黨興菊，張 瑤，吳文良

（昭通學(xué)院物理與電子信息工程學(xué)院，云南昭通 657000）

傳統(tǒng)的二維時(shí)空?qǐng)D習(xí)慣上將基本坐標(biāo)系的空間坐標(biāo)軸和時(shí)間坐標(biāo)軸畫(huà)得相互垂直，如文〔1〕-〔7〕都是如此。但在這樣的時(shí)空?qǐng)D中其他慣性坐標(biāo)系的空間軸和時(shí)間軸不可能再畫(huà)得垂直，并且任意兩個(gè)不同的坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸上的單位長(zhǎng)度表示的物理量也不相等，即傳統(tǒng)的時(shí)空?qǐng)D畫(huà)法并不對(duì)稱，或許正是這一原因，時(shí)空?qǐng)D在狹義相對(duì)論學(xué)習(xí)中的重要性并未引起足夠的重視，如文獻(xiàn)〔8〕-〔11〕等普通物理或大學(xué)物理教材在介紹狹義相對(duì)論時(shí)都未介紹時(shí)空?qǐng)D。針對(duì)這種情況，2008年黃獻(xiàn)民先生給出了一個(gè)在形式上完全對(duì)稱的時(shí)空?qǐng)D，并建議讀者在讀懂了相對(duì)論的時(shí)空幾何的數(shù)理邏輯后，在討論問(wèn)題時(shí)采用對(duì)稱結(jié)構(gòu)的時(shí)空?qǐng)D，“因?yàn)檫@種形式更能體現(xiàn)相對(duì)論時(shí)空下的時(shí)空相對(duì)性和對(duì)稱性”〔12〕。

遺憾的是，文〔12〕只給出了一個(gè)實(shí)例，而未給出這種對(duì)稱形式時(shí)空?qǐng)D在普遍情形下的具體作圖法，對(duì)“兩個(gè)參考系的時(shí)空坐標(biāo)的標(biāo)度有相同的幾何長(zhǎng)度”的條件也未作討論，學(xué)習(xí)者在應(yīng)用中易出現(xiàn)錯(cuò)誤和困惑。目前我們尚未發(fā)現(xiàn)對(duì)對(duì)稱形式結(jié)構(gòu)的時(shí)空?qǐng)D進(jìn)行討論的其他研究，也尚未見(jiàn)到另外有研究者運(yùn)用過(guò)對(duì)稱形式的時(shí)空?qǐng)D。為了能夠在普通物理課程中就能較好地闡述狹義相對(duì)論，本文給出文〔12〕中所言對(duì)稱形式時(shí)空?qǐng)D的一般作圖法并對(duì)其展開(kāi)了討論。

1 對(duì)稱形式的時(shí)空?qǐng)D的一般畫(huà)法

文〔1〕所稱對(duì)稱形式的時(shí)空?qǐng)D，實(shí)質(zhì)上是用斜交坐標(biāo)軸來(lái)畫(huà)時(shí)空?qǐng)D。盡管從理論上在閔氏空間中我們認(rèn)為時(shí)間坐標(biāo)與空間坐標(biāo)是正交的，但我們?cè)诋?huà)時(shí)空?qǐng)D時(shí)，畫(huà)出來(lái)的時(shí)空坐標(biāo)軸的夾角一般情況下不再是直角。應(yīng)注意不能把這兩件事混為一談，在二維時(shí)空?qǐng)D中用斜交坐標(biāo)軸來(lái)畫(huà)圖，并不改變時(shí)空坐標(biāo)的正交性。

