鄭曦, 智永鋒, 張駿

(西北工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院, 陜西 西安 710072)

自適應(yīng)濾波技術(shù)在噪聲和回波消除、均衡、波束形成中得到了廣泛應(yīng)用。歸一化最小均方(normalized least mean square, NLMS)算法計(jì)算簡單，因此獲得了廣泛應(yīng)用[1]。但是對(duì)于高度自相關(guān)的輸入信號(hào)，信號(hào)特征值相差比較大，NLMS算法表現(xiàn)出了收斂速度慢的特性。為了改善這一問題，提出了一些高效、快速收斂的自適應(yīng)濾波算法。比如，從幾何理論研究的角度，文獻(xiàn)[2]首次提出了仿射投影(affine projection, AP)算法。通過引入輸入信號(hào)方向向量的概念，建立了基于自回歸模型的AP算法和滑動(dòng)平均模型的正交迭代(orthogonal direction, OD)算法[3]?；谶B續(xù)的輸入信號(hào)相互正交將促進(jìn)自適應(yīng)濾波器收斂的思想，建立了一種基于正交因子的NLMS算法[4]。文獻(xiàn)[5]建立了一種簡化的AP算法，稱為偽仿射投影(pseudo affine projection algorithm, PAP)算法。接著文獻(xiàn)[6]分析了PAP算法的統(tǒng)計(jì)特性，研究了PAP算法的權(quán)值均方誤差收斂性。

基于變步長可以促進(jìn)自適應(yīng)濾波的性能，文獻(xiàn)[7]建立了一種帶有指數(shù)平滑因子的AP算法。通過分析估計(jì)輸出的誤差信號(hào)，文獻(xiàn)[8]獲得了迭代步長的一個(gè)實(shí)時(shí)估計(jì)值，建立了一種自適應(yīng)增益AP算法，接著分析了AP算法權(quán)值穩(wěn)定狀態(tài)的解[9]。文獻(xiàn)[10]分析了基于回歸估計(jì)誤差的AP算法統(tǒng)計(jì)特性，接著分析了其優(yōu)化迭代步長[11]。

在本論文中，通過分析PAP算法的迭代步長，利用OD算法定義的輸入信號(hào)方向向量，使得在其方向的權(quán)值誤差等于0，獲得了PAP算法的優(yōu)化迭代步長，促進(jìn)了自適應(yīng)濾波器的收斂性和失調(diào)量。

1 PAP算法

在自適應(yīng)濾波器的系統(tǒng)辨識(shí)模型中，系統(tǒng)的輸入是均值等于0的穩(wěn)定信號(hào)xn。利用抽頭延遲線可以把輸入信號(hào)轉(zhuǎn)換為輸入向量xn，定義為

xn=[xnxn-1 …xn-N+1]T

(1)

由m個(gè)輸入向量構(gòu)成的輸入矩陣Xn-1，定義為

Xn-1=[xn-1xn-2…xn-m]

(2)

系統(tǒng)辨識(shí)的目標(biāo)是在離散的時(shí)間點(diǎn)n，利用最近的(m+1)個(gè)輸入向量，估計(jì)一個(gè)N維的權(quán)值向量wn。文獻(xiàn)[3]給出了用自適應(yīng)濾波器實(shí)現(xiàn)PAP算法更新權(quán)值向量的結(jié)構(gòu)，其迭代過程如下所示：

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

從(3)式到(7)式構(gòu)成了PAP算法，下面將分析PAP算法的優(yōu)化迭代步長，以促進(jìn)其收斂性和失調(diào)量的性能。

2 優(yōu)化迭代步長

假設(shè)存在著一個(gè)真實(shí)的N維權(quán)值向量w0。因此，相應(yīng)的誤差信號(hào)可以寫為

(8)

式中

(9)

εn為系統(tǒng)的測量噪聲。為了獲得PAP算法的優(yōu)化迭代步長，把(5)式中的定步長μ替換成μn?；?5)式和(9)式，可得變步長PAP算法權(quán)值誤差的迭代方程

