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        一個(gè)向量恒等式的“四渡赤水”

        2014-03-26 20:24:30徐興生
        理科考試研究·高中 2014年1期
        關(guān)鍵詞:恒等式同理理科

        徐興生

        人教A版教材必修四(2007年2月)《2.5.1平面幾何中的向圖1量方法》中例1:平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型.如圖1,AC=AB+AD,DB=AB-AD,你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎?

        解析 不妨設(shè)AB=a,AD=b,則AC=a+b,DB=a-b.涉及長(zhǎng)度問(wèn)題常??紤]向量的數(shù)量積.我們計(jì)算|AC|2與|DB|2.|AC|2=AC·AC=(a+b)·(a+b)=|a|2+2a·b+|b|2. (1)

        同理,|DB|2=|a|2-2a·b +|b|2. (2)

        觀察(1)、(2)兩式的特點(diǎn),我們發(fā)現(xiàn),(1)+(2)得|AC|2+|DB|2=2(|a|2+|b|2)=2(|AB|2+|AD|2),即平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍.

        事實(shí)上教材中還有一個(gè)有用的結(jié)論沒(méi)有點(diǎn)明:(1)-(2)得4a·b=|AC|2-|DB|2=4|AO|2-|DB|2,或4a·b=(a+b)2-(a-b)2.這不由得想起在初中代數(shù)中有一個(gè)常用的恒等式是:4ab=(a+b)2-(a-b)2,它是兩個(gè)完全平方公式相減而成,而今在高中向量中有一個(gè)類似的恒等式是:4a·b=(a+b)2-(a-b)2或a·b=(a+b2)2-(a-b22).它在我省有份量的考試中頻頻出現(xiàn)應(yīng)用,同一知識(shí)點(diǎn)一考再考,深受命題專家的青睞,但考該知識(shí)點(diǎn)的載體大相庭徑,體現(xiàn)虛虛實(shí)實(shí),實(shí)實(shí)虛虛,頗有點(diǎn)像中國(guó)革命史上的“四渡赤水”.

        題1 (2012年浙江省高考理科試題15)在△ABC中,M是BC的中點(diǎn),AM=3,BC=10,則AB·AC=.

        解析 此題方法有多種,法一:AB·AC=(AM+MB)·(AM+MC)=AM2+AM·(MB+MC)+MB·AC=|AM|2-|MB|2=-16.圖2

        法二(特例法): 既然題目中沒(méi)有講什么三角形,不妨假設(shè)△ABC是以AB、AC為腰的等腰三角形,如圖2. 由AM=3,BC=10,得AB=AC=34. cos∠BAC=34+34-1002×34=-817.所以AB·AC=|AB||AC|cos∠BAC=-16.

        法三(應(yīng)用向量恒等式):AB·AC=(AB+AC2)2-(AB-AC2)2=AM2-14CB2=9-25=-16.

        下面2道題都有幾種不同特色的解題方法,現(xiàn)只用法三中的向量恒等式來(lái)解.

        題2 (2013年4月浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題5)已知直線AB與拋物線y2=4x交于A、B兩點(diǎn),M為AB的中點(diǎn),C為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若C0滿足C0A·C0B=min{CA·CB},則下列一定成立的是( ).

        A.C0M⊥AB B.C0M⊥l,其中l(wèi)是拋物線過(guò)C0的切線

        C.C0A⊥C0B D.C0M=12AB

        解析 CA·CB=14[(CA+CB)2-(CA-CB)2]=CM2-14BA2.同理:C0A·C0B=C0M2-14BA.要使C0滿足C0A·C0B=min{CA·CB},則C0A·C0B≤CA·CB恒成立,即|C0M|≤|CM|恒成立,四個(gè)選擇支逐一驗(yàn)證可選項(xiàng)B.

        題3 (2013年浙江省高考理科試題7)設(shè)△ABC,P0是邊AB上一定點(diǎn),滿足P0B=14AB,且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P,恒有PB·PC≥P0B·P0C,則( ).

        A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

        C.AB=AC D. AC=BC

        解析 取BC中點(diǎn)M,則PB·PC=14[PB+PC)2-(PB-PC)2]=PM2-14CB2.同理:P0B·P0C=P0M2-14CB2.要使恒有PB·PC≥P0B·P0C,則PM2≥P0M2恒成立,即|PM|≥|P0M|恒成立.

        圖3所以P0M恒為直線AB的垂線段,即P0M⊥AB(如圖3).又取AB中點(diǎn)N,則MN=MB,而MN=12AC,MB=12BC,所以AC=BC,選項(xiàng)D.

