徐明興, 祝小平, 周洲, 王懌, 張波

(1.西北工業(yè)大學(xué) 無(wú)人機(jī)特種技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安 710072; 2.西北工業(yè)大學(xué) 無(wú)人機(jī)所, 陜西 西安 710072)

一個(gè)舵面對(duì)另一個(gè)舵面的影響稱為交叉耦合效應(yīng),常規(guī)布局飛機(jī)一般具有升降舵、副翼和方向舵3組操縱面,3組操縱面之間交叉耦合效應(yīng)不大?；跉鈩?dòng)布局、隱身設(shè)計(jì)及安全飛行的考慮,大展弦比飛翼布局飛機(jī)一般采用多個(gè)操縱面冗余配置的布局方式。多操縱面冗余配置帶來(lái)了操縱面數(shù)量多于需要的操縱舵面和舵面操縱功能不明確的問(wèn)題[1-2]。多個(gè)舵面冗余布局使交叉耦合效應(yīng)影響變大,為了提高控制指令的分配精度,在控制分配算法中考慮交叉耦合效應(yīng)十分必要。

解決考慮交叉耦合效應(yīng)的控制分配問(wèn)題比較直接的方法是將舵效擬合成非線性函數(shù),采用非線性規(guī)劃方法直接對(duì)舵偏量進(jìn)行規(guī)劃。非線性規(guī)劃法采用迭代的求解形式,計(jì)算量非常大,算法實(shí)時(shí)性很差,難以滿足飛控系統(tǒng)對(duì)控制分配算法的實(shí)時(shí)性要求。文獻(xiàn)[3]將考慮交叉耦合效應(yīng)的非線性規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為序列線性規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行求解,降低了計(jì)算量,提高了算法實(shí)時(shí)性。文獻(xiàn)[4]將非線性規(guī)劃的可行解集合用有限個(gè)多胞形取代,在多胞形上極小化了目標(biāo)函數(shù)。但上述算法要求交叉耦合力矩必須擬合成雙線性形式且求解須進(jìn)行多次數(shù)學(xué)規(guī)劃,算法實(shí)時(shí)性仍然較差。

本文針對(duì)大展弦比飛翼布局飛機(jī)存在的舵效交叉耦合問(wèn)題,使用序列線性規(guī)劃方法和基于補(bǔ)償?shù)木€性規(guī)劃法研究控制分配問(wèn)題,并對(duì)2種算法的分配結(jié)果以及算法的計(jì)算量進(jìn)行了對(duì)比分析。結(jié)果表明,基于補(bǔ)償?shù)木€性規(guī)劃法的實(shí)時(shí)性要明顯好于序列線性規(guī)劃法且對(duì)交叉耦合力矩的數(shù)學(xué)形式?jīng)]有固定要求。

1 開裂式方向舵交叉耦合效應(yīng)分析

本文所研究的大展弦比飛翼布局飛機(jī)采用了開裂式方向舵進(jìn)行航向控制,開裂式方向舵的張角較大會(huì)對(duì)周圍舵面產(chǎn)生干擾,這種交叉耦合效應(yīng)會(huì)對(duì)操縱力矩造成較大影響。

該飛翼布局飛機(jī)配置多個(gè)操縱面,左右各有4個(gè)舵面,其中最外面的是開裂式方向舵,舵面布置如圖1所示。將左右舵面分別定義為δl1、δl2、δl3、δl4和δr1、δr2、δr3、δr4。除開裂式方向舵外,其他舵面統(tǒng)一規(guī)定向下偏轉(zhuǎn)為正。

飛翼布局飛機(jī)舵面之間的交叉耦合主要體現(xiàn)在開裂式方向舵與相鄰舵面之間。以左側(cè)開裂式方向舵為例對(duì)交叉耦合的影響進(jìn)行簡(jiǎn)要分析,對(duì)比考慮交叉耦合影響前后,開裂式方向舵與臨近升降副翼產(chǎn)生的總操縱力矩系數(shù)。圖2～圖4為某狀態(tài)點(diǎn)下,開裂式方向舵偏轉(zhuǎn)20°和90°時(shí),開裂式方向舵與臨近升降副翼產(chǎn)生的總的滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏航操縱力矩系數(shù)。

圖1 飛翼布局飛機(jī)舵面布置示意圖

由圖2～圖4分析可知,交叉耦合效應(yīng)隨著開裂式方向舵舵偏量增大而逐漸增大。交叉耦合效應(yīng)對(duì)滾轉(zhuǎn)和俯仰操縱力矩影響較大,對(duì)偏航操縱力矩影響非常小,基本可以忽略。交叉耦合效應(yīng)會(huì)降低升降副翼的滾轉(zhuǎn)和俯仰操縱效能,但對(duì)開裂式方向舵的偏航操縱效能影響不大。由于交叉耦合的影響,基于線性模型的控制分配[5-7]結(jié)果會(huì)產(chǎn)生一定的誤差。為提高分配精度,有必要在控制分配算法中考慮交叉耦合的影響。