用斜交坐標(biāo)軸畫(huà)二維時(shí)空?qǐng)D的具體做法是：在平面上用兩條單位長(zhǎng)度相同且以2α角相交于原點(diǎn)的數(shù)軸分別作為空間坐標(biāo)軸x 和時(shí)間坐標(biāo)軸t。通常使空間坐標(biāo)軸沿水平方向并規(guī)定正向指向右方，且使 α ∈(0 ，π 2 )，例如可取 α=π 3。為了使兩條數(shù)軸上單位長(zhǎng)度代表的物理量量綱相同，根據(jù)光速不變?cè)?，將時(shí)間t 乘以作為物理學(xué)常量的光速c，即讓時(shí)間軸表示的量不是t 而是ct。這樣兩條軸上的單位長(zhǎng)度表示的物理量的量綱就相同了。 例如，若時(shí)間軸上的單位長(zhǎng)度表示的時(shí)間間隔是一年，則空間軸上同樣的單位長(zhǎng)度表示的空間距離為1光年。

接著在時(shí)空?qǐng)D上確定事件的坐標(biāo)。兩條數(shù)軸的公共原點(diǎn)表示某時(shí)刻T發(fā)生在空間某條直線x上某點(diǎn)O 的事件P，將該事件的坐標(biāo)規(guī)定為（0，0）；時(shí)間軸上的點(diǎn)表示不同時(shí)刻在O點(diǎn)發(fā)生的事件，時(shí)間軸亦即靜止在O 點(diǎn)的觀測(cè)者S 的世界線；空間軸上的點(diǎn)表示觀測(cè)者S所認(rèn)為的在同一時(shí)刻T發(fā)生在直線x上不同位置的事件。兩條數(shù)軸所在的平面上的點(diǎn)表示各個(gè)時(shí)刻發(fā)生在直線x上的事件。其中平行于時(shí)間軸的直線上的不同的點(diǎn)表示同一位置不同時(shí)刻發(fā)生的事件，而平行于空間軸的直線上的點(diǎn)則表示同一時(shí)刻發(fā)生在直線x上不同位置的事件。所有這些都是相對(duì)于給定的觀測(cè)者S而言的。這樣，為了確定某一事件的坐標(biāo)，只需過(guò)該點(diǎn)作兩條數(shù)軸的平行線分別交另一條數(shù)軸于一點(diǎn)，由兩個(gè)交點(diǎn)各自在數(shù)軸上的讀數(shù)即確定了該事件的時(shí)空坐標(biāo)。

現(xiàn)在我們考慮沿著直線x傳播且在時(shí)刻T通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O 的光。根據(jù)前述作圖法，無(wú)論α如何取值，這束光在時(shí)空?qǐng)D上都用兩條數(shù)軸所構(gòu)成角的兩條角平分線之一表示，而另一條平分線則表示沿相反方向傳播的光。我們把坐標(biāo)軸的這兩條角平分線稱為光錐。α正是兩條坐標(biāo)軸與某條光錐所成的夾角。

現(xiàn)在考慮在時(shí)刻T與S重合于O且相對(duì)于S沿x軸正向以速度v 作勻速直線運(yùn)動(dòng)的觀測(cè)者S′，顯然S′的世界線為過(guò)原點(diǎn)的一條有向直線，該直線與時(shí)間軸ct軸的夾角β取決于v和α。見(jiàn)圖1。

在圖1 中，設(shè) A 點(diǎn)在 S 系所表示的時(shí)刻為 t，則OA=ct，AB=vt。由于 OA 和 AB 上單位長(zhǎng)度相同，對(duì)△OAB應(yīng)用正弦定理，有

特別地，當(dāng)v=c時(shí)，

而當(dāng) v =-c 時(shí) β=arccot( )-csc 2α+cot 2α =知光錐確實(shí)為兩條數(shù)軸的角平分線。

顯然，有向直線OB即為S′的世界線，亦即參照系S′的時(shí)間軸ct′。根據(jù)光速不變?cè)?，空間軸x′必須使得S 系的光錐同樣成為S′系的光錐，即它必須成為ct′與x′兩條軸的角平分線。于是x′軸就是ct′軸關(guān)于正向光錐的鏡像對(duì)稱。需要注意的是，OB線上的單位長(zhǎng)度與OA線上的單位長(zhǎng)度并不一定代表相同的時(shí)間間隔，即OA 線上代表1 a 的1 cm 在OB線上并不一定同樣代表著1 a。

