李秀林，段耀勇，龐 坤

（中國人民武裝警察部隊學(xué)院 基礎(chǔ)部數(shù)學(xué)教研室，河北 廊坊 065000）

有毒易燃?xì)怏w擴(kuò)散中人員救援疏散數(shù)學(xué)模型

李秀林，段耀勇，龐 坤

（中國人民武裝警察部隊學(xué)院 基礎(chǔ)部數(shù)學(xué)教研室，河北 廊坊 065000）

應(yīng)用數(shù)學(xué)方法，基于高斯擴(kuò)散模型和梯度概念，給出了地面連續(xù)泄露源和瞬時泄露源的人員救援疏散模型，得到了疏散最優(yōu)路線，可解決易燃易爆或有毒氣體泄露擴(kuò)散中人員疏散路線問題，預(yù)測的路線可為現(xiàn)場處置人員提供參考依據(jù)，對預(yù)防和減小災(zāi)害后果的嚴(yán)重程度具有重要意義.

高斯擴(kuò)散模型；梯度；疏散路線

在毒性氣體物質(zhì)如乙炔、天燃?xì)獾鹊倪\(yùn)輸和儲藏中，常因裝置失效等各種原因泄漏，有毒氣體飄散形成大面積的毒害區(qū)，會導(dǎo)致人員傷亡事故的發(fā)生.因此，研究氣體泄漏過程中人員救援疏散的數(shù)學(xué)模型，確立疏散的最優(yōu)路線，對于預(yù)防減小災(zāi)害后果的嚴(yán)重程度具有重要意義.

1 氣體泄漏擴(kuò)散數(shù)學(xué)模型

氣體泄漏氣體相對密度小于和接近1，泄漏后會形成氣團(tuán)，其擴(kuò)散模型多采用高斯模型.以儲罐的泄漏點為坐標(biāo)原點，平均風(fēng)向與與x軸平行，并與x軸正向同向，空間一點(x, y,z)處的質(zhì)量濃度計算公式為[1]：

連續(xù)泄漏時：

瞬時泄漏時：

其中：ρ(x,y,z)為空間一點(x,y,z)處的濃度（kg/m3）；μ：平均風(fēng)速（m/s）；x0,y0,z0為煙團(tuán)中心坐標(biāo)；δx,δy,δz為x,y,z方向上的擴(kuò)散參數(shù)（m）.我國GB3840－91《制定地方大氣污染物排放標(biāo)準(zhǔn)的技術(shù)方法》采用如下經(jīng)驗公式確定擴(kuò)散參數(shù)，r1、σ1、r2及σ2稱為擴(kuò)散系數(shù)[2].這些系數(shù)由實驗確定，在一個相當(dāng)長的x距離內(nèi)為常數(shù)，可從GB3840－91的表中查取.

2 擴(kuò)散救援疏散的數(shù)學(xué)模型

基于某一場函數(shù)ρ其梯度是函數(shù)值上升或下降變化率最大的方向，我們應(yīng)用這一概念來建立氣體泄漏擴(kuò)散救援疏散的數(shù)學(xué)模型.

2.1 連續(xù)泄漏擴(kuò)散救援疏散的數(shù)學(xué)模型

氣體連續(xù)泄漏強(qiáng)度在泄漏一段較長時間內(nèi)可視為穩(wěn)定，取作常數(shù)，擴(kuò)散的流場可認(rèn)為是穩(wěn)定場，即擴(kuò)散空間某一點的濃度是恒定的，不隨時間改變.即假設(shè)氣體泄漏周圍地表為平原，空間中的一點M(x,y,z)處的梯度也即gradρ，是此點濃度函數(shù)上升或下降變化率最大的方向：

擴(kuò)散問題中最關(guān)心的是地面濃度的分布情況，令z=0，所處位置在正下方向，y0=0,z0=h.則（1）式變?yōu)?/p>

假設(shè)當(dāng)時被救援人員處在M0(x0,y0)位置，經(jīng)檢驗，gradρ的的反方向是濃度函數(shù)下降變化率最大的方向.假定人員的運(yùn)動速度恒為v0，則最優(yōu)路線的數(shù)學(xué)方程表達(dá)式為

因此，氣體連續(xù)泄漏情況下，人員疏散的最優(yōu)路線應(yīng)沿其所處位置的梯度的反方向（濃度下降變化率最大）逃生，即可在短時間內(nèi)達(dá)到安全的地方.

2.2 瞬時泄漏擴(kuò)散救援疏散的數(shù)學(xué)模型

對于氣體瞬時泄漏的情況，在下風(fēng)方向時刻t的氣團(tuán)中心坐標(biāo)為：x0=u·t,y0=0,z0=h，在（2）中令 ，則

其中，上式中用s1,s2分別代替ρ(x,y,z)的σ1和σ2.