圖2 考慮耦合前后的滾轉(zhuǎn)操縱力矩系數(shù)對(duì)比 圖3 考慮耦合前后的俯仰操縱力矩系數(shù)對(duì)比 圖4 考慮耦合前后的偏航操縱力矩系數(shù)對(duì)比

2 基于線性模型的控制分配方法

控制分配問(wèn)題是指如何將控制律給出的期望控制指令分配給冗余的操縱面,并使某些特定指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。飛控系統(tǒng)中,期望控制指令一般為三個(gè)軸上的操縱力矩。僅考慮操縱面的位置約束,假定操縱面舵偏與操縱力矩之間為線性關(guān)系,則線性控制分配問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述如下[8]

(1)

選用1范數(shù)對(duì)分配解的優(yōu)良性進(jìn)行度量,得到誤差目標(biāo)最小的控制分配問(wèn)題如下：

(2)

增加控制量1范數(shù)最小為次要目標(biāo)得到混合目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題

(3)

式中：up是基準(zhǔn)的舵偏量;w為誤差最小目標(biāo)的權(quán)重調(diào)節(jié)系數(shù),增大w可以提高誤差最小目標(biāo)的優(yōu)先性,一般情況下,w?1。可以將上述控制分配問(wèn)題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)線性規(guī)劃問(wèn)題,方便地利用已有的線性規(guī)劃算法,例如單純形法和大M法等[9-10]。

3 考慮交叉耦合效應(yīng)的控制分配

3.1 序列線性規(guī)劃法

對(duì)開裂式方向舵的交叉耦合非線性特性進(jìn)行分析可知,操縱力矩中除了包含舵面自身偏轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的力矩之外,還包含由于交叉耦合效應(yīng)產(chǎn)生的操縱力矩。以滾轉(zhuǎn)操縱力矩為例,滾轉(zhuǎn)操縱力矩為8個(gè)舵面單獨(dú)偏轉(zhuǎn)產(chǎn)生的操縱力矩與開裂式方向舵產(chǎn)生的交叉耦合力矩之和。

Cl=Cl(δl1)+Cl(δl2)+Cl(δl3)+Cl(δl4)+

Cl(δr1)+Cl(δr2)+Cl(δr3)+Cl(δr4)+

Cl(δl3,δl4)+Cl(δr3,δr4)

(4)

式中：Cl表示滾轉(zhuǎn)操縱力矩;Cl(δi)表示各個(gè)舵面單獨(dú)偏轉(zhuǎn)產(chǎn)生的滾轉(zhuǎn)操縱力矩;C(δl3,δl4)和C(δr3,δr4)分別表示左右兩側(cè)開裂式方向舵的交叉耦合效應(yīng)產(chǎn)生的滾轉(zhuǎn)力矩。

交叉耦合力矩是不可分離的非線性項(xiàng),傳統(tǒng)的線性控制分配方法無(wú)法解決包含交叉耦合的分配問(wèn)題。在有些情況下,可以將交叉耦合力矩表示成雙線性形式,例如

(5)

此時(shí),操縱力矩系數(shù)與舵偏的關(guān)系可以表示成如下形式

(6)

式中:Ql、Qm和Qn為交叉耦合系數(shù)矩陣,對(duì)一個(gè)n維控制向量來(lái)說(shuō),Ql的具體形式如下：

類似地,可以得到Qm和Qn。對(duì)本文研究的大展弦比飛翼布局飛機(jī),Ql、Qm和Qn中不存在交叉耦合效應(yīng)的舵面對(duì)應(yīng)的元素均為零。簡(jiǎn)便起見,定義

(7)

給定考慮交叉耦合的混合目標(biāo)最優(yōu)分配問(wèn)題

(8)

上述混合目標(biāo)最優(yōu)問(wèn)題本質(zhì)上是一個(gè)非線性規(guī)劃問(wèn)題,為了簡(jiǎn)化處理問(wèn)題,可將非線性規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)序列線性規(guī)劃問(wèn)題。序列線性規(guī)劃方法求解非線性規(guī)劃的基本原理是將凸規(guī)劃的可行解集合用有限個(gè)半空間來(lái)近似,并求解一系列不斷改進(jìn)的線性規(guī)劃,它們的最優(yōu)解收斂于原凸規(guī)劃的最優(yōu)解[11]。

已知第k步序列線性規(guī)劃問(wèn)題的解為δk,則第k+1步序列線性規(guī)劃問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)為

(9)

