界水深顯示計算 [J].陜西水力發(fā)電,2001,17(4):22-23.

Liao Y F.Calculation of critical water depth for trapezoid channel cross section display [J].Shaanxi Hydroelectric Power,2001,17(4):22-23.(in Chinese)