由（5）可知空間一點濃度與時間有關(guān)，系非穩(wěn)定場.為此，我們把時間離散，在較小的一段時間Δt內(nèi)，擴(kuò)散區(qū)域的濃度場可以看作是穩(wěn)定場.假設(shè)當(dāng)時被救援人員處在M0(x0, y0)位置，則gradρ(x0,y0,t0)的方向決定在t0時刻人員疏散的運(yùn)動方向，假定人員的運(yùn)動速度恒為v0，則Δt秒后到達(dá)M1(x1, y1)處，同理gradρ(x1,y1,t1)的方向決定在t1=t0+Δt時刻人員疏散的運(yùn)動方向…，其中Mi+1的坐標(biāo)可以由Mi的坐標(biāo)得到.假設(shè)Mi(xi,yi,ti)，那么Mi+1(xi+1,yi+1,ti+1)的坐標(biāo)可用如下的數(shù)學(xué)公式得到：

連接各Mi(xi,yi,ti)，從而模擬出最優(yōu)路線圖.

3 應(yīng)用舉例

某化肥廠一輛液氨運(yùn)輸車，運(yùn)載790kg液氨途徑某鄉(xiāng)鎮(zhèn)集市附近，因運(yùn)輸車質(zhì)量問題，罐后封頭突然破裂飛出.液氨瞬間全部汽化，當(dāng)時風(fēng)速2m/s，集市位置x0=150m,y0=50.若人員疏散速度為4m/s，試給出人員疏散的最優(yōu)路線.

其中相關(guān)參數(shù)如下：

經(jīng)計算，在60秒時人員開始疏散時的氣體濃度分布如圖1（其中x，y和p單位分別為m和kg/m3）：

圖1 60秒時的濃度分布

以下內(nèi)容涉及的坐標(biāo)和氣體濃度單位均為m,m和kg/m3，時間單位為s.疏散節(jié)點坐標(biāo)及相應(yīng)濃度如表1：

表1 60-101秒間節(jié)點上的坐標(biāo)和氣體濃度

t x y p 81 162.6863 137.0296 2.31E-08 82 163.0432 141.0136 1.08E-08 83 163.0281 144.999 4.92E-09 84 164.3542 148.9857 2.18E-09 85 164.6651 152.9736 9.46E-10 86 163.9608 156.9626 4.01E-10 87 164.2417 160.9527 1.66E-10 88 164.508 164.9439 6.69E-11 89 164.7599 168.9359 2.64E-11 90 164.9975 172.9289 1.02E-11 91 165.2211 176.9226 3.82E-12 92 165.4308 180.9171 1.40E-12 93 165.6269 184.9123 5.03E-13 94 165.8093 188.9081 1.76E-13 95 165.9784 192.9046 6.02E-14 96 166.1341 196.9015 2.01E-14 97 166.2767 200.899 6.56E-15 98 166.4061 204.8969 2.09E-15 99 166.5226 208.8952 6.50E-16 100 101 166.6263 166.7171 212.8938 216.8928 1.97E-16 5.85E-17

60~101 秒的疏散模擬路線如圖2：

圖2 60~101秒的疏散模擬路線

圖2為疏散坐標(biāo)連線圖，顯然165秒后基本上沿y軸方向疏散，150~165秒之間路線的擬合函數(shù)為：

疏散路徑上各節(jié)點濃度值如圖3：

圖3 60~101秒收散路徑上各節(jié)點濃度值

由圖3可知，疏散路線節(jié)點上的濃度值隨時間的增加而急劇減小，符合我們設(shè)想的逃生原則.

4 結(jié)論

基于高斯擴(kuò)散模型，應(yīng)用數(shù)學(xué)方法，給出了地面連續(xù)泄露源和瞬時泄露源的疏散模型，得到了疏散最優(yōu)路線，以解決易燃易爆或有毒氣體泄露擴(kuò)散中預(yù)測人員疏散問題，其預(yù)測的結(jié)果可為現(xiàn)場處置人員提供參考依據(jù).

然而，氣體泄露擴(kuò)散過程與風(fēng)向、風(fēng)速、地形等因素有關(guān)，是一個非常復(fù)雜的問題[3]，很難用單一模型來準(zhǔn)確刻畫其泄露擴(kuò)散的特征，本模型假設(shè)地形為平面，風(fēng)速不變，人員疏散速度恒定，在考慮這些因素的影響下，本模型還可以進(jìn)一步改進(jìn).

〔1〕彭世尼,周廷鶴.燃?xì)庑孤┡c擴(kuò)散模型的探討[J].煤氣與熱力,2008,28(11):9-12.

〔2〕張憲法.甲醇儲罐泄漏擴(kuò)散及事故狀態(tài)的數(shù)值模擬[J].石油化工安全環(huán)技術(shù),2011(4):14-19.

〔3〕Pang Kun,Duan Yao-yong,LI Xiu-lin.The Study on the Improvement for Mathematical Model and the Affected Actors of Gas Storage Vessel Leakage. ICAEMT2013，Advanced Materials Research Vols.753-755 (2013)pp 2742-2746，Trans Tech Publications, Sw itzerland.

TU996.9

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1673-260X（2014）01-0014-03

河北省科技廳計劃項目資助（12275402）