陳蕾

（安徽財經(jīng)大學 金融學院，安徽 蚌埠 233030）

基于ARIMA模型對滬深300指數(shù)的實證分析研究

陳蕾

（安徽財經(jīng)大學 金融學院，安徽 蚌埠 233030）

雖然股票價格的波動涉及很多不確定因素，但它仍是一個運動的、特殊的系統(tǒng)，必然存在著某種規(guī)律.本文以滬深300指數(shù)為例，選取2002年1月31日至2013年4月26日的收盤價月度數(shù)據(jù)，利用EVIEWS軟件對其股票價格建立ARIMA模型，通過比較分析得出最優(yōu)預測模型，從而對該指數(shù)的走勢進行研究，得出滬深300指數(shù)走勢變化的預測誤差.并且通過使用一步向前靜態(tài)預測方法來對股票價格序列進行建模及股價短期預測，為企業(yè)或投資者在進行投資決策時提供有效的參考.

ARIMA模型；滬深300指數(shù)；一步向前靜態(tài)預測

1 引言

股市指數(shù)的預測問題一直是國內(nèi)外金融領域研究的重點，由于影響股票價格波動的因素眾多,要找出影響預測對象變化的真正因素并非易事，如果用傳統(tǒng)的回歸分析模型來預測，有點復雜而且費用較高，另外股票市場不斷變化，它的預測精度并不比時間序列分析結果更加精確，然而時間序列分析模型比較簡單且成本低，非常適合研究那些表面毫無規(guī)律可循的數(shù)據(jù)，因此用ARIMA模型來對股票指數(shù)進行實證研究，可以達到最小方差意義下的最優(yōu)預測效果.滬深300指數(shù)則是集中了有代表性的多種股票的研究，基本認為其反映了中國股市的高低，個別公司股票價格的異常反應對大盤指數(shù)的影響則是有限的.因此用技術手段研究股價波動，選擇滬深300指數(shù)做研究對象更合適，而且對于投資組合的操作和機構或基金投資也有指導意義.

2 ARIMA模型介紹及建模的步驟

ARIMA模型是將非平穩(wěn)的時間序列轉化為平穩(wěn)的時間序列，然后只將因變量對它的滯后值、隨機誤差項的現(xiàn)值與滯后值進行回歸建立的模型，根據(jù)原序列是否平穩(wěn)以及回歸中所包含部分的不同，分為移動平均過程（MA）、自回歸過程（AR）、自回歸移動平均過程（ARMA）以及自回歸單整移動平均過程（ARIMA）.

2.1 移動平均模型MA(q)

一個q階的移動平均（MA）過程可用下式表示：

式中：參數(shù)u為常數(shù)，參數(shù)θ1,θ2,…,θq是q階移動平均模型的系數(shù)；{εt}是均值為0，方差為σ2的白噪音序列.

或者Yt=μ+θ(L)εt其中，θ(L)=1+θ1L+θ2L2+…+θqLq

2.2 自回歸模型AR(p)

一個p階自回歸（AR）過程可以用下式表示：

式中：參數(shù)c為常數(shù)，參數(shù)?1,?2,…,?p是自回歸模型系數(shù)，p為自回歸模型階數(shù)，{υt}為均值為0，方差為σ2的白噪音序列.

若引入滯后算子L，則原式可寫成：

2.3 自回歸移動平均過程ARMA(p,q)

將MA(q)過程與AR(p)過程合并，我們就可以得到一個ARMA(p,q)過程，其形式如下：

若引入滯后算子L，原式可以寫成：

其中，c為常數(shù)項，{εt}為白噪音過程

2.4 自回歸單整移動平均過程ARIMA(p,d,q)

如果序列{Yt}經(jīng)過d次差分得到平穩(wěn)序列{Wt}，并且用ARMA(p,q)過程對Wt建立模型，即Wt為一個ARMA(p,q)過程，則我們稱Yt為(p,d,q)階自回歸單整移動平均過程，簡稱ARIMA(p,d,q).

引入滯后算子L，ARIMA(p,d,q)過程可表示為：

2.5 應用ARIMA(p,d,q)模型建模的步驟

博克斯和詹金斯提出了在建立回歸模型時應遵循的節(jié)儉性原則下建立ARIMA模型的系統(tǒng)方法論，即Box-Jenkins方法論，其建模思想總結為如下4個步驟:

（1）模型識別

首先對序列進行平穩(wěn)性檢驗，如果該序列是不平穩(wěn)的，就可以用差分變換(差分階數(shù)為單整階數(shù))或者其他變換（比如對數(shù)差分變換）使序列平穩(wěn).

（2）模型估計

通過計算出自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)等能夠描述時間序列特征的一些統(tǒng)計量，并結合AIC準則和SC準則來確定模型的階數(shù)p和q；估計模型的未知參數(shù)，并檢驗參數(shù)的顯著性，以及模型本身的合理性.

