王廣宇，解建倉，張建龍

(1 西安理工大學(xué) 教育部西北水資源與環(huán)境生態(tài)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710048；2 山西省水利建設(shè)開發(fā)中心，山西 太原 030002)

供水管網(wǎng)是一個(gè)工程造價(jià)很高、組成十分復(fù)雜的系統(tǒng)，對(duì)其進(jìn)行科學(xué)的優(yōu)化設(shè)計(jì)是降低工程造價(jià)和保證供水安全的重要途徑。供水管網(wǎng)規(guī)劃是供水系統(tǒng)中的重要一環(huán)，隨著水資源日益緊缺和水資源開發(fā)利用率的提高，供水管網(wǎng)改擴(kuò)建等工程所需的投入逐漸增大。因此，供水管網(wǎng)的規(guī)劃和設(shè)計(jì)是否科學(xué)、實(shí)用，直接影響工程的投資、運(yùn)行管理費(fèi)用及系統(tǒng)的可靠性，這就對(duì)供水管線路徑的合理規(guī)劃設(shè)計(jì)研究提出了更高的要求。自前蘇聯(lián)學(xué)者羅巴喬夫、莫什寧等首次將經(jīng)濟(jì)觀點(diǎn)引入到供水管網(wǎng)設(shè)計(jì)領(lǐng)域以來，供水管網(wǎng)技術(shù)經(jīng)濟(jì)計(jì)算已得到迅速的發(fā)展[1]。常用的優(yōu)化方法包括空間分析法、線性規(guī)劃法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法、枚舉法、最優(yōu)控制法、廣義簡(jiǎn)約梯度法[2-4]等，相繼被引入供水管網(wǎng)的優(yōu)化領(lǐng)域。但是包含遺傳算法、模擬退火算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法在內(nèi)的許多新方法目前仍然是以理論研究為主，工程應(yīng)用還比較少見。由于實(shí)際的優(yōu)化問題常常表現(xiàn)出高維、多峰值、非線性、不連續(xù)、非凸性及帶噪聲等復(fù)雜特性，本研究重點(diǎn)從工程應(yīng)用角度對(duì)管網(wǎng)建模和優(yōu)化算法進(jìn)行研究，以Dorigo等[5-6]提出的蟻群優(yōu)化算法(ACO algorithm)為基礎(chǔ)，分析該方法應(yīng)用于求解組合優(yōu)化[7]、電路布線[8]、數(shù)據(jù)挖掘[9]、沉降預(yù)測(cè)[10]等問題時(shí)存在的不足，并結(jié)合蟻群算法的最新研究進(jìn)展[11-14]，針對(duì)管道供水路徑優(yōu)化問題的特點(diǎn)，提出一種基于改進(jìn)蟻群算法的供水管網(wǎng)優(yōu)化計(jì)算方法，以期為供水路徑的優(yōu)化提供支持。

1 管網(wǎng)供水問題及數(shù)學(xué)模型的建立

1.1 管網(wǎng)供水問題

水利工程長(zhǎng)距離輸水有多種方式，如埋地管道輸水、明渠輸水、箱涵輸水等。相比較而言,埋地管道輸水具有供水保證率高、損失水量少、運(yùn)行管理方便、維護(hù)工作量小以及防污染性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，尤其是在輸水線路沿線沖溝較多的情況下可考慮采用此方式。在管道供水時(shí)，應(yīng)充分利用蓄水工程的水頭，采用有壓重力流輸水，以節(jié)省能耗、降低工程運(yùn)行成本。輸水管線布置應(yīng)盡量取直，以減少水頭損失及控制工程的規(guī)模，降低工程造價(jià)。盡量靠近現(xiàn)有道路或規(guī)劃道路布設(shè)，以方便施工和運(yùn)行維護(hù)管理，并盡量避開不良土質(zhì)地帶。