        值得一提的是,題3借助向量的手段考查初中平面幾何一個(gè)耳熟能詳?shù)某S枚ɡ?“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中,垂線段最短.”無(wú)獨(dú)有偶,05年浙江省理科第10題就已考過(guò)類似的知識(shí)點(diǎn):

        (2005年浙江省理科第10題)已知向量,a≠e,|e|=1,滿足對(duì)任意t∈R,恒有|a-te|≥|a-e|,則( ).

        A.a⊥e B.a⊥(a-e)

        C.e⊥(a-e)D.(a+e)⊥(a-e)

        解析 設(shè)AB=e,AC=a,AD=te,則|DC|=|a-te|,|BC|=|a-te|.要使恒有|a-te|≥|a-e|,則|DC|≥|BC|.如圖4,可知CB⊥AB,即a⊥(a-e).同理,若點(diǎn)D在AB的反向延長(zhǎng)線上,結(jié)論也一樣.選C.圖4

        更巧的是06年全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽第1小題和上面考題如出一轍:已知△ABC,若對(duì)任意t∈R,|BA-tBC|≥|AC|,則△ABC( ).

        A.必為銳角三角形 B.必為鈍角三角形

        C.必為直角三角形 D.答案不確定

        我們?cè)趶?fù)習(xí)講評(píng)一道題目時(shí),用多種方法有些時(shí)候不一定是好事,一方面學(xué)生一下難接受,結(jié)果一種方法都沒(méi)學(xué)會(huì);另一方面考試時(shí),學(xué)生在各種方法之間檢索,亂湊方法,湊不到方法反而擾亂心情.其實(shí)有時(shí)一招走遍天下更好,用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)講就是要抓住數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì),抓住核心知識(shí)點(diǎn).

        人教A版教材必修四(2007年2月)《2.5.1平面幾何中的向圖1量方法》中例1:平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型.如圖1,AC=AB+AD,DB=AB-AD,你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎?

        解析 不妨設(shè)AB=a,AD=b,則AC=a+b,DB=a-b.涉及長(zhǎng)度問(wèn)題常??紤]向量的數(shù)量積.我們計(jì)算|AC|2與|DB|2.|AC|2=AC·AC=(a+b)·(a+b)=|a|2+2a·b+|b|2. (1)

        同理,|DB|2=|a|2-2a·b +|b|2. (2)

        觀察(1)、(2)兩式的特點(diǎn),我們發(fā)現(xiàn),(1)+(2)得|AC|2+|DB|2=2(|a|2+|b|2)=2(|AB|2+|AD|2),即平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍.

        事實(shí)上教材中還有一個(gè)有用的結(jié)論沒(méi)有點(diǎn)明:(1)-(2)得4a·b=|AC|2-|DB|2=4|AO|2-|DB|2,或4a·b=(a+b)2-(a-b)2.這不由得想起在初中代數(shù)中有一個(gè)常用的恒等式是:4ab=(a+b)2-(a-b)2,它是兩個(gè)完全平方公式相減而成,而今在高中向量中有一個(gè)類似的恒等式是:4a·b=(a+b)2-(a-b)2或a·b=(a+b2)2-(a-b22).它在我省有份量的考試中頻頻出現(xiàn)應(yīng)用,同一知識(shí)點(diǎn)一考再考,深受命題專家的青睞,但考該知識(shí)點(diǎn)的載體大相庭徑,體現(xiàn)虛虛實(shí)實(shí),實(shí)實(shí)虛虛,頗有點(diǎn)像中國(guó)革命史上的“四渡赤水”.

        題1 (2012年浙江省高考理科試題15)在△ABC中,M是BC的中點(diǎn),AM=3,BC=10,則AB·AC=.

        解析 此題方法有多種,法一:AB·AC=(AM+MB)·(AM+MC)=AM2+AM·(MB+MC)+MB·AC=|AM|2-|MB|2=-16.圖2

        法二(特例法): 既然題目中沒(méi)有講什么三角形,不妨假設(shè)△ABC是以AB、AC為腰的等腰三角形,如圖2. 由AM=3,BC=10,得AB=AC=34. cos∠BAC=34+34-1002×34=-817.所以AB·AC=|AB||AC|cos∠BAC=-16.

        法三(應(yīng)用向量恒等式):AB·AC=(AB+AC2)2-(AB-AC2)2=AM2-14CB2=9-25=-16.

        下面2道題都有幾種不同特色的解題方法,現(xiàn)只用法三中的向量恒等式來(lái)解.

        題2 (2013年4月浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題5)已知直線AB與拋物線y2=4x交于A、B兩點(diǎn),M為AB的中點(diǎn),C為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若C0滿足C0A·C0B=min{CA·CB},則下列一定成立的是( ).