那么，需要滿足什么樣的條件，OB線上的單位長(zhǎng)度才與OA線上的單位長(zhǎng)度表示相同的時(shí)間間隔呢?根據(jù)洛倫茲變換，如果OB線上的單位長(zhǎng)度與OA線上的單位長(zhǎng)度表示相同的時(shí)間間隔，則有OA=γOB。其中而由前述:于是

另一方面，顯然由圖1中應(yīng)用正弦定理可知OA/OB=sin(2α-β)/sin(π-2α)，于是應(yīng)有

即S′系的時(shí)間軸ct′須與S系的空間軸x軸垂直。與此相應(yīng)，S′系的空間軸x′軸則須與S 系的時(shí)間軸ct垂直。這樣畫(huà)出的一對(duì)參照系可稱之為共軛參照系，其時(shí)空?qǐng)D為對(duì)稱時(shí)空?qǐng)D，其特點(diǎn)是這兩對(duì)坐標(biāo)軸上的單位長(zhǎng)度所表示的物理量相等。圖1給出的正是這樣的一對(duì)共軛坐標(biāo)系，文獻(xiàn)〔1〕中所給出的對(duì)稱時(shí)空?qǐng)D也同樣是一對(duì)共軛參照系。據(jù)此我們得到對(duì)稱時(shí)空?qǐng)D的具體作圖法如下。

作沿水平方向指向右方的數(shù)軸為S系的空間坐標(biāo)軸x，作沿豎直方向指向上方的數(shù)軸為S′系的時(shí)間坐標(biāo)軸ct′，兩條數(shù)軸的公共原點(diǎn)代表S和S′重合的位置和時(shí)間。根據(jù)S′系相對(duì)于S 的速度（沿x 軸方向）v確定S系的時(shí)間坐標(biāo)軸ct′，使ct軸與ct′軸的夾角β＝arcsin（v/c），當(dāng)v＞0時(shí)ct軸在ct′軸的左側(cè)，否則在右側(cè)。ct軸與x軸的兩條角平分線為所有慣性參照系的共同光錐，分別代表在0 時(shí)刻經(jīng)過(guò)坐標(biāo)軸原點(diǎn)的沿x軸正向和負(fù)向傳播的光。根據(jù)光錐確定S′系的空間坐標(biāo)軸x′。這樣畫(huà)出的時(shí)空?qǐng)D即為對(duì)稱時(shí)空?qǐng)D，其特征是4 條坐標(biāo)軸上的相同長(zhǎng)度都代表著相同的時(shí)空距離。

2 不同慣性參照系坐標(biāo)軸上表示單位時(shí)空間隔的單位長(zhǎng)度

由以上討論可見(jiàn)，選定了某一參考系S后，對(duì)某一相對(duì)于S 以速度v0作勻速直線運(yùn)動(dòng)的慣性系S′，都可畫(huà)成與S 共軛的坐標(biāo)系，而其他的慣性系如S″則不可能再與它們共軛，即S 坐標(biāo)系和S″坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸上的單位長(zhǎng)度并不相同?，F(xiàn)在我們討論：不同參照系中同樣的一個(gè)空間尺度比如1 光年，如果在x 軸上用1 cm 表示，則在x″軸上需要要用多少厘米表示。假設(shè)需要用y cm 表示，則y 與S″坐標(biāo)系相對(duì)于S 系的速度v 構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，且這一函數(shù)關(guān)系應(yīng)該使得當(dāng)v等于0或者v0時(shí)，y都等于1。