管網(wǎng)規(guī)劃與布置是管道系統(tǒng)規(guī)劃中的關(guān)鍵部分，管網(wǎng)布設(shè)的合理與否，對(duì)工程投資、運(yùn)行狀況和管理維護(hù)有很大影響。因此對(duì)管網(wǎng)規(guī)劃與布設(shè)方案的確定，應(yīng)通過多種方案進(jìn)行反復(fù)計(jì)算和比較，以達(dá)到經(jīng)濟(jì)合理的目的，減少工程投資并確保系統(tǒng)運(yùn)行可靠。管網(wǎng)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)按照管網(wǎng)總長(zhǎng)度最短、投資最小的原則，確定管網(wǎng)中各級(jí)管道的走向和長(zhǎng)度，得到管道總長(zhǎng)度最小的樹狀管網(wǎng)。在供水中各需水區(qū)也都有自己的優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì)，在一個(gè)完整的供水過程中選擇哪一條線路取決于很多復(fù)雜的因素，如成本、時(shí)間、地質(zhì)地貌等。因此，如何在最短的路徑上、以最低成本完成各需水區(qū)的供水管道布設(shè)，即供水水源與需水區(qū)之間的供水管道路徑優(yōu)化，是順利實(shí)現(xiàn)供水的關(guān)鍵。

1.2 數(shù)學(xué)模型的建立

1.2.1 基本假設(shè) ① 不考慮管道材質(zhì)和供水過程中的輸水損失；② 不考慮人為因素對(duì)輸水管道的影響；③ 每個(gè)需供水點(diǎn)對(duì)水資源需求的緊迫程度相同。

1.2.2 數(shù)學(xué)模型 在對(duì)需水地區(qū)管道供水的路徑進(jìn)行選擇時(shí)，主要目標(biāo)是要求供水所需的總成本(包括輸水所需管線長(zhǎng)度、需水區(qū)之間的距離以及其他所需費(fèi)用等)最低。設(shè)水源中心規(guī)劃鋪設(shè)供水管道m(xù)條，需要對(duì)n個(gè)需水區(qū)配備水資源，需水區(qū)的需水量為qi(0

(1)

輸水管道k對(duì)需水區(qū)i承擔(dān)的輸水任務(wù)由下式表示：

(2)

根據(jù)規(guī)劃的總成本最低目標(biāo)，則該問題的數(shù)學(xué)模型如下。

(1)目標(biāo)函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)可表示為：

(3)

式中：Z表示總成本(億元)，dij為需水區(qū)i到j(luò)之間的路徑長(zhǎng)度(km)。

(2)約束條件。① 輸水管道設(shè)計(jì)流量約束可表示為：

(4)

② 每個(gè)需水區(qū)的需求只有1條輸水管道滿足，所有的輸水任務(wù)則由m條管道協(xié)同完成：

(5)

③ 要求到達(dá)某一需水區(qū)的輸水管道有且只有1條，其約束的條件為：

(6)

(7)

2 改進(jìn)蟻群算法的設(shè)計(jì)

盡管蟻群算法具有較強(qiáng)的魯棒性、簡(jiǎn)單性、自調(diào)節(jié)性、易進(jìn)行分布式計(jì)算、可與其他方法兼容等特點(diǎn)，但尚存在一些缺陷：(1)算法較復(fù)雜，需要較長(zhǎng)的搜索時(shí)間；(2)搜索進(jìn)行到一定程度后，容易出現(xiàn)停滯現(xiàn)象，不能對(duì)解空間進(jìn)一步搜索，不利于發(fā)現(xiàn)全局最優(yōu)解。通過對(duì)基本蟻群算法模型的研究，可以依據(jù)以下2個(gè)方面對(duì)算法進(jìn)行改進(jìn)：(1)選擇策略。信息素濃度與路徑被選擇的概率成正比。(2)更新策略。路徑上的信息素濃度與螞蟻的經(jīng)過量成正比，與經(jīng)過的時(shí)間成反比。

2.1 路徑選擇策略

在算法的初始時(shí)刻，當(dāng)將m只螞蟻隨機(jī)地放到n個(gè)需水區(qū)時(shí)，對(duì)于大規(guī)模的路徑選擇問題，螞蟻在選擇下一需水區(qū)時(shí)要考慮所有可能的需水區(qū)集合，需要很長(zhǎng)的搜索時(shí)間，搜索效率比較低。因此，為減少搜索時(shí)間，可將螞蟻要選擇的需水區(qū)數(shù)量限制在一個(gè)子集范圍內(nèi)，這些子集是距離螞蟻所在地較近的需水區(qū)。路徑選擇的改進(jìn)主要包括以下幾個(gè)方面。