        A.C0M⊥AB B.C0M⊥l,其中l(wèi)是拋物線過(guò)C0的切線

        C.C0A⊥C0B D.C0M=12AB

        解析 CA·CB=14[(CA+CB)2-(CA-CB)2]=CM2-14BA2.同理:C0A·C0B=C0M2-14BA.要使C0滿足C0A·C0B=min{CA·CB},則C0A·C0B≤CA·CB恒成立,即|C0M|≤|CM|恒成立,四個(gè)選擇支逐一驗(yàn)證可選項(xiàng)B.

        題3 (2013年浙江省高考理科試題7)設(shè)△ABC,P0是邊AB上一定點(diǎn),滿足P0B=14AB,且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P,恒有PB·PC≥P0B·P0C,則( ).

        A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

        C.AB=AC D. AC=BC

        解析 取BC中點(diǎn)M,則PB·PC=14[PB+PC)2-(PB-PC)2]=PM2-14CB2.同理:P0B·P0C=P0M2-14CB2.要使恒有PB·PC≥P0B·P0C,則PM2≥P0M2恒成立,即|PM|≥|P0M|恒成立.

        圖3所以P0M恒為直線AB的垂線段,即P0M⊥AB(如圖3).又取AB中點(diǎn)N,則MN=MB,而MN=12AC,MB=12BC,所以AC=BC,選項(xiàng)D.

        值得一提的是,題3借助向量的手段考查初中平面幾何一個(gè)耳熟能詳?shù)某S枚ɡ?“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中,垂線段最短.”無(wú)獨(dú)有偶,05年浙江省理科第10題就已考過(guò)類似的知識(shí)點(diǎn):

        (2005年浙江省理科第10題)已知向量,a≠e,|e|=1,滿足對(duì)任意t∈R,恒有|a-te|≥|a-e|,則( ).

        A.a⊥e B.a⊥(a-e)

        C.e⊥(a-e)D.(a+e)⊥(a-e)

        解析 設(shè)AB=e,AC=a,AD=te,則|DC|=|a-te|,|BC|=|a-te|.要使恒有|a-te|≥|a-e|,則|DC|≥|BC|.如圖4,可知CB⊥AB,即a⊥(a-e).同理,若點(diǎn)D在AB的反向延長(zhǎng)線上,結(jié)論也一樣.選C.圖4

        更巧的是06年全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽第1小題和上面考題如出一轍:已知△ABC,若對(duì)任意t∈R,|BA-tBC|≥|AC|,則△ABC( ).

        A.必為銳角三角形 B.必為鈍角三角形

        C.必為直角三角形 D.答案不確定

        我們?cè)趶?fù)習(xí)講評(píng)一道題目時(shí),用多種方法有些時(shí)候不一定是好事,一方面學(xué)生一下難接受,結(jié)果一種方法都沒(méi)學(xué)會(huì);另一方面考試時(shí),學(xué)生在各種方法之間檢索,亂湊方法,湊不到方法反而擾亂心情.其實(shí)有時(shí)一招走遍天下更好,用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)講就是要抓住數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì),抓住核心知識(shí)點(diǎn).

        人教A版教材必修四(2007年2月)《2.5.1平面幾何中的向圖1量方法》中例1:平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型.如圖1,AC=AB+AD,DB=AB-AD,你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎?

        解析 不妨設(shè)AB=a,AD=b,則AC=a+b,DB=a-b.涉及長(zhǎng)度問(wèn)題常常考慮向量的數(shù)量積.我們計(jì)算|AC|2與|DB|2.|AC|2=AC·AC=(a+b)·(a+b)=|a|2+2a·b+|b|2. (1)

        同理,|DB|2=|a|2-2a·b +|b|2. (2)

        觀察(1)、(2)兩式的特點(diǎn),我們發(fā)現(xiàn),(1)+(2)得|AC|2+|DB|2=2(|a|2+|b|2)=2(|AB|2+|AD|2),即平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍.

        事實(shí)上教材中還有一個(gè)有用的結(jié)論沒(méi)有點(diǎn)明:(1)-(2)得4a·b=|AC|2-|DB|2=4|AO|2-|DB|2,或4a·b=(a+b)2-(a-b)2.這不由得想起在初中代數(shù)中有一個(gè)常用的恒等式是:4ab=(a+b)2-(a-b)2,它是兩個(gè)完全平方公式相減而成,而今在高中向量中有一個(gè)類似的恒等式是:4a·b=(a+b)2-(a-b)2或a·b=(a+b2)2-(a-b22).它在我省有份量的考試中頻頻出現(xiàn)應(yīng)用,同一知識(shí)點(diǎn)一考再考,深受命題專家的青睞,但考該知識(shí)點(diǎn)的載體大相庭徑,體現(xiàn)虛虛實(shí)實(shí),實(shí)實(shí)虛虛,頗有點(diǎn)像中國(guó)革命史上的“四渡赤水”.