不等式約束為

(10)

序列線性規(guī)劃法的截止條件為

≤Tol

(11)

式中：Tol為容許誤差限。

為了使序列規(guī)劃法的收斂速度更快,可行解的初始值δ0的選擇很重要,δ0可由以下混合目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題給出

(12)

3.2 基于補(bǔ)償?shù)木€性規(guī)劃法

使用序列規(guī)劃法可以有效解決考慮交叉耦合效應(yīng)的控制分配問(wèn)題,但序列線性規(guī)劃法本質(zhì)上仍是非線性規(guī)劃方法,計(jì)算量較大。而且序列線性規(guī)劃法要求交叉耦合力矩可以擬合成雙線性形式,這限制了其應(yīng)用范圍。本文研究對(duì)象大展弦比飛翼飛機(jī)中,存在交叉耦合的只是部分舵面,考慮使用不存在耦合的舵面來(lái)補(bǔ)償交叉耦合力矩。

將δ分組為

(13)

式中：δ1為不存在舵效交叉耦合的舵偏量,δ2為存在交叉耦合的舵偏量。對(duì)應(yīng)地,將控制效率分塊為

B=[B1,B2]

(14)

操縱面產(chǎn)生的操縱力矩為

Mc(δ1,δ2)=B1δ1+B2δ2+ΔC(δ2)

(15)

式中：ΔC(δ2)為交叉耦合力矩。

給定操縱力矩指令Md,令

(16)

將(16)式代入(15)式,可得

Mc(δ1+Δδ1,δ2)=Md

(17)

Step1 求解如下混合目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題

(18)

Step2 求解如下混合目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題

(19)

Step3 得到控制分配問(wèn)題的解

(20)

Step1和Step2中的混合目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題均可以方便地轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)線性規(guī)劃問(wèn)題,具體過(guò)程不再詳述。由以上推導(dǎo)過(guò)程可知,基于補(bǔ)償?shù)木€性規(guī)劃法相比序列線性規(guī)劃法有2個(gè)重要特點(diǎn):①基于補(bǔ)償?shù)木€性規(guī)劃法對(duì)交叉耦合力矩的數(shù)學(xué)形式?jīng)]有固定要求;②基于補(bǔ)償?shù)木€性規(guī)劃法只需進(jìn)行2次線性規(guī)劃,序列線性規(guī)劃法的線性規(guī)劃次數(shù)n不固定,但是n≥2。

4 仿真分析

使用3種方法對(duì)考慮交叉耦合效應(yīng)的控制分配問(wèn)題進(jìn)行研究,第一種方法為不考慮交叉耦合影響,基于線性模型的混合目標(biāo)最優(yōu)分配;第二種方法為序列線性規(guī)劃法;第三種方法為基于補(bǔ)償?shù)木€性規(guī)劃法。舵效模型見(9)式,由于偏航方向交叉耦合力矩非常小,取Qn=0。開裂式方向舵位置約束為[0°,90°],其它舵面均為[-20°,20°]。將以上3種方法得到的結(jié)果與指令進(jìn)行對(duì)比,圖5和圖6分別為滾轉(zhuǎn)、俯仰操縱力矩系數(shù)指令與分配結(jié)果的對(duì)比圖。圖7為使用序列線性規(guī)劃法和基于補(bǔ)償?shù)木€性規(guī)劃法的分配舵偏的1范數(shù)對(duì)比圖。

圖5 滾轉(zhuǎn)力矩系數(shù)指令結(jié)果對(duì)比 圖6 俯仰力矩系數(shù)指令結(jié)果對(duì)比 圖7 舵偏的1范數(shù)對(duì)比

對(duì)圖5～圖7分析可知,基于線性模型的控制分配方法,由于未考慮交叉耦合影響,分配結(jié)果存在一定的誤差。序列線性規(guī)劃法和基于補(bǔ)償?shù)木€性規(guī)劃法可以精確地對(duì)指令進(jìn)行分配,分配結(jié)果基本沒(méi)有誤差?；谘a(bǔ)償?shù)木€性規(guī)劃法對(duì)耦合進(jìn)行了補(bǔ)償,破壞了舵偏量最小的最優(yōu)性,因而基于補(bǔ)償?shù)木€性規(guī)劃法的用舵量要大于序列線性規(guī)劃法。

對(duì)上述第二、三種方法的單次指令分配計(jì)算時(shí)間與所進(jìn)行的標(biāo)準(zhǔn)線性規(guī)劃次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。統(tǒng)計(jì)點(diǎn)共500個(gè),計(jì)算程序使用Matlab語(yǔ)言編寫,計(jì)算時(shí)間使用tic/toc函數(shù)給出。表1與表2分別為標(biāo)準(zhǔn)線性規(guī)劃次數(shù)與計(jì)算時(shí)間的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。

