孫慧芳，付婧，鄭云峰

（中國(guó)水利水電科學(xué)研究院，北京 100038）

水電機(jī)組是水電能源的關(guān)鍵設(shè)備，機(jī)組運(yùn)行狀況的好壞直接影響水電站的安全運(yùn)行。目前，水電機(jī)組正朝著高水頭、高效率、高轉(zhuǎn)速和大容量的方向發(fā)展，隨著狀態(tài)監(jiān)測(cè)與故障診斷技術(shù)水平的發(fā)展，以及設(shè)備管理水平的提高，水電站設(shè)備的維修理念以“預(yù)防為主，計(jì)劃?rùn)z修”的方針開始嘗試轉(zhuǎn)變?yōu)椤邦A(yù)測(cè)性維修”的檢修模式。由于水電機(jī)組的故障信息大部分都通過振動(dòng)信號(hào)來反映，因此對(duì)水電機(jī)組的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行趨勢(shì)預(yù)測(cè)很有必要。

對(duì)振動(dòng)信號(hào)的趨勢(shì)預(yù)測(cè)是根據(jù)其過去和現(xiàn)在的情況，科學(xué)地預(yù)測(cè)和推斷這些信號(hào)未來的發(fā)展趨勢(shì)。趨勢(shì)預(yù)測(cè)方法一般以時(shí)間序列進(jìn)行數(shù)據(jù)建模，基本思想是將一列隨時(shí)間變化又互相關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型加以近似描述，實(shí)現(xiàn)最小方差下的最佳預(yù)測(cè)。文章對(duì)某電站上機(jī)架+X向的一段振動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行了基于AR模型的趨勢(shì)預(yù)測(cè)，計(jì)算方法簡(jiǎn)單，可以滿足現(xiàn)場(chǎng)實(shí)時(shí)性的需求。

1 ARMA模型

時(shí)間序列xtΣΣ可以表示為n階自回歸m階滑動(dòng)平均混合時(shí)序模型，即ARMA(n，m)模型，表達(dá)式如下:

式中，xt為Σ在t時(shí)刻的取值；為自回歸(Auto-Regressive)參數(shù)；θ1=（1，2，……m）為移動(dòng)平均(Moving Average)參數(shù)；at是均值為0，方差為的獨(dú)立正態(tài)分布序列（白噪聲）。當(dāng)n=0時(shí)，模型稱為純滑動(dòng)平均模型MA(m)；當(dāng)m=0時(shí)，模型成為純自回歸模型AR(n)。

由于水電機(jī)組的振動(dòng)復(fù)雜性，振動(dòng)信號(hào)一般是非平穩(wěn)的時(shí)間序列，需要經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q得到平穩(wěn)的時(shí)間序列ARMA(n，m)，為此提出了ARIMA模型:將一個(gè)非平穩(wěn)序列進(jìn)行差分處理得到平穩(wěn)時(shí)間序列。設(shè)Σ為非平穩(wěn)序列，存在正整數(shù)d，使得，t＞d，其中稱為d階差分算子。ARIMA模型實(shí)質(zhì)上是平穩(wěn)時(shí)間序列分析在非平穩(wěn)情況下的拓展，但其仍基于ARMA分析。

對(duì)于ARMA模型和AR模型之間的關(guān)系有wold分解定理:任何一個(gè)方差有限的平穩(wěn)ARMA過程都可以表示為唯一的階數(shù)可能無窮大的AR過程。ARMA模型的隨機(jī)信號(hào)總可以化為一定階數(shù)的AR模型，因此AR模型的參數(shù)估計(jì)在實(shí)際問題中應(yīng)用較廣。

2 AR模型的建模

AR模型的建模包括模型的定階和模型的參數(shù)估計(jì)，即要估計(jì)出自回歸參數(shù)φi和模型的階數(shù)n。

模型階數(shù)估計(jì)的一個(gè)常用準(zhǔn)則為AIC準(zhǔn)則，計(jì)算公式如下:

AR模型模型參數(shù)估計(jì)的方法有很多，如:最小二乘估計(jì)法、加權(quán)算法和Burg算法等等，文章采用Burg算法。Burg算法的基本思想是對(duì)信號(hào)進(jìn)行前向和后向的預(yù)測(cè)，令前后向預(yù)測(cè)誤差功率之和為最小。MATLAB中有可以實(shí)現(xiàn)Burg算法的AR模型參數(shù)估計(jì)函數(shù)[ae]=arburg(xn)，其中a為函數(shù)返回的模型系數(shù)向量，e為最小預(yù)測(cè)誤差。

參數(shù)估計(jì)需要預(yù)先知道模型階次，因此建模過程中應(yīng)先給定模型階次，按照Burg算法估計(jì)模型參數(shù)，可以得到各階模型，最后取最小AIC(n)值對(duì)應(yīng)的階次來確定模型的最佳階此，同時(shí)也可以確定AR模型。

3 水電機(jī)組振動(dòng)信號(hào)的AR建模

取某電站上機(jī)架+X向的2000個(gè)振動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，其序列圖見圖1所示，可以看出該序列不是平穩(wěn)序列。對(duì)其進(jìn)行2階差分，差分后數(shù)據(jù)自相關(guān)系數(shù)見表1，自相關(guān)系數(shù)隨著k的增大而逐漸趨向0，證明差分后的序列為平穩(wěn)時(shí)間序列，序列圖見圖2所示。

按照AR模型的建模方法對(duì)差分后的振動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，使用Burg算法估計(jì)出各階參數(shù)，然后計(jì)算相應(yīng)的AIC值，不同階數(shù)對(duì)應(yīng)的AIC值如圖3所示，從圖中可知，當(dāng)n=48時(shí)AIC值最小，即最佳模型階次為48階。

圖1 上機(jī)架+X向振動(dòng)信號(hào)序列圖

圖2 上機(jī)架+X向振動(dòng)信號(hào)差分后的平穩(wěn)序列

圖3 AR模型在不同階次下的AIC值

表1 差分后的振動(dòng)信號(hào)自相關(guān)系數(shù)估計(jì)值

以差分后的振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)做AR模型擬合，估算出該平穩(wěn)信號(hào)的估計(jì)值，經(jīng)過相應(yīng)的反變換得到原始振動(dòng)信號(hào)的擬合模型，并以100個(gè)數(shù)據(jù)作樣本預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果見圖4所示。由圖4可以看出利用AR模型對(duì)水電機(jī)組振動(dòng)信號(hào)預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù)與實(shí)際采集到的數(shù)據(jù)基本一致。

圖4 預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的比較

4 結(jié)語(yǔ)

上述分析說明采用AR模型對(duì)水電機(jī)組的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行趨勢(shì)預(yù)測(cè)是科學(xué)的。但是，該方法在計(jì)算過程中存在下列問題:由于水電機(jī)組的振動(dòng)信號(hào)是隨機(jī)的非平穩(wěn)時(shí)間序列，對(duì)于個(gè)別參數(shù)計(jì)算過程會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)矩陣奇異或近奇異的情形，矩陣求逆可能遇到困難，影響計(jì)算精度，因此后續(xù)需要對(duì)這些問題進(jìn)行進(jìn)一步的研究。