（3）模型的診斷檢驗

進行診斷分析，檢驗模型的有效性，即殘差檢驗，以證實所得模型確實與觀察到的數(shù)據(jù)特征相符，如果模型很好的擬合了數(shù)據(jù)，那么殘差應該是一個白噪音過程，即不同時期的殘差是不相關的.如果通不過檢驗，轉向步驟3，重新選擇模型再擬合；如果通過，則可確定模型.另外可在模型中增加滯后項（因為我們是從低階試起的），然后根據(jù)信息準則來判斷模型是否最優(yōu).

（4）模型預測

根據(jù)確定好的模型，結合軟件來預測數(shù)據(jù)的下一步走勢.

3 對滬深300指數(shù)的實證分析和預測

本文以滬深300指數(shù)月度時間序列為研究對象，運用ARIMA模型對其進行實證分析并作出預測，為滿足時間序列模型大樣本的需求，選取2002年1月31日至2013年4月26日的最后交易日的收盤價格為原始數(shù)據(jù)進行ARIMA建模，數(shù)據(jù)來源于wind資訊.

3.1 判定原始序列的穩(wěn)定性,識別模型

滬深300指數(shù)月度數(shù)據(jù)記為YT，由圖1可以看出，序列不符合零均值同方差的特征，可以大致的估計滬深300指數(shù)月線時間序列的方差是不斷變化的，并利用軟件的ADF檢驗對其進行分析可知該序列為非平穩(wěn)序列.由于原序列的非平穩(wěn)性，所以要對滬深300指數(shù)口線時間序列進行一階差分，并檢查一階差分的穩(wěn)定性.從圖2可看出，一階差分后的序列為平穩(wěn)時間序列，即Y～I（1）.

圖1 2002年1月以來的滬深300指數(shù)(YT)趨勢折線圖

圖2對一階差分序列進行ADF檢驗的結果

3.2 模型的定階

在確定d的值后，接下來我們利用自相關函數(shù)、偏自相關函數(shù)以及它們的圖形來確定p,q的值.觀測差分數(shù)據(jù)Y序列的ACF和PACF圖（見圖3），從圖中可以看出Y序列的自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)都在2階和4階托尾，均沒有明顯的截尾性，故可以建立ARIMA（2，1，2）或ARIMA (4，1，4)模型

圖3 一階差分序列的自相關函數(shù)和偏自相關函數(shù)圖

圖4 ARIMA(4，1，4)模型的參數(shù)估計

再用AIC準則和SC準則最小化來判斷確定模型，利用Eviews軟件分析，經(jīng)過比較發(fā)現(xiàn)，ARIMA（4，1，4）過程的AIC=13.90157和SC=14.09911都是最小的，從圖4中可以看出，模型參數(shù)在1%的水平下均是顯著的，而且AR和MA特征根的倒數(shù)基本都在單位圓之內(nèi)，因此該過程是平穩(wěn)的.

3.3 模型的檢驗

接下來對ARIMA(4，1，4)模型的殘差序列進行Q-檢驗，由圖5的相關圖可知該模型的殘差不存在序列相關，該殘差序列為白噪聲過程，并且模型的各項統(tǒng)計量也很好，因此可以確定模型ARIMA(4，1，4)模型來擬合滬深300指數(shù)序列是合適的，并可以選取此模型作為預測的模型，計算得出具體表達式.

圖5 ARIMA(4，1，4)模型殘差的相關圖

3.4 模型的預測和分析

在文中采用一步向前靜態(tài)預測，依據(jù)模型對滬深300指數(shù)在今年以后各月的平均收盤價進行預測，預測結果如圖6所示.從圖6中可以得知，預測值與實際觀測值有一定的誤差，相對誤差絕對值平均（MAPE）為6.988276%，說明模型預測的精度較好.借助Eviews軟件，可以很容易地對某些金融時間序列問題進行研究和預測分析，從而針對分析結果提出相應的投資建議和決策.

圖6 預測值與實際觀測值對比圖

3.5 結論

通過上述擬和預測，從實際值和預測值可以看出，該模型的預測效果基本接近實際值.從預測結果分析可以得出以下結論:

第一:此模型作為滬深300指數(shù)的短期預測模型是可行的.ARIMA模型在描述滬深300指數(shù)方面有一定借鑒性，擬和預測的結果說明此時間序列包含了滬深300指數(shù)的大部分信息，在一定程度上可以代表滬深300指數(shù)的走勢.

第二:該模型短期預測預測效果良好，但是在檢驗中隨著預測時間的延長，對于長期趨勢以及突然上漲或下跌，就會表現(xiàn)出局限性，預測的誤差也逐漸增大.

第三:該模型只考慮了時間序列本身的特性，而沒有考慮其他一些不確定因素的影響，因為變幻莫測的股票市場，影響其價格波動的因素多種多樣，不僅與股票市場自身體制因素有關，還與國家宏觀經(jīng)濟政策，國民經(jīng)濟發(fā)展方向等各種因素相關，雖然這些因素在模型中是以隨機項來反映，但在預測的期望值中是無法反映出來的.

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F224；F832.51

A

1673-260X（2014）01-0075-03