(8)

3)啟發(fā)信息的歸一化。由于螞蟻轉(zhuǎn)移的概率受啟發(fā)信息影響很大，當(dāng)參數(shù)的初始值選擇不合適，或者啟發(fā)信息中的一項(xiàng)過早地起決定性作用，導(dǎo)致收斂過快而得到非最優(yōu)解。因此考慮將該參數(shù)限制在適當(dāng)?shù)姆秶蓪l(fā)式信息進(jìn)行歸一化處理，以取得較好的搜索效果。歸一化處理步驟如下：

② 從步驟①中找出最大和最小啟發(fā)信息ηmax和ηmin；

4) 選擇概率的全局策略。每只螞蟻按照各條路徑上的信息素?cái)?shù)量和啟發(fā)式信息獨(dú)立選擇下一座需水區(qū)。當(dāng)螞蟻完成周游后，在其訪問的每一條邊上留下信息素。在t時(shí)刻螞蟻k在需水區(qū)i選擇需水區(qū)j的轉(zhuǎn)移概率，除了與下一需水區(qū)之間的距離及路徑上的信息素有關(guān)外，還與螞蟻周游一圈的全局距離相關(guān)。因此，在對(duì)需水區(qū)優(yōu)選、距離虛擬化及啟發(fā)信息歸一化改進(jìn)的基礎(chǔ)上，可在概率的選擇中加入全局距離策略，表示如下：

(9)

2.2 信息素更新策略

(1)信息素的局部更新。信息素的局部更新可以采用蟻群系統(tǒng)的更新策略，即局部更新只對(duì)循環(huán)中最優(yōu)的螞蟻適用，而不適用于所有的螞蟻。信息素的局部更新按下式進(jìn)行：

τ(i,j)=(1-ρ)·τ(i,j)+ρ·Δτ(i,j);

(10)

Δτ(i,j)=1/L*。

(11)

式中：τ(i,j)為螞蟻在需水區(qū)i到需水區(qū)j之間的信息素量；ρ為信息素?fù)]發(fā)強(qiáng)度系數(shù)；Δτ(i,j)為需水區(qū)i到需水區(qū)j之間的信息素增量；L*為按照優(yōu)先選取最近需水區(qū)的原則所確定的一個(gè)回路的長(zhǎng)度。

(2)信息素的全局更新。主要改進(jìn)包括：① 每次迭代結(jié)束后，只更新最優(yōu)解路徑上的信息，從而更好地利用了歷史信息；② 將各條路徑上的信息素限制于[τmin，τmax]，超出范圍的值將會(huì)被強(qiáng)制設(shè)置為最大值或者最小值，可以避免算法過早地收斂于非全局最優(yōu)解；③ 初始時(shí)刻，各條路徑上的信息素初設(shè)值為最大值，便于算法更好地發(fā)現(xiàn)優(yōu)化解。信息素的全局更新公式為：

(12)

(13)

式中：Δτbest(i，j)為最優(yōu)解路徑上的信息素增量；Lbest為最優(yōu)路徑的長(zhǎng)度。

(3)螞蟻數(shù)量的自適應(yīng)調(diào)整。雖然蟻群算法能夠獲得較高質(zhì)量的解，但是對(duì)于大規(guī)模的問題，特別是復(fù)雜系統(tǒng)問題，算法容易停滯。此時(shí)，可以用增加螞蟻數(shù)量的辦法來解決。增加螞蟻的數(shù)量如下：

mt+1(i，j)=mt(i，j)+Δm。

(14)

式中：mt+1(i，j)、mt(i，j)分別為t+1和t時(shí)刻需水區(qū)i、j之間的螞蟻數(shù)；Δm(Δm=0.5mt(i，j))為增加螞蟻的數(shù)量。

受MMAS算法的啟發(fā)，在改進(jìn)的算法中每當(dāng)出現(xiàn)停滯時(shí)，可以自適應(yīng)地提高信息素水平的最小閾值來增大搜索空間，以期發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解。當(dāng)算法停滯后，在增加螞蟻的同時(shí)，將所有路徑上的信息素水平調(diào)整為：

(15)