(10)

(11)

從(5)式可以看出，PAP算法的迭代方向是輸入信號(hào)的方向向量φn，在(n+1)時(shí)刻,最優(yōu)的迭代步長使得權(quán)值誤差在輸入信號(hào)方向向量的方向等于0。因此，基于(11)式，可得在n步的優(yōu)化迭代步長等于

(12)

(13)

式中

(14)

定義過去k個(gè)輸入信號(hào)方向向量組成的輸入向量矩陣為

φn-1φn-2…φn-k]

(15)

(16)

基于(15)式和(16)式,可得

; 1≤δ≤k

?

(17)

由(17)式遞推可得

(18)

基于(11)式和(18)式,可得

(19)

(20)

經(jīng)整理,(19)式、(20)式可以重新寫為

(21)

在實(shí)際系統(tǒng)中,系統(tǒng)不可避免地受到系統(tǒng)測量噪聲的影響。基于(8)式

(22)

(23)

因此,可得基于優(yōu)化迭代步長PAP算法的權(quán)值更新方程

(24)

(3)式、(4)式、(6)式、(7)式、(23)式和(24)式以一定的順序構(gòu)成了基于優(yōu)化迭代步長的PAP算法,確保了在自適應(yīng)濾波器迭代的(n+1)步,權(quán)值誤差在輸入信號(hào)方向向量的方向等于0。因此,所建立的算法促進(jìn)了自適應(yīng)濾波器的收斂速度和穩(wěn)態(tài)性能。

3 仿真示例

假定自適應(yīng)濾波器的初始估計(jì)權(quán)值向量w0=0,其為32維的向量。信噪比設(shè)置為60 dB,算法仿真結(jié)果的均方誤差學(xué)習(xí)曲線是通過對(duì)100個(gè)相互獨(dú)立的學(xué)習(xí)曲線求平均值而得,優(yōu)化迭代步長μ0,opt的初始值等于1。假設(shè)自適應(yīng)濾波器的真實(shí)權(quán)值向量w0具有最大熵,也就是說在各個(gè)方向具有相同大小的值。在本文中假定各個(gè)方向的幅值等于1,因此可得

w0=I

(25)

式中：I是一個(gè)所有元素等于1的32維向量。

圖1 輸入信號(hào)是AR(1)模型時(shí)所建立算法的學(xué)習(xí)曲線

示例一輸入信號(hào)是yn=-0.95yn-1+zn,其中zn為均值等于0的高斯白噪聲,選擇參數(shù)m和k等于2。圖1給出了優(yōu)化迭代步長的自適應(yīng)PAP算法均方誤差的學(xué)習(xí)曲線,從圖中可以看出所建立算法的收斂速度比較快,穩(wěn)態(tài)誤差比較小。

示例二輸入的信號(hào)是yn=zn+0.95zn-1-0.4zn-3-0.95yn-1,選擇參數(shù)m=3和k=3。圖2給出了優(yōu)化迭代步長的自適應(yīng)PAP算法均方誤差的學(xué)習(xí)曲線,從圖中可以看出所建立的算法促進(jìn)了自適應(yīng)濾波器的收斂速度,同時(shí)獲得了比較好的穩(wěn)態(tài)性能。

圖2 輸入信號(hào)是ARMA(1, 3)模型時(shí)所建立算法的學(xué)習(xí)曲線

4 結(jié) 論

通過分析PAP算法在輸入信號(hào)方向向量上權(quán)值誤差引起的估計(jì)輸出誤差信號(hào)，使得權(quán)值誤差在輸入信號(hào)方向向量的誤差等于0，結(jié)合OD算法定義的輸入信號(hào)方向向量，利用自回歸模型和滑動(dòng)平均模型可以相互近似表示的原理，獲得了PAP算法的優(yōu)化迭代步長。仿真結(jié)果表明：相比較于PAP算法，本文提出的算法促進(jìn)了自適應(yīng)濾波器的收斂性和失調(diào)量。

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