表1 標(biāo)準(zhǔn)線性規(guī)劃次數(shù)統(tǒng)計(jì)

表2 計(jì)算時(shí)間統(tǒng)計(jì)

由表1、表2可知,基于補(bǔ)償?shù)木€性規(guī)劃法的計(jì)算時(shí)間的最大值與平均值均小于序列線性規(guī)劃法的50%。序列線性規(guī)劃法平均需進(jìn)行4.8次標(biāo)準(zhǔn)線性規(guī)劃,而基于補(bǔ)償?shù)木€性規(guī)劃法只需固定2次標(biāo)準(zhǔn)線性規(guī)劃?；谘a(bǔ)償?shù)木€性規(guī)劃法的實(shí)時(shí)性要明顯好于序列線性規(guī)劃法。

5 結(jié) 論

1) 大展弦比飛翼布局飛機(jī)上采用的開裂式方向舵與臨近舵面之間存在交叉耦合影響,控制分配算法中未考慮耦合效應(yīng)會(huì)使分配結(jié)果產(chǎn)生一定誤差;

2) 序列線性規(guī)劃法和基于補(bǔ)償?shù)木€性規(guī)劃法可以解決考慮交叉耦合效應(yīng)的控制分配問(wèn)題,指令分配結(jié)果精確;

3) 基于補(bǔ)償?shù)木€性規(guī)劃法的用舵量要大于序列線性規(guī)劃法,但基于補(bǔ)償?shù)木€性規(guī)劃法的實(shí)時(shí)性要明顯好于序列線性規(guī)劃法且對(duì)交叉耦合力矩的數(shù)學(xué)形式?jīng)]有固定要求。

參考文獻(xiàn)：

[1] 王磊,王立新,賈重任. 多操縱面飛翼布局作戰(zhàn)飛機(jī)的控制分配方法[J]. 航空學(xué)報(bào),2009,32(4):571-579

Wang Lei, Wang Lixin, Jia Zhongren. Control Allocation Method for Combat Flying Wing with Multiple Control Surfaces[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2011, 32(4): 571-579 (in Chinese)

[2] 王睿,祝小平,周洲,王鵬. 阻力方向舵在飛翼式高空長(zhǎng)航時(shí)無(wú)人機(jī)中的應(yīng)用[J]. 西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2008,26(5):673-677

Wang Rui, Zhu Xiaoping, Zhou Zhou, Wang Peng. Exploring Utilization of Drag Rudder in Stability and Control of Flying Wing High Altitude Long Endurance (HALE) UAV[J]. Journal of Northwestern Polytechnical University, 2008, 26(5): 673-677 (in Chinese)

[3] Oppenheimer M W, Doman D B. A Method for Including Control Effector Interactions in the Control Allocation Problem[J]. AIAA Guidance, Navigation and Control Conference, 2007

[4] 馬建軍. 過(guò)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)控制分配理論及其應(yīng)用[D]. 長(zhǎng)沙：國(guó)防科技大學(xué),2009

Ma Jianjun. Research and Application of Control Allocation Theory for Overactuated Systems[D]. Changsha: National University of Defense Technology, 2009 (in Chinese)

[5] Durham W C. Constrained Control Allocation[J]. AIAA Journal of Guidance,Control and Dynamics, 1993,16(4):717-725

[6] 李衛(wèi)琪,魏晨,陳宗基. 受限控制直接分配新算法[J]. 北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào),2005,31(11):1177-1180

Li Weiqi, Wei Chen, Chen Zongji. New Algorithm for Constrained Control Direct Allocation[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2005, 31(11): 1177-1180 (in Chinese)

[7] Bodson M. Evaluation of Optimization Methods for Control Allocation[J]. AIAA Journal of Guidance, Control and Dynamics, 2002, 25(4): 703-711

[8] Buffington J M. Tailless Aircraft Control Allocation[C]∥AIAA Guidance Navigation and Control Conference, 1997

[9] 張干宗. 線性規(guī)劃[M]. 武漢：武漢大學(xué)出版社, 2004

Zhang Ganzong. Linear Programming[M]. Wuhan: Wuhan University Press, 2004 (in Chinese)

[10] 曹衛(wèi)華,郭正. 最優(yōu)化技術(shù)方法及MATLAB的實(shí)現(xiàn)[M]. 北京：化學(xué)工業(yè)出版社, 2005

Cao Weihua, Guo Zheng. Optimize Technology and MATLAB[M]. Beijing: Chemical Industry Press, 2005 (in Chinese)

[11] Chalermkraivuth K C. Sequential-Linear-Programming Alogirithm to Optimize Portfolios[J]. Interfaces, 2005, 35(5): 370-380