式中：δ∈[0,1]的隨機(jī)數(shù)。

(4)增加隨機(jī)干擾。經(jīng)過一段時(shí)間的運(yùn)行，仍可能收斂到局部最短路徑。為避免過早收斂而停滯，當(dāng)大部分螞蟻(當(dāng)螞蟻數(shù)超過螞蟻總數(shù)的2/3時(shí))的搜索路徑是當(dāng)前的最短路徑時(shí)，可對(duì)局部最短路徑上的信息素水平增加隨機(jī)干擾，以增加搜索的多樣性?？砂慈缦鹿皆黾痈蓴_：

τ(i,j)=0.5τ(i,j)+0.5r。

(16)

式中：r為[0,1]的隨機(jī)數(shù)。

3 實(shí)例計(jì)算與分析

巴家咀水庫位于甘肅省東部涇河支流蒲河中游的黃土高原溝壑區(qū)，設(shè)計(jì)灌溉面積9 648 hm2，為西峰區(qū)日供水4.38萬m3。同時(shí)，水庫肩負(fù)著下游陜甘2省10個(gè)區(qū)縣14萬人、19 095 hm2耕地及312國道的防洪安全任務(wù)，是集防洪、供水、灌溉、發(fā)電等功能于一體的大型綜合水利樞紐。表1為巴家咀水庫供水區(qū)域各需水區(qū)的距離及需水量。

應(yīng)用改進(jìn)蟻群算法進(jìn)行管道供水路徑優(yōu)化，步驟如下。

Step 1 參數(shù)初始化。設(shè)時(shí)間t=0；迭代次數(shù)計(jì)算器Nc=0，預(yù)定的最大循環(huán)次數(shù)Nc max；每條路徑上的信息素初值為τij(t)=τmax；信息素增量的初始值設(shè)為0；信息素?fù)]發(fā)強(qiáng)度系數(shù)為ρ；地貌狀況及林地狀況對(duì)路徑的影響程度分別為aij和bij；設(shè)置初始化禁忌表為空tabuk=Φ，將m只螞蟻隨機(jī)放在n個(gè)節(jié)點(diǎn)上。

Step 3 按照式(8)計(jì)算虛擬化的節(jié)點(diǎn)距離，同時(shí)計(jì)算啟發(fā)信息并歸一化。

Step 4 對(duì)于每1只螞蟻(fori=1 tom)，根據(jù)狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移公式(9)計(jì)算的概率選擇節(jié)點(diǎn)j，j∈(C-tabuk)(C={c1,c2,…,cn}為n個(gè)節(jié)點(diǎn)集合，C為需水區(qū)集合)，將節(jié)點(diǎn)j置于當(dāng)前解集。

Step 5 修改禁忌表，并將螞蟻移動(dòng)到新的節(jié)點(diǎn)，將該節(jié)點(diǎn)移動(dòng)到該螞蟻個(gè)體的禁忌表中。

Step 6 計(jì)算各螞蟻的路徑長(zhǎng)度Lk；記錄當(dāng)前的最好解，如果優(yōu)于當(dāng)前的最好解，則用其替換當(dāng)前的最好解。

Step 7 根據(jù)改進(jìn)后的信息素更新公式更新每條路徑上的信息量。

Step 8 判斷算法是否停滯，若停滯則按照式(14)進(jìn)行螞蟻數(shù)量的自適應(yīng)調(diào)整，并按照式(15)修改相應(yīng)路徑上的信息素；判斷某一路徑上的螞蟻數(shù)是否超過螞蟻總數(shù)的2/3，若超過則按照式(16)進(jìn)行隨機(jī)干擾；否則，進(jìn)入Step 9。

Step 9 若迭代次數(shù)小于預(yù)定的迭代次數(shù)(Nc max)且無退化行為(即找到的都是相同解)則轉(zhuǎn)到Step 4；若循環(huán)次數(shù)大于預(yù)定的迭代次數(shù)(Nc max)，則循環(huán)結(jié)束并輸出程序計(jì)算結(jié)果。