        題1 (2012年浙江省高考理科試題15)在△ABC中,M是BC的中點(diǎn),AM=3,BC=10,則AB·AC=.

        解析 此題方法有多種,法一:AB·AC=(AM+MB)·(AM+MC)=AM2+AM·(MB+MC)+MB·AC=|AM|2-|MB|2=-16.圖2

        法二(特例法): 既然題目中沒(méi)有講什么三角形,不妨假設(shè)△ABC是以AB、AC為腰的等腰三角形,如圖2. 由AM=3,BC=10,得AB=AC=34. cos∠BAC=34+34-1002×34=-817.所以AB·AC=|AB||AC|cos∠BAC=-16.

        法三(應(yīng)用向量恒等式):AB·AC=(AB+AC2)2-(AB-AC2)2=AM2-14CB2=9-25=-16.

        下面2道題都有幾種不同特色的解題方法,現(xiàn)只用法三中的向量恒等式來(lái)解.

        題2 (2013年4月浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題5)已知直線AB與拋物線y2=4x交于A、B兩點(diǎn),M為AB的中點(diǎn),C為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若C0滿足C0A·C0B=min{CA·CB},則下列一定成立的是( ).

        A.C0M⊥AB B.C0M⊥l,其中l(wèi)是拋物線過(guò)C0的切線

        C.C0A⊥C0B D.C0M=12AB

        解析 CA·CB=14[(CA+CB)2-(CA-CB)2]=CM2-14BA2.同理:C0A·C0B=C0M2-14BA.要使C0滿足C0A·C0B=min{CA·CB},則C0A·C0B≤CA·CB恒成立,即|C0M|≤|CM|恒成立,四個(gè)選擇支逐一驗(yàn)證可選項(xiàng)B.

        題3 (2013年浙江省高考理科試題7)設(shè)△ABC,P0是邊AB上一定點(diǎn),滿足P0B=14AB,且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P,恒有PB·PC≥P0B·P0C,則( ).

        A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

        C.AB=AC D. AC=BC

        解析 取BC中點(diǎn)M,則PB·PC=14[PB+PC)2-(PB-PC)2]=PM2-14CB2.同理:P0B·P0C=P0M2-14CB2.要使恒有PB·PC≥P0B·P0C,則PM2≥P0M2恒成立,即|PM|≥|P0M|恒成立.

        圖3所以P0M恒為直線AB的垂線段,即P0M⊥AB(如圖3).又取AB中點(diǎn)N,則MN=MB,而MN=12AC,MB=12BC,所以AC=BC,選項(xiàng)D.

        值得一提的是,題3借助向量的手段考查初中平面幾何一個(gè)耳熟能詳?shù)某S枚ɡ?“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中,垂線段最短.”無(wú)獨(dú)有偶,05年浙江省理科第10題就已考過(guò)類似的知識(shí)點(diǎn):

        (2005年浙江省理科第10題)已知向量,a≠e,|e|=1,滿足對(duì)任意t∈R,恒有|a-te|≥|a-e|,則( ).

        A.a⊥e B.a⊥(a-e)

        C.e⊥(a-e)D.(a+e)⊥(a-e)

        解析 設(shè)AB=e,AC=a,AD=te,則|DC|=|a-te|,|BC|=|a-te|.要使恒有|a-te|≥|a-e|,則|DC|≥|BC|.如圖4,可知CB⊥AB,即a⊥(a-e).同理,若點(diǎn)D在AB的反向延長(zhǎng)線上,結(jié)論也一樣.選C.圖4

        更巧的是06年全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽第1小題和上面考題如出一轍:已知△ABC,若對(duì)任意t∈R,|BA-tBC|≥|AC|,則△ABC( ).

        A.必為銳角三角形 B.必為鈍角三角形

        C.必為直角三角形 D.答案不確定

        我們?cè)趶?fù)習(xí)講評(píng)一道題目時(shí),用多種方法有些時(shí)候不一定是好事,一方面學(xué)生一下難接受,結(jié)果一種方法都沒(méi)學(xué)會(huì);另一方面考試時(shí),學(xué)生在各種方法之間檢索,亂湊方法,湊不到方法反而擾亂心情.其實(shí)有時(shí)一招走遍天下更好,用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)講就是要抓住數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì),抓住核心知識(shí)點(diǎn).

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