計(jì)算方法如下:如圖2，設(shè)ct″軸與ct軸成β角，在ct 軸上取 OE=1 cm，作 EC 平行于光錐交ct″軸于 C，再作CD 平行于另一條光錐交ct 軸于D，設(shè)線段OC表示的時(shí)間是S″系中的k a，于是OD=k2cm。作CF平行于 x 軸交 ct 軸于 F，則 EF=ED/2=（k2-1）cm/2。由于△ECD 為直角三角形，而CF 為其斜邊上的中線，故 CF=（k2-1）cm/2。但 CF=（v/c）OF=（v/c）（OE+EF）=（v/c）（k2+1）cm/2。所以（v/c）（k2+1）=k2-1。從而可得這正是光的多普勒效應(yīng)的計(jì)算公式。

由作圖可知，

由于OC 表示的時(shí)間是S″系中的k a，而S″系中的 1 a 用 ct″軸上的 y cm 表示，所以 OC=ky cm。故

圖2 不同坐標(biāo)系中的單位長(zhǎng)度

從而

顯然，v=0時(shí)，y=1。當(dāng)v=v0時(shí)，-cos 2α，

可見(jiàn)公式

滿足前述要求。

下面我們討論y 的極值。顯然當(dāng)α →β 即v→c時(shí)，y→∞沒(méi)有極大值；而當(dāng)即時(shí)y 有極小值，此時(shí) v/c=tan(α-π/4)。圖3 給出了當(dāng)時(shí)單位點(diǎn)依賴于β的軌跡。

圖3 單位點(diǎn)的軌跡

這樣我們就對(duì)二維時(shí)空?qǐng)D有了一個(gè)較為清晰和完備的認(rèn)識(shí)，并且明白了在僅討論一對(duì)相互作勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，應(yīng)按共軛坐標(biāo)系將時(shí)空?qǐng)D畫(huà)成對(duì)稱的形式，以便直接利用幾何知識(shí)求出相關(guān)物理量。

3 用對(duì)稱時(shí)空?qǐng)D導(dǎo)出相對(duì)論速度變換公式

作為應(yīng)用，下面我們用對(duì)稱時(shí)空?qǐng)D導(dǎo)出相對(duì)論速度變換公式。

如圖4作對(duì)稱時(shí)空?qǐng)D。設(shè)S′系相對(duì)于S以速度v 沿x 軸方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，S′相對(duì)于S 以速度u沿x軸方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，S″相對(duì)于S′的速度為u′，直線OC為S″的世界線。則有：

注意 AB、AC 平行于 x 軸，而 CD 平行于 x′軸，因而垂直于ct 軸。 由 ∠EDO 和 ∠BDC 為對(duì)頂角，知RtΔOED ～ RtΔCBD ，故

圖4 速度變換公式的導(dǎo)出

此即一維相對(duì)論速度變換公式。

4 結(jié)語(yǔ)

傳統(tǒng)的二維時(shí)空?qǐng)D習(xí)慣上使基本坐標(biāo)系的時(shí)空坐標(biāo)軸相互垂直，但其他慣性坐標(biāo)系的時(shí)空軸不可能再畫(huà)得垂直，并且對(duì)不同坐標(biāo)系，同類坐標(biāo)軸上的相同長(zhǎng)度表示的物理量并不相等。本文根據(jù)幾何知識(shí)和狹義相對(duì)論的基本原理提出：對(duì)稱時(shí)空?qǐng)D中的兩套坐標(biāo)系，必須讓一個(gè)坐標(biāo)系的空間軸垂直于另一個(gè)坐標(biāo)系的時(shí)間軸，而讓時(shí)間軸垂直于另一個(gè)坐標(biāo)系的空間軸。 在這樣的時(shí)空?qǐng)D中盡管時(shí)空坐標(biāo)軸是斜交的，但兩個(gè)對(duì)稱的坐標(biāo)系中軸上相同長(zhǎng)度代表著相同大小的物理量。此外，存在著這樣一個(gè)坐標(biāo)系，在它的坐標(biāo)軸上表示單位物理量的長(zhǎng)度最短。利用對(duì)稱時(shí)空?qǐng)D，可以更方便地直接借助幾何知識(shí)求解某些問(wèn)題，以加深對(duì)狹義相對(duì)論的理解。

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