Step 10 輸出目前的最優(yōu)解。

表 1 巴家咀水庫供水區(qū)域之間的距離及需水量

借鑒文獻(xiàn)[15]的研究成果，本研究的參數(shù)取值分別為：α=1，β=3.5，ρ=0.3，m=200，τmax=10，τmin=0.1，Nc max=100，τ0=τmax，μ=1.0，aij=0.8和bij=0.3。以MATLAB為應(yīng)用平臺(tái)，按照上述路徑優(yōu)化步驟，對(duì)改進(jìn)的蟻群算法編寫程序，以實(shí)現(xiàn)對(duì)供水管線優(yōu)化問題的求解。

根據(jù)巴家咀水庫供水規(guī)劃的要求，擬以巴家咀水庫為中心，設(shè)計(jì)4條供水管道，設(shè)計(jì)流量1.2 m3/s，根據(jù)改進(jìn)的蟻群算法，得到4條最優(yōu)的供水路徑布設(shè)如圖1，分別為：① 水庫→五郎鋪→彭原→草灘→米家川；② 水庫→溫泉→文安→什社→官坳；③ 水庫→后官→董志→南莊→紙坊；④ 水庫→肖金→顯勝。

圖1 基于改進(jìn)蟻群算法的巴家咀水庫最優(yōu)的布設(shè)路徑

為驗(yàn)證改進(jìn)蟻群算法的合理性，在采用相同初始值的情況下，分別利用基本蟻群算法和改進(jìn)蟻群算法進(jìn)行5次優(yōu)化計(jì)算，結(jié)果比較詳見表2。由表2可以看出，利用改進(jìn)蟻群算法所得到的平均路徑、最短路徑和最差路徑分別為139.635 5，138.214 7和142.301 9 km，基本蟻群算法的結(jié)果為145.042 1，140.582 7和149.215 5 km，5次的計(jì)算結(jié)果均表明改進(jìn)蟻群算法優(yōu)于基本蟻群算法。此外，改進(jìn)蟻群算法的平均迭代次數(shù)為314次，也明顯優(yōu)于基本蟻群算法的638次，說明其收斂速度更快。根據(jù)式(3)計(jì)算供水成本可知，采用改進(jìn)蟻群算法和基本蟻群算法的最短路徑所需總成本分別為11.32和11.51億元。通過比較可知，改進(jìn)蟻群算法所計(jì)算的路徑能夠降低工程投資。

表 2 基本蟻群算法和改進(jìn)蟻群算法優(yōu)化計(jì)算結(jié)果的比較

4 結(jié) 論

本研究根據(jù)巴家咀水庫管道供水路徑優(yōu)化的問題，提出了一種改進(jìn)的蟻群算法。該算法結(jié)合黃土高原溝壑區(qū)的地貌情況，引入虛擬路徑距離，對(duì)啟發(fā)信息進(jìn)行歸一化處理，將螞蟻要選擇的節(jié)點(diǎn)數(shù)量限制在距螞蟻所在地較近的一個(gè)子集范圍內(nèi)，并利用全局策略進(jìn)行節(jié)點(diǎn)的概率選擇；同時(shí)，信息素的更新充分利用歷史的最優(yōu)路徑進(jìn)行更新，并將其限制在最大值和最小值之間，可以避免收斂過早；為使蟻群算法獲得高質(zhì)量的最優(yōu)解，防止改進(jìn)算法出現(xiàn)停滯，利用螞蟻數(shù)量自適應(yīng)調(diào)整和增加隨機(jī)干擾的策略，增加了搜索的多樣性，避免算法陷入局部最優(yōu)解。

由于改進(jìn)蟻群算法中引入了虛擬路徑的概念，因此該算法能很好地適用于復(fù)雜地質(zhì)、地貌形態(tài)的輸電線路優(yōu)化、管網(wǎng)設(shè)計(jì)、道路鋪設(shè)等問題。實(shí)例計(jì)算分析表明，改進(jìn)蟻群算法可以提高全局搜索能力和收斂速度，能快速有效地解決供水路徑的最優(yōu)解或近似最優(yōu)解，可以為供水管道的設(shè)計(jì)優(yōu)化選擇提供參考，具有一定的指導(dǎo)意義。本研究雖然對(duì)蟻群算法進(jìn)行了改進(jìn)研究，但該算法還不夠成熟，真實(shí)蟻群的行為特征、蟻群算法的并行實(shí)現(xiàn)、與其他算法的結(jié)合、蟻群算法的群體智能等還有待于進(jìn)一步探